XÁC ĐỊNH ĐIỂM THỎA MÃN ĐẲNG THỨC VECTƠ

Bài viết hướng dẫn phương thức giải bài bác toán khẳng định điểm giỏi tập thích hợp điểm ưng ý đẳng thức vectơ mang lại trước, hình như là một số trong những ví dụ minh họa có lời giải chi tiết giúp độc giả nắm vững phương thức giải quyết dạng toán này.

Bạn đang xem: Xác định điểm thỏa mãn đẳng thức vectơ

Phương pháp giải toán:1. Khẳng định điểm $M$ ưng ý một đẳng thức vectơ mang đến trước:• Ta thay đổi đẳng thức vectơ mang lại trước về dạng $overrightarrow OM = overrightarrow v $, trong các số đó điểm $O$ cùng vectơ $overrightarrow v $ đã biết.• Khi đó điểm $M$ hoàn toàn xác định.2. Khẳng định tập hợp điểm $M$ nhất trí đẳng thức vectơ mang lại trước:Ta tất cả thể đổi khác đẳng thức đã đến về một trong những dạng:• ví như $left| overrightarrow AM ight| = R$ ($R$ là hằng số) thì tập hợp các điểm $M$ là mặt đường tròn trọng tâm $A$, nửa đường kính $R$ nếu $R > 0$; $M ≡ A$ trường hợp $R = 0$; là tập rỗng nếu như $R • trường hợp $left| overrightarrow MA ight| = kleft| overrightarrow BC ight|$ ($A$, $B$, $C$ đến trước) thì tập thích hợp điểm $M$ là đường tròn trung ương $A$, nửa đường kính bằng $k.BC.$• giả dụ $left| overrightarrow MA ight| = left| overrightarrow MB ight|$ với $A$, $B$ mang đến trước thì $M$ thuộc mặt đường trung trực của đoạn $AB.$• trường hợp $overrightarrow MA = koverrightarrow BC $ ($A$, $B$, $C$ mang lại trước) thì tập hòa hợp điểm $M$ là:+ Đường trực tiếp qua $A$ tuy nhiên song với $BC$ ví như $k ∈ R.$+ Nửa mặt đường thẳng qua $A$ tuy vậy song cùng với $BC$ theo hướng $overrightarrow BC $ cùng với $k ∈ R^+ .$+ Nửa đường thẳng qua $A$ tuy vậy song cùng với $BC$ theo phía ngược cùng với $overrightarrow BC $ cùng với $k ∈ R^- .$3. Xác minh tập hòa hợp điểm vừa lòng đẳng thức của tích vô hướng:Ta gồm thể biến hóa đẳng thức tích vô hướng đã cho về một trong các dạng (ngoài phần đông trường vừa lòng trên):• ví như $overrightarrow MA .overrightarrow MB = 0$ ($A$, $B$ núm định) thì $M$ thuộc con đường tròn 2 lần bán kính $АВ.$• ví như $overrightarrow MH .overrightarrow AB = 0$ ($H$ núm định, $overrightarrow AB $ vectơ không đổi) thì tập hợp $M$ là đường thẳng $Δ$ qua $H$ vuông góc $AB.$

Ví dụ minh họa:Ví dụ 1: mang đến tam giác $ABC.$a) xác định điểm $M$ thỏa mãn nhu cầu $overrightarrow MA + overrightarrow MB + 2overrightarrow MC = vec 0.$b) xác định điểm $N$ vừa lòng $overrightarrow NA – 2overrightarrow NB + 3overrightarrow NC = overrightarrow 0 .$c) xác định điểm $P$ thỏa mãn nhu cầu $overrightarrow CP = overrightarrow KA + 2overrightarrow KB – 3overrightarrow KC $ (với $K$ là vấn đề tùy ý).

