V khối hộp

Bài viết trình diễn công thức tính thể tích khối hộp và một trong những ví dụ minh họa có lời giải chi tiết.

Bạn đang xem: V khối hộp

A. KIẾN THỨC CẦN NẮM VỮNGHình hộp: là hình lăng trụ tứ giác tất cả đáy là hình bình hành.Hình hộp bao gồm $6$ phương diện là hình bình hành, $4$ đường chéo đồng qui tại trung khu hình hộp.Thể tích của khối hộp bởi tích số của diện tích dưới mặt đáy và độ cao của khối vỏ hộp đó.Hình hộp chữ nhật: là hình vỏ hộp đứng và gồm đáy là hình chữ nhật.Gọi $a$, $b$, $c$ là $3$ size thì có đường chéo: $d = sqrt a^2 + b^2 + c^2 $, diện tích toàn phần: $S = 2(ab + bc + ca)$ với thể tích khối hộp chữ nhật: $V = abc.$Hình lập phương: là hình hộp chữ nhật có $3$ kích cỡ bằng nhau.Gọi $a$ là cạnh hình lập phương thì bao gồm đường chéo: $d = asqrt 3 $, diện tích toàn phần: $S = 6a^2$ cùng thể tích khối lập phương: $V = a^3.$

B. MỘT SỐ BÀI TOÁN ÁP DỤNGBài toán 1: Tính thể tích của khối hộp $ABCD.A’B’C’D’$, hiểu được $AA’B’D’$ là khối tứ diện đầy đủ cạnh $a.$

Vì $AA’B’D’$ là tứ diện đều buộc phải đường cao $AH$ của nó có hình chiếu $H$ là trọng điểm của tam giác hồ hết $A’B’D’.$Suy ra: $A’H = fracasqrt 3 3$, $AH = sqrt AA‘^2 – A"H^2 = fracasqrt 6 3.$Ta có đáy $A’B’C’D’$ là hình thoi tất cả góc $B’A’D’$ bởi $60°$ nên:$S_A’B’C’D’ = A’B’.A’D’sin 60^0 = fraca^2sqrt 3 2.$Vậy thể tích khối vỏ hộp đã cho là: $V = S.h = fraca^2sqrt 3 2 cdot fracasqrt 6 3 = fraca^3sqrt 2 2.$

Bài toán 2: mang lại khối hộp $ABCD.A_1B_1C_1D_1$ có toàn bộ các cạnh đều nhau và bởi $a$, $widehat A_1AB = widehat BAD = widehat A_1AD = alpha $ $left( {0^0 Tam giác $A_1BD$ cân (do $A_1B = A_1D$).Suy ra $BD ot A_1O.$Mặt không giống $BD ot AC.$Suy ra: $BD ot left( A_1AO ight)$ $ Rightarrow BD ot A_1H.$Do đó $A_1H ot (ABCD).$Đặt $widehat A_1AD = varphi .$Hạ $A_1K ot AD$ $ Rightarrow HK ot AK$.Ta có: $cos varphi .cos fracalpha 2 = fracAHAA_1 cdot fracAKAH = fracAKAA_1$ $ = cos varphi $ yêu cầu $cos varphi = fraccos alpha cos fracalpha 2.$Do đó: $A_1H = asin varphi $ $ = asqrt 1 – fraccos ^2alpha cos ^2fracalpha 2 $ $ = fracacos fracalpha 2sqrt cos ^2fracalpha 2 – cos ^2alpha .$$V_ABCD.A_1B_1C_1D_1 = AB.AD.sin alpha .A_1H$ $ = a^2sin alpha .fracacos fracalpha 2sqrt cos ^2fracalpha 2 – cos ^2alpha $ $ = 2a^3sin fracalpha 2sqrt cos ^2fracalpha 2 – cos ^2alpha .$

Bài toán 3: cho khối hộp $ABCD.A’B’C’D’$ tất cả đáy là hình chữ nhật cùng với $AB = sqrt 3 $, $AD = sqrt 7 $ và các ở kề bên bằng $1.$ nhì mặt mặt $(ABB’A’)$ và $(ADD’A’)$ lần lượt chế tạo ra với đáy mọi góc $45°$ với $60°.$ Hãy tính thể tích khối hộp.

