Bài viết phía dẫn vận dụng tích phân tính diện tích hình phẳng thông qua tổng hợp lý thuyết, phân dạng, công việc giải toán và những ví dụ minh họa có lời giải chi tiết. Kiến thức và kỹ năng và các ví dụ trong nội dung bài viết được xem thêm từ những tài liệu nguyên hàm, tích phân và áp dụng đăng mua trên glaskragujevca.net.
Bạn đang xem: Ứng dụng tích phân tính diện tích
Lý thuyết phải nắm:1. Diện tích của hình trụ và của hình elípa. Hình tròn cung cấp kính $R$ có diện tích $S = pi R^2.$b. Hình elíp $left( E ight)$: $fracx^2a^2 + fracy^2b^2 = 1$ có diện tích s $S = pi ab.$2. Tính diện tích s hình phẳng số lượng giới hạn bởi những đường conga. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ gia dụng thị hàm số $y = fleft( x ight)$ ($fleft( x ight)$ liên tục bên trên đoạn $left< a;b ight>$), trục $Ox$ và hai đường thẳng $x = a$ và $x = b$ được cho bởi công thức: $S = intlimits_a^b f(x) ight .$b. Diện tích hình phẳng số lượng giới hạn bởi hai tuyến đường thẳng $x = a$, $x = b$ và thiết bị thị của hai hàm số $y = f_1left( x ight)$ và $y = f_2left( x ight)$ ($f_1left( x ight)$ và $f_2left( x ight)$ liên tục trên đoạn $left< a;b ight>$) được cho do công thức: $S = intlimits_a^b f_1(x) – f_2(x) ight .$
Dạng 1: Tính diện tích hình phẳng số lượng giới hạn bởi đồ gia dụng thị hàm số $y = fleft( x ight)$ (liên tục trên đoạn $left< a;b ight>$), trục hoành và hai tuyến đường thẳng $x = a$, $x = b$ và trục $Ox$+ Bước 1: hotline $S$ là diện tích s cần xác định, ta có: $S = intlimits_a^b left .$+ Bước 2: Xét vết biểu thức $fleft( x ight)$ trên $left< a;b ight>$. Từ đó phân được đoạn $left< a;b ight>$ thành các đoạn nhỏ, đưa sử: $left< a;b ight>$ $ = left< a;c_1 ight> cup left< c_1;c_2 ight> cup … cup left< c_k;b ight>$ mà trên từng đoạn $fleft( x ight)$ chỉ gồm một dấu.+ Bước 3: Khi đó: $S = intlimits_a^c_1 left dx + intlimits_c_1^c_2 dx$ $ + … + intlimits_c_k^b left dx.$
Chú ý: Nếu việc phát biểu dưới dạng: “Tính diện tích s hình phẳng số lượng giới hạn bởi đồ gia dụng thị hàm số $x = m fleft( y ight)$ (liên tục trên đoạn $left< a;b ight>$) hai tuyến phố thẳng $y = a$, $y = b$ và trục $Oy$”, khi đó cách làm tính diện tích là: $S = intlimits_a^b left .$
Ví dụ 1: Tính diện tích hình phẳng số lượng giới hạn bởi:a. Đồ thị hàm số $y = cosx + 1$, trục hoành và hai tuyến phố thẳng $x = 0$ và $x = frac2pi 3.$b. Đồ thị hàm số $y = x^3 – 1$, trục hoành, trục tung và mặt đường thẳng $x = 2.$
a. Ta có: $S = intlimits_0^2pi /3 comathop m s olimits x + 1 ight $ $ = intlimits_0^2pi /3 (comathop m s olimits x + 1)dx $ $ = left( sin x + x ight)left| _0^2pi /3 ight.$ $ = fracsqrt 3 2 + frac2pi 3.$b. Ta có: $S = intlimits_0^2 left .$Xét hàm số: $fleft( x ight) = x^3 – 1$ trên đoạn $left< 0;2 ight>$, ta có: $x^3 – 1 = 0$ $ Leftrightarrow (x – 1)left( x^2 + m x m + m 1 ight) = 0$ $ Leftrightarrow x m = m 1.$Bảng xét dấu:
Khi đó: $S = intlimits_0^1 dx + intlimits_1^2 x^3 – 1 ight $ $ = intlimits_0^1 left( 1 – x^3 ight)dx + intlimits_1^2 left( x^3 – 1 ight)dx $ $ = left( x – fracx^44 ight)left| _0^1 ight. + left( fracx^44 – x ight)left| _1^2 ight. = frac72.$
Nhận xét: Như vậy, nhằm tính các diện tích hình phẳng trên:+ Ở câu 1.a chúng ta chỉ việc sử dụng công thức cùng rất nhận xét $cosx + 1 ge 0$ nhằm phá lốt trị xuất xắc đối. Tự đó, nhận được giá trị của tích phân.+ Ở câu 1.b họ cần xét dấu đa thức $x^3 – 1$ trên đoạn $left< 0;2 ight>$, để từ đó tách tích phân $S$ thành những tích phân nhỏ tuổi mà trên đó biểu thức $x^3 – 1$ không âm hoặc không dương.
Ví dụ 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:a. Đồ thị hàm số $y = – x^2 + 3x – 2$ và trục hoành.b. Đồ thị hàm số $y = x^3 – 2x^2 – x + 2$ và trục hoành.