Xem thêm: Bạn Biết Gì Về Ngày 9 9 Là Ngày Gì Của Đàn Ông Việt Nam Là Ngày Nào?

a) call $I$ là trung điểm của $AB$, $J$ là trung điểm của $CI.$Ta có: $overrightarrow MA + overrightarrow MB + 2overrightarrow MC = vec 0$ $ Leftrightarrow 2overrightarrow MI + 2overrightarrow MC = vec 0$ $ Leftrightarrow 4overrightarrow MJ = vec 0 .$Do đó: $J equiv M.$b) điện thoại tư vấn $E$ là trung điểm của $AC.$Ta có: $overrightarrow NA – 2overrightarrow NB + 3overrightarrow NC = vec 0$ $ Leftrightarrow (overrightarrow NC + overrightarrow CA )$ $ – 2(overrightarrow NC + overrightarrow CB )$ $ + 3overrightarrow NC = vec 0$ $ Leftrightarrow 2overrightarrow NC + overrightarrow CA – 2overrightarrow CB = overrightarrow 0 $ $ Leftrightarrow 2overrightarrow CN = overrightarrow CA – 2overrightarrow CB $ $ Leftrightarrow 2overrightarrow CN = (overrightarrow BA – overrightarrow BC ) + 2overrightarrow BC $ $ Leftrightarrow 2overrightarrow CN = overrightarrow BA + overrightarrow BC $ $ Leftrightarrow 2overrightarrow CN = 2overrightarrow BE $ tốt $ overrightarrow CN = overrightarrow BE .$c) Ta có: $overrightarrow CP = overrightarrow KA + 2overrightarrow KB – 3overrightarrow KC $ $ = overrightarrow KC + overrightarrow CA + 2(overrightarrow KC + overrightarrow CB ) – 3overrightarrow KC $ $ = overrightarrow CA + 2overrightarrow CB .$Vì $A$, $B$, $C$ cho trước buộc phải $overrightarrow a = overrightarrow CA + 2overrightarrow CB $ xác định. Vậy tập phù hợp điểm $P$ thỏa mãn nhu cầu $overrightarrow CP = overrightarrow CA + 2overrightarrow CB .$

Ví dụ 2: cho tam giác phần đông $ABC$ cạnh $a.$a) kiếm tìm tập thích hợp điểm $M$ thỏa mãn $MB^2 + 2MC^2 = k.$b) tìm kiếm tập vừa lòng điểm $N$ vừa lòng $overrightarrow NA .overrightarrow NB + overrightarrow NB .overrightarrow NC + overrightarrow NC .overrightarrow NA = frac5a^22.$

Ta có: $MB^2 + 2MC^2 = k$ $ Leftrightarrow overrightarrow MB ^2 + 2overrightarrow MC ^2 = k$ $ Leftrightarrow (overrightarrow MI + overrightarrow IB )^2 + 2(overrightarrow MI + overrightarrow IC ) = k$ $ Leftrightarrow 3MI^2 + 2overrightarrow MI (overrightarrow IB + 2overrightarrow IC )$ $ + IB^2 + 2IC^2 = k.$Gọi $I$ là điểm sao cho $overrightarrow IB + 2overrightarrow IC = vec 0$ với $IC = fraca3$, $IB = frac2a3.$Khi đó: $ – 3MI^2 = IB^2 + 2IC^2 – k.$Suy ra: $MI^2 = frac3k – 2a^29.$Vậy:+ giả dụ $3k – 2a^2 + ví như $3k – 2a^2 = 0$ $ Leftrightarrow k = frac23a^2$, lúc ấy $M equiv I.$+ trường hợp $3k – 2a^2 > 0$ $ Leftrightarrow k > frac23a^2$, khi ấy tập thích hợp $M$ là đường tròn tâm $I$, bán kính $R = frac13sqrt 3k – 2a^2 .$b) gọi $G$ là giữa trung tâm tam giác $ABC.$Ta có: $overrightarrow NA + overrightarrow NB + overrightarrow NC = 3overrightarrow NG .$Suy ra: $NA^2 + NB^2 + NC^2$ $ + 2(overrightarrow NA .overrightarrow NB + overrightarrow NB .overrightarrow NC + overrightarrow NC .overrightarrow NA )$ $ = 9NG^2.$Khi đó: $overrightarrow NA .overrightarrow NB + overrightarrow NB .overrightarrow NC + overrightarrow NC .overrightarrow NA $ $ = frac9NG^2 – left( NA^2 + NB^2 + NC^2 ight)2.$Mặt khác: $overrightarrow NA = overrightarrow NG + overrightarrow GA $ $ Rightarrow NA^2 = NG^2 + GA^2 + 2overrightarrow NG .overrightarrow GA .$Tương tự:$NB^2 = NG^2 + GB^2 + 2overrightarrow NG .overrightarrow GB .$$NC^2 = NG^2 + GC^2 + 2overrightarrow NG .overrightarrow GC .$Suy ra: $NA^2 + NB^2 + NC^2$ $ = 3NG^2 + 3GA^2$ $ + 2overrightarrow NG (overrightarrow GA + overrightarrow GB + overrightarrow GC )$ (vì $GA = GB = GC$) $ = 3NG^2 + 3left( frac23 cdot fracasqrt 3 2 ight)^2$ $ = 3NG^2 + a^2.$Từ đó: $overrightarrow NA .overrightarrow NB + overrightarrow NB .overrightarrow NC + overrightarrow NC .overrightarrow NA $ $ = frac9NG^2 – 3NG^2 – a^22$ $ = 3NG^2 – fraca^22.$Mà $overrightarrow NA .overrightarrow NB + overrightarrow NB .overrightarrow NC + overrightarrow NC .overrightarrow NA = frac5a^22.$Nên $3NG^2 – fraca^22 = frac5a^22$ $ Rightarrow NG^2 = a^2$ xuất xắc $GN = a.$Vậy tập thích hợp điểm $N$ là mặt đường tròn vai trung phong $G$ nửa đường kính là $a.$