Xem thêm: Những Cách Tái Chế Quần Áo Cũ Thành Đồ Mới Hay Ho, 20 Cách Tái Chế Quần Áo Cũ Không Đụng Hàng

Hạ $A’H ot (ABCD)$, $HM ot AD$, $HK ot AB.$Ta có: $AD ot A’M$, $AB ot A’K.$$ Rightarrow widehat A’MH = 60^0$, $widehat A’KH = 45^0.$Đặt $A’H = x.$Khi đó:$A’M = x:sin 60^0 = frac2xsqrt 3 .$$AM = sqrt AA‘^2 – A"M^2 $ $ = sqrt frac3 – 4x^23 = HK.$Mà $HK = xcot 45^0 = x$ đề xuất $x = sqrt frac3 – 4x^23 Rightarrow x = sqrt frac37 .$Vậy $V_ABCD.A’B’C’D’ = AD.AB.x = sqrt 7 .sqrt 3 .sqrt frac37 = 3.$

Bài toán 4: cho khối lăng trụ tứ giác hồ hết $ABCD.A_1B_1C_1D_1$ có khoảng cách giữa hai tuyến phố thẳng $AB$ và $A_1D$ bởi $2$ cùng độ dài đường chéo cánh của phương diện bên bởi $5.$a) Hạ $AK ot A_1D$ $left( K in A_1D ight).$ chứng minh rằng: $AK = 2.$b) Tính thể tích khối lăng trụ $ABCD.A_1B_1C_1D_1.$

a) $AB//A_1B_1$ $ Rightarrow AB//left( A_1B_1D ight).$$ Rightarrow dleft( A,left( A_1B_1D ight) ight) = dleft( AB,A_1D ight).$Ta có: $A_1B_1 ot left( AA_1D_1D ight)$ $ Rightarrow A_1B_1 ot AK.$Mặt khác: $A_1D ot AK$ $ Rightarrow AK ot left( A_1B_1D ight).$Vậy $AK = dleft( A,left( A_1B_1D ight) ight) = dleft( AB,A_1D ight) = 2.$b) Xét tam giác vuông $A_1AD$, ta có: $AK^2 = A_1K.KD.$Đặt $A_1K = x Rightarrow 4 = x(5 – x)$ $ Rightarrow x^2 – 5x + 4 = 0$ $ Rightarrow x = 1$ hoặc $x = 4.$Với $x = 1$, $AD = sqrt AK^2 + KD^2 = 2sqrt 5 $, $AA_1 = sqrt A_1D^2 – AD^2 = sqrt 5 .$Khi đó $V_ABCD.A_1B_1C_1D_1 = 20sqrt 5 .$Với $x = 4$, tương tự như ta có: $V_ABCD.A_1B_1C_1D_1 = 10sqrt 5 .$

Bài toán 5: mang đến hình vỏ hộp $ABCD.A’B’C’D’$ có tất cả các cạnh đều bằng $d$ và tía góc của đỉnh $A$ đều bởi $60°.$a) Tính độ dài những đường chéo cánh và thể tích $V$ của hình hộp.b) Tính khoảng cách giữa nhì mặt song song của hình hộp.c) có thể cắt hình hộp bởi một mặt phẳng làm thế nào để cho thiết diện thừa nhận được là một trong hình vuông?