Xem thêm: Còn Cái Nịt Là Gì? Nguồn Gốc Trend Còn Cái Nịt Nghĩa Là Gì? Ai Khởi Xướng?
a. Ta bao gồm hoành độ giao điểm của đồ gia dụng thị hàm số $y = – x^2 + 3x – 2$ với trục hoành là:$ – x^2 + 3x – 2 = 0$ $ Leftrightarrow x = 1$ hoặc $x = 2.$Khi đó: $S = intlimits_1^2 dx $ $ = intlimits_1^2 left( – x^2 + 3x – 2 ight)dx $ $ = left. left( – frac13x^3 + frac32x^2 – 2x ight) ight|_1^2$ $ = frac16.$b. Ta gồm hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số $y = x^2 – 2x$ và trục hoành là:$x^3 – 2x^2 – x + 2 m = 0$ $ Leftrightarrow (x – 1)(x^2 – x – 2) = 0$ $ Leftrightarrow x = pm 1$ hoặc $x = 2.$Khi đó: $S = intlimits_ – 1^2 x^3 – 2x^2 – x + 2 ight $ $ = intlimits_ – 1^1 x^3 – 2x^2 – x + 2 ight $ $ + intlimits_1^2 dx $$ = intlimits_ – 1^1 left( x^3 – 2x^2 – x + 2 ight)dx $ $ + intlimits_1^2 left( – x^3 + 2x^2 + x – 2 ight)dx $$ = left. left( frac14x^4 – frac23x^3 – frac12x^2 + 2x ight) ight|_ – 1^1$ $ + left. left( – frac14x^4 + frac23x^3 + frac12x^2 – 2x ight) ight|_1^2$ $ = 3.$
Nhận xét: Như vậy, nhằm tính các diện tích hình phẳng trên bọn họ đều cần tìm kiếm được hai cận $a$, $b$ của tích phân và:+ Ở câu 2.a vì chưng phương trình hoành độ chỉ có hai nghiệm buộc phải hàm số dưới vết tích phân chỉ gồm một dấu.+ Ở câu 2.b vày phương trình hoành độ có bố nghiệm nên tích phân $S$ nên được bóc thành hai tích phân nhỏ.
Chú ý: Nếu bài toán phát biểu bên dưới dạng: “Tính diện tích s hình phẳng giới hạn bởi thứ thị nhì hàm số $x = f_1left( y ight)$ và $x = f_2left( y ight)$ (liên tục trên đoạn $left< a;b ight>$) và hai tuyến đường thẳng $y = a$, $y = b$ và trục $Oy$”, khi đó cách làm tính diện tích s là: $S = intlimits_a^b f_1(y) – f_2(y) ight .$
Ví dụ 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:a. Đồ thị những hàm số $y = 4-x^2$, $y = -x + 2.$b. Đồ thị các hàm số $y = lnx$, $y = -lnx$ và $x = e.$
a. Hoành độ giao điểm của hai đồ thị là nghiệm của phương trình:$4–x^2 = –x + 2$ $ Leftrightarrow x^2 – x – 2 = 0$ $ Leftrightarrow x = – 1$ hoặc $x = 2.$Khi đó: $S = intlimits_ – 1^2 left $ $ = – intlimits_ – 1^2 left( x^2 – x – 2 ight)dx $ $ = – left. left( frac13x^3 – frac12x^2 – 2x ight) ight|_ – 1^2$ $ = frac276.$b. Hoành độ giao điểm của hai trang bị thị là nghiệm của phương trình:$lnx = -lnx$ $ Leftrightarrow 2lnx = 0$ $ Leftrightarrow lnx = 0$ $ Leftrightarrow x = 1.$Khi đó: $S = intlimits_1^e ln x + ln x ight $ $ = 2intlimits_1^e ln x.dx .$Đặt: $left{ eginarraylu = ln x\dv = dxendarray ight.$ $ Leftrightarrow left{ eginarrayldu = fracdxx\v = xendarray ight.$ $ Rightarrow S = 2left( _1^e – intlimits_1^e dx ight)$ $ = 2left( e – left. X ight ight)$ $ = 2.$
Ví dụ 4: Cho hàm số: $left( C ight)$: $y = fracx^2x^2 + 1$. Tìm $b$ làm thế nào cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi $left( C ight)$ và những đường thẳng $y = 1$, $x = 0$, $x = b$ bằng $fracpi 4.$
Gọi $S$ là diện tích cần xác định, ta có:$S = intlimits_0^b | frac mx^ m2 mx^ m2 + 1 – 1|dx$ $ = fracpi 4$ $ Leftrightarrow intlimits_ m0^b | frac mx m ^ m2 – x^2 – 1 mx m ^ m2 + 1|dx$ $ = fracpi 4$ $ Leftrightarrow left| intlimits_0^b fracdx mx^ m2 + 1 ight|$ $ = fracpi 4$ $(1).$Đặt $x = tant$, $ – fracpi 2 Đổi cận: Với $x = 0$ thì $t = 0$, với $x = b$ thì $t = alpha $ (với $tanalpha = b$ và $ – fracpi 2 khi đó: $(1) Leftrightarrow left| intlimits_0^alpha dt ight|$ $ = fracpi 4$ $ Leftrightarrow left| t ight|left| eginarraylalpha \0endarray ight.$ $ = fracpi 4$ $ Leftrightarrow left| alpha ight| = fracpi 4$ $ Leftrightarrow b = pm 1.$