Ví dụ 3: cho tứ giác $ABCD.$a) xác minh điểm $O$ thế nào cho $overrightarrow OB + 4overrightarrow OC = 2overrightarrow OD .$b) tra cứu tập đúng theo điểm $M$ vừa lòng hệ thức $left| overrightarrow MB + 4overrightarrow MC – 2overrightarrow MD ight| = left| 3overrightarrow MA ight|.$

a) Ta có: $overrightarrow OB + 4overrightarrow OC = 2overrightarrow OD $ $ Leftrightarrow overrightarrow OB + 4(overrightarrow OB + overrightarrow BC )$ $ = 2(overrightarrow OB + overrightarrow BD )$ $ Leftrightarrow 3overrightarrow OB = 2overrightarrow BD – 4overrightarrow BC $ $ Leftrightarrow 3overrightarrow OB = 2(overrightarrow BD – overrightarrow BC ) – 2overrightarrow BC $ $ Leftrightarrow 3overrightarrow OB = 2overrightarrow CD + 2overrightarrow CB $ $ Leftrightarrow 3overrightarrow OB = 4overrightarrow CI $ ($I$ là trung điểm $BO$) $ Leftrightarrow overrightarrow OB = frac43overrightarrow CI .$Vậy $O$ là đỉnh của hình bình hành $IBON$ với: $overrightarrow IN = frac43overrightarrow IC .$b) Ta có: $left| overrightarrow MB + 4overrightarrow MC – 2overrightarrow MD ight| = left| 3overrightarrow MA ight|$ $ Leftrightarrow left| overrightarrow MO + overrightarrow OB + 4(overrightarrow MO + overrightarrow OC ) – 2(overrightarrow MO + overrightarrow OD ) ight|$ $ = left| 3overrightarrow MA ight|$ $ Leftrightarrow left| 3overrightarrow MO ight| = left| 3overrightarrow MA ight|$ bởi vì $overrightarrow OB + 4overrightarrow OC – 2overrightarrow OD = vec 0.$Do đó: $left| overrightarrow MO ight| = left| overrightarrow MA ight|$ $ Leftrightarrow MO = MA.$Vậy tập hòa hợp $M$ là đường trung trực của đoạn trực tiếp $OA.$

Ví dụ 4: mang đến tam giác $ABC$ vuông tại $A.$ Điểm $M$ ngẫu nhiên nằm vào tam giác tất cả hình chiếu xuống $BC$, $CA$, $AB$ theo thứ tự là $D$, $E$, $F.$a) tìm tập hợp điểm $M$ hiểu được $overrightarrow MD + overrightarrow ME + overrightarrow MF $ cùng phương cùng với $overrightarrow BC .$b) kiếm tìm tập hợp những điểm $M$ biết rằng $left| overrightarrow MD + overrightarrow ME + overrightarrow MF ight| = left| overrightarrow MA ight|.$

a)