a) Đặt $overrightarrow AA’ = vec a$, $overrightarrow AB = vec b$, $overrightarrow AD = vec c$ thì $vec a.vec b = vec b.vec c = vec c.vec a = fracd^22.$Ta có: $overrightarrow AC‘^2 = (vec a + vec b + vec c)^2$ $ = vec a^2 + vec b^2 + vec c^2 + 2vec a.vec b + 2vec b.vec c + 2vec c.vec a = 6d^2.$Suy ra: $AC’ = dsqrt 6 .$Ta có: $overrightarrow BD’ ^2 = (overrightarrow a – overrightarrow b + overrightarrow c )^2$ $ = vec a^2 + vec b^2 + vec c^2 – 2vec a.vec b – 2vec b.vec c + 2vec c.vec a = 2d^2.$Suy ra: $BD’ = dsqrt 2 .$Tương từ $DB’ = CA’ = dsqrt 2 $ yêu cầu ta có $AA’BD$ là hình tứ diện đông đảo cạnh $d$, nên: $V_left( AA’BD ight) = fracd^3sqrt 2 12.$Do đó $V = 6V_AA’BD = fracd^3sqrt 2 12.$b) call $h$ là khoảng cách giữa nhì mặt phẳng $(ABCD)$ cùng $(A’B’C’D’)$ thì:$V = S_ABCD.h = fracd^2sqrt 3 2$ $ Rightarrow h = fracdsqrt 6 2.$Tương từ bỏ thì các khoảng cách giữa nhị mặt song song nào thì cũng bằng $fracdsqrt 6 2.$c) Hình bình hành $BCD’A’$ có các cạnh bởi $d$ cùng hai đường chéo bằng $dsqrt 2 $ nên nó là hình vuông.Vậy hình hộp có thiết diện $BCD’A’$ là hình vuông.Tương tự thiết diện $CDA’B’$ cũng chính là hình vuông.

Bài toán 6: mang đến hình lăng trụ $ABCD.A’B’C’D’$ gồm đáy là hình vuông vắn cạnh bằng $asqrt 3 $, $A$ bí quyết đều $A$, $B$, $C$, $D.$ Biết rằng khoảng cách từ trung tâm $G$ của tam giác $AB’D’$ cho mặt phẳng $(AA’D’)$ bởi $fraca2.$ Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và khoảng cách từ tâm $O$ của hình vuông $A’B’C’D’$ cho mặt phẳng $(ADC’B’).$

Vì $G$ là trọng tâm của tam giác $AB’D’$ phải $G$ nằm tại đoạn trực tiếp $AO$ với $AG = frac23AO.$Ta có: $dleft( O;left( AA’D ight) ight) = frac32d(G,(AA’D)) = frac3a4.$Gọi $M$ là trung điểm của $A’D’.$Hạ $OH ot AM$ thì $OH ot left( AA’D’ ight).$Do kia $OH = dleft( O;left( AA’D’ ight) ight) = frac3a4.$Tam giác $AOM$ vuông trên $O:$$frac1OH^2 = frac1OA^2 + frac1OM^2$ $ Leftrightarrow frac169a^2 = frac1OA^2 + frac43a^2$ $ Rightarrow OA = frac3a2.$Vậy $V_ABCD.A’B’C’D’ = S_ABCD.OA = 3a^2.frac3a2 = frac9a^32.$Gọi $N$ là trung điểm của $B’C’.$ Hạ $OK ot AN.$Ta có $OK ot left( ADC’B’ ight)$ yêu cầu $OK = dleft( O,left( ADC’B’ ight) ight).$Tam giác $AON$ vuông tại $O:$$frac1OK^2 = frac1OA^2 + frac1ON^2$ $ = frac49a^2 + frac43a^2 = frac169a^2$ $ Rightarrow OK = frac3a4.$Vậy khoảng cách từ tâm $O$ của hình vuông vắn $A’B’C’D’$ mang lại mặt phẳng $(ADC’B’)$ là $OK = frac3a4.$