Ta có: $overrightarrow MD + overrightarrow ME + overrightarrow MF = overrightarrow MD + overrightarrow MA .$Gọi $I$ là trung điểm của $AD.$Khi kia $overrightarrow MD + overrightarrow MA = 2overrightarrow MI .$Vậy $overrightarrow MD + overrightarrow ME + overrightarrow MF = 2overrightarrow MI .$Để $overrightarrow MD + overrightarrow ME + overrightarrow MF $ thuộc phương với $overrightarrow BC $ thì $overrightarrow MI $ cùng phương $overrightarrow BC .$Suy ra: $overrightarrow MI $ cùng phương $overrightarrow PQ $ (với $PQ$ là mặt đường trung bình của tam giác $ABC$ tuy nhiên song cùng với cạnh $BC$).Do kia tập hợp $M$ là đoạn $PQ.$b)

Gọi $M’$ là vấn đề trên con đường cao $AH$ làm sao để cho $AM’ = MD$, có nghĩa là $AMDM’$ là hình bình hành.Ta có: $left| overrightarrow MD + overrightarrow ME + overrightarrow MF ight|$ $ = left| overrightarrow MD + overrightarrow MA ight| = left| overrightarrow MA ight|.$Suy ra: $left| overrightarrow MM’ ight| = left| overrightarrow MA ight| = left| overrightarrow M’D ight|.$Dễ thấy $MD = frac23AH.$Vậy $M$ nằm trên đường thẳng song song cùng với $BC$, bí quyết $BC$ một khoảng tầm bằng $frac23AH$ mà lại trừ phần lớn điểm ở phía không tính tam giác $ABC.$

Ví dụ 5: cho điểm $A$, $B$ cố định và thắt chặt với $AB = a.$a) tìm kiếm tập đúng theo điểm $M$ sao để cho $overrightarrow MA ^2 + overrightarrow MB .overrightarrow AB = a^2.$b) tìm tập hòa hợp điểm $N$ thỏa: $NA^2 + 2NB^2 = k$ ($k$ là hằng số thực dương).

a) Ta có: $overrightarrow MA ^2 + overrightarrow MB .overrightarrow AB = a^2$ $ Leftrightarrow overrightarrow MA ^2 + (overrightarrow MA + overrightarrow AB ).overrightarrow AB = a^2$ $ Leftrightarrow overrightarrow MA ^2 + overrightarrow MA .overrightarrow AB + overrightarrow AB ^2 = a^2$ $ Leftrightarrow overrightarrow MA ^2 + overrightarrow MA .overrightarrow AB = 0$ $ Leftrightarrow quad overrightarrow MA .(overrightarrow MA + overrightarrow AB ) = 0$ $ Leftrightarrow overrightarrow MA .overrightarrow MB = 0.$Vậy tập đúng theo điểm $M$ là mặt đường tròn 2 lần bán kính $AB.$b) điện thoại tư vấn $I$ là điểm sao cho $overrightarrow IA + 2overrightarrow IB = vec 0$, vày $A$, $B$ thắt chặt và cố định nên $I$ cố định.Ta có: $NA^2 + 2NB^2 = k$ $ Leftrightarrow overrightarrow NA ^2 + 2overrightarrow NB ^2 = k$ $ Leftrightarrow (overrightarrow NI + overrightarrow IA )^2 + 2(overrightarrow NI + overrightarrow IB )^2 = k$ $ Leftrightarrow NI^2 + 2overrightarrow NI .overrightarrow IA + IA^2$ $ + 2NI^2 + 4overrightarrow NI .overrightarrow IB + 2IB^2 = k$ $ Leftrightarrow 3NI^2 + 2overrightarrow NI (overrightarrow IA + 2overrightarrow IB )$ $ + IA^2 + 2IB^2 = k$ $ Leftrightarrow 3NI^2 = k^2 – left( IA^2 + 2IB^2 ight)$ $ Leftrightarrow NI^2 = frac13left( k^2 – 6IB^2 ight)$ $NI^2 = frac13left( k^2 – frac2a^23 ight)$ (vì $IB = frac13AB$).Vậy:+ giả dụ $k^2 > frac2a^23$ thì tập thích hợp điểm $N$ là con đường tròn chổ chính giữa $I$, nửa đường kính $R = sqrt frac13left( k^2 – frac2a^23 ight) .$+ nếu $k^2 = frac2a^23$ thì tập hòa hợp điểm $N$ đó là $I.$+ nếu $k^2 Ví dụ 6: mang đến tam giác $ABC$ phần lớn cạnh bởi $a.$a) tra cứu tập phù hợp điểm $M$ thỏa $(overrightarrow MA + overrightarrow MB )(overrightarrow MA + overrightarrow MC ) = 0.$b) search tập hợp điểm $N$ thỏa $NA^2 + NB^2 + NC^2 = 4a^2.$c) tìm kiếm tập phù hợp điểm $P$ thỏa $3PA^2 = 2PB^2 + PC^2.$

a) call $I$ là trung điểm của $AB$, $J$ là trung điểm của $AC$, ta gồm $I$, $J$ nạm định.Ta có: $(overrightarrow MA + overrightarrow MB )(overrightarrow MA + overrightarrow MC ) = 0$ $ Leftrightarrow 2overrightarrow MI .2overrightarrow MJ = 0$ $ Leftrightarrow overrightarrow MI .overrightarrow MJ = 0.$Vậy tập phù hợp điểm $M$ là mặt đường tròn 2 lần bán kính $IJ.$b) call $G$ là trung tâm tam giác $ABC.$Ta có: $NA^2 + NB^2 + NC^2 = 4a^2$ $ Leftrightarrow (overrightarrow NG + overrightarrow GA )^2 + (overrightarrow NG + overrightarrow BG )^2$ $ + (overrightarrow NG + overrightarrow GC )^2 = 4a^2$ $ Leftrightarrow 3NG^2 + overrightarrow NG (overrightarrow GA + overrightarrow GB + overrightarrow GC )$ $ + GA^2 + GB^2 + GC^2 = 4a^2$ $ Leftrightarrow 3NG^2 + GA^2 + GB^2 + GC^2 = 4a^2.$Trong đó: $GA = GB = GC$ $ = frac23fracasqrt 3 2 = fracasqrt 3 3.$Vậy $3NG^2 = 3a^2 Leftrightarrow NG^2 = a^2.$Do kia tập đúng theo điểm $N$ là đường tròn chổ chính giữa $G$ nửa đường kính bằng $a.$c) Ta có: $3PA^2 = 2PB^2 + PC^2$ $ Leftrightarrow 3(overrightarrow PG + overrightarrow GA )^2$ $ = 2(overrightarrow PG + overrightarrow GB )^2 + (overrightarrow PG + overrightarrow GC )^2$ $ Leftrightarrow 3PG^2 + 6overrightarrow PG .overrightarrow GA + 3GA^2$ $ = 2PG^2 + 4overrightarrow PG .overrightarrow GB + 2GB^2$ $ + PG^2 + 2overrightarrow PG .overrightarrow GC + GC^2$ $ Leftrightarrow 6overrightarrow PG .overrightarrow GA – 4overrightarrow PG .overrightarrow GB – 2overrightarrow PG .overrightarrow GC = 0$ $ Leftrightarrow overrightarrow PG (3overrightarrow GA – 2overrightarrow GB – overrightarrow GC ) = 0.$Mặt khác: $3overrightarrow GA – 2overrightarrow GB – overrightarrow GC $ $ = 3overrightarrow GA – 2(overrightarrow GA + overrightarrow AB ) – (overrightarrow GA + overrightarrow AC )$ $ = – (2overrightarrow AB + overrightarrow AC ).$Gọi $H$ là vấn đề sao mang đến $2overrightarrow HB + overrightarrow HC = 0.$Khi đó $2overrightarrow AB + overrightarrow AC $ $ = 2(overrightarrow AH + overrightarrow HB ) + (overrightarrow AH + overrightarrow HC )$ $ = 3overrightarrow AH .$Suy ra đẳng thức vẫn cho đổi thay $overrightarrow PG .overrightarrow 3AH = 0$ $ Leftrightarrow overrightarrow PG .overrightarrow AH = 0.$Vậy tập đúng theo điểm $P$ là con đường thẳng qua $G$ với vuông góc cùng với $AH.$