Bài toán 7: mang lại hình vỏ hộp $ABCD.A’B’C’D’$ gồm đáy là hình chữ nhật. $AB = asqrt 3 $, $AA’ = AC = 2asqrt 3 .$ Hình chiếu của $B$ lên mặt phẳng $(A’B’C’D’)$ là trung điểm $O$ của $B’D’.$ Tính thể tích khối vỏ hộp $ABCD.A’B’C’D’$ với cosin của góc giữa hai đường thẳng $AC$ cùng $BB’.$

Ta tất cả $O$ là trung tâm của hình chữ nhật $A’B’C’D’$ nên $BO ot left( A’B’C’D’ ight).$Tam giác vuông $ABC:$$BC = sqrt AC^2 – AB^2 $ $ = sqrt 12a^2 – 3a^2 = 3a.$Tam giác vuông $BOB’$ ta có:$BO = sqrt BB‘^2 – B"O^2 $ $ = sqrt BB‘^2 – fracAC^24 $ $ = sqrt 12a^2 – 3a^2 = 3a.$Nên $V_ABCD.A’B’C’D’ = S_ABCD.BO = AB.BC.BO$ $ = asqrt 3 .3a.3a = 9a^3sqrt 3 .$Ta có $cos left( AC,BB’ ight) = cos left( A’C’,AA’ ight) = left| cos widehat AA’O ight|.$Vì $BO ot (ABCD) Rightarrow BO ot AB.$Tam giác $ABO$ vuông cân nặng tại $B:$ $AO = sqrt AB^2 + BO^2 $ $ = sqrt 3a^2 + 9a^2 = 2asqrt 3 .$Áp dụng định lý cosin trong tam giác $AA’O$ ta có:$cos widehat AA’O = fracA"A^2 + A"O^2 – AO^22A’A.A’O$ $ = frac12a^2 + 3a^2 – 12a^22.2asqrt 3 .asqrt 3 = frac14.$Vậy $cos left( AC,BB’ ight) = frac14.$

Bài toán 8: đến hình hộp đứng $ABCD.A’B’C’D’$ tất cả đáy là hình bình hành, $AB = 2a$, $BC = a$, $widehat BAD = 60^0$, góc giữa đường thẳng $B’C$ với mặt phẳng $(ACC’A’)$ bằng $30°.$ Tính thể tích khối hộp $ABCD.A’B’C’D’$ và khoảng cách giữa hai đường thẳng $AM$, $DD’$ cùng với $M$ là trung điểm của $CC’.$

Hạ $BH ot A’C’$ thì có $BH ot left( ACC’A’ ight).$Từ đó suy ra góc thân $B’C$ với mặt phẳng $left( ACC’A’ ight)$ bằng $widehat B’CH.$Áp dụng định lý côsin trong tam giác $ABC$ ta có:$AC^2 = BC^2 + BA^2 – 2.BC.BAcos 120^0$ $ = a^2 + 4a^2 – 2a.2aleft( – frac12 ight) = 7a^2.$Suy ra $AC = asqrt 7 .$Ta có: $B’H = frac2S_A’B’C’A’C’ = fracB’A’.B’C’.sin 120^0A’C’$ $ = fraca.2a.fracsqrt 3 2asqrt 7 = fracasqrt 21 7.$Tam giác vuông $B’CH:$ $B’C = fracB’Hsin 30^0 = frac2asqrt 21 7.$Tam giác vuông $BB’C:$ $BB’ = sqrt B"C^2 – BC^2 $ $ = sqrt frac84a^249 – a^2 = fracasqrt 35 7.$Nên: $V_ABCD.A’B’C’D’ = AB.ADsin 60^0.AA’$ $ = 2a.a.fracsqrt 3 2.fracasqrt 35 7 = fraca^3.sqrt 105 7.$Ta gồm $AM$ tuy vậy song với $(ACC’A’).$Do đó $dleft( DD’,AM ight)$ $ = dleft( DD’,left( ACC’A’ ight) ight)$ $ = dleft( D’,left( ACC’A’ ight) ight)$ $ = dleft( B’,left( ACC’A’ ight) ight)$ $ = B’H = fracasqrt 21 7.$