Trong quá trình học tập môn Toán trong chương trình phổ thông, các em đã khá thân thuộc với các phương pháp tính diện tích và thể tích của một đối tượng bằng cách xác định những yếu tố liên quan đến đối tượng như độ lâu năm cạnh, số đo góc,....Sau khi khám phá khái niệm Tích phân các em sẽ được tiếp cận một phương pháp mới nhằm tính diện tích hình phẳng, thể tích của vật thể, thể tích khối tròn xoay chỉ thông qua các hàm số là Ứng dụng tích phân.

Bạn đang xem: Ứng dụng của tích phân


1. đoạn phim bài giảng

2. Tóm tắt lý thuyết

2.1. Ứng dụng tích phân tính diện tích s hình phẳng

2.2. Ứng dụng tích phân tính thể tích đồ thể

2.3. Ứng dụng tích phân tính thể tích khối tròn xoay

3. Bài bác tập minh hoạbài 3 Chương 3 Toán 12

4. Rèn luyện Bài 3 Chương 3 Toán 12

4.1 Trắc nghiệm về Ứng dụng của tích phân vào hình học

4.2 bài tập SGK và nâng cao vềỨng dụng của tích phân trong hình học

5. Hỏi đáp về bài xích 3 Chương 3 Toán 12


Nếu hàm số (y=f(x))liên tục bên trên ()thì diện tích s S của hình phẳng số lượng giới hạn bởi thiết bị thị hàm số (y=f(x)), trục hoành và hai tuyến đường thẳng (x=a,x=b)là (S = intlimits_a^b dx .)

*

Diện tích hình phẳng số lượng giới hạn bởi những đồ thị hàm số (y = f(x)), (y = g(x))và hai tuyến đường thẳng (x=a,x=b)là:(S = intlimits_a^b dx)

*


Thể tích đồ gia dụng thể B số lượng giới hạn bởi nhì mặt phẳng vuông góc cùng với trục Ox tại những điểm (a,b)là (V = intlimits_a^b S(x)dx.)Trong đó S(x) là diện tích thiết diện của đồ dùng thể bị cắt bởi vì mặt phẳng vuông góc cùng với trục Ox trên điểm có hoành độ là (x in left< a;,b ight>)và S(x) là một trong những hàm liên tục.

*


Hàm số (y=f(x))liên tục với không âm trên (.)Hình phẳng giới hạn bởi đồ gia dụng thị hàm số (y=f(x)), trục hoành và hai tuyến đường thẳng (x=a,x=b)quay xung quanh trục hoành làm cho một khối tròn xoay. Thể tích V được tính bởi cách làm (V = pi intlimits_a^b f^2(x)dx .)

*

Cho hai hàm số(y=f(x)), (y=g(x))thỏa (0leq g(x)leq f(x)), tiếp tục và ko âm trên(.)Hình phẳng số lượng giới hạn bởi đồ gia dụng thị hàm số(y=f(x)), (y=g(x))và hai tuyến phố thẳng(x=a,x=b)quay quanh trục hoành làm cho một khối tròn xoay. Thể tích V được tính bởi công thức(V = pi intlimits_a^b left< f^2(x) - g^2(x) ight>dx.)Cho nhì hàm số hình phẳng số lượng giới hạn bởi thứ thị hàm số (y=f(x))và(y=g(x))​ quay quanh trục hoành hoành làm cho một khối tròn xoay. Để tính được thể tích khối tròn chuyển phiên ta thực hiện các bước:Giải phương trình(f(x) = g(x) Leftrightarrow left< eginarrayl x = a\ x = b endarray ight.)(Thường dạng bài bác này đề bài bác cho phương trình hoành độ giao điểm gồm hai nghiệm phân biệt).Giải sử(0leq g(x)leq f(x))với phần đông x thuộc(.)Khi đó:(V = pi intlimits_a^b left< f^2(x) - g^2(x) ight>dx.)Hình phẳng giới hạn bởi thứ thị hàm số (x = g(y)), trục tung và hai tuyến đường thẳng (y = c,,y = d)quay quanh trục tung làm cho một khối tròn xoay. Thể tích V được tính bởi công thức(V = pi intlimits_c^d g^2(y)dy.)

Tính diện tíchtích hình phẳng giới hạn bởi những đường cong(y = x^3,)trục hoànhvà hai tuyến đường thẳng (x = - 1,x = 2.)

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của đường cong(y = x^3)và trục hoành:

Diện tích hình phẳng phải tính:

(S = intlimits_ - 1^0 dx + intlimits_0^2 x^3 ight = intlimits_ - 1^0 left( - x^3 ight) dx + intlimits_0^2 x^3dx )(= left. - fracx^44 ight|_ - 1^0 + left. fracx^44 ight|_0^2 = frac174)

Ví dụ 2:

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số(y = left( e + 1 ight)x)và(y=(1+e^x)x.)

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường cong là:(left( e + 1 ight)x = left( 1 + e^x ight)x Leftrightarrow left< eginarray*20c x = 0\ e^x = e endarray ight. Leftrightarrow left< eginarray*20c x = 0\ x = 1 endarray ight.)

Nhận xét, với (x in left< 0;1 ight>)thì hiệu số (left( 1 + e^x ight)x - left( e + 1 ight)x = xleft( e^x - e ight) > 0.)

Khi đó, diện tích s hình phẳng bắt buộc tìm là (S = intlimits_0^1 left dx = intlimits_0^1 left)

Đặt (left{ {eginarray*20c u = x\ dv = left( e - e^x ight)dx endarray Rightarrow left eginarray*20c du = dx\ v = ex - e^x endarray ight. ight.)

( _0^1 ight. - intlimits_0^1 left( ex - e^x ight)dx )(= left( - fracex^22 + e^x ight)left| eginarray*20c 1\ 0 endarray ight. = frace - 22.)

Ví dụ 3:

Tính thể tích của phần đồ gia dụng thể giới hạn bởi hai mặt phẳng (x=0)và (x=3), tất cả thiết diện bị cắt vì chưng mặt phẳng vuông góc cùng với trục (Ox)tại điểm bao gồm hoành độ (xleft( 0 le x le 3 ight))là một hình chữ nhật tất cả hai size bằng (x)và (2sqrt 9 - x^2.)

Lời giải:

Diện tích của hình chữ nhật có hai cạnh là (x;2sqrt 9 - x^2)là (2xsqrt 9 - x^2)

Khi đó, thể tích của thiết bị thể được xác định bằng công thức (V = intlimits_0^3 2xsqrt 9 - x^2 dx)

Đặt (t = sqrt 9 - x^2 Leftrightarrow t^2 = 9 - x^2 Leftrightarrow xdx = - tdt)và (left{ eginarray*20c x = 0 Rightarrow t = 3\ x = 3 Rightarrow t = 0 endarray ight.)

Suy ra (V = - 2intlimits_3^0 t^2dt = frac2t^33left| eginarray*20c 3\ 0 endarray ight. = 18.)

Ví dụ 4:

Tính thể tích khối tròn xoay chế tạo ra thành khi đến hình phẳnggiới hạn vày đồ thị hàm số (y = 2x - x^2)và (y = x)quay xung quanh trục Ox.

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ dùng thị hàm số(y = 2x - x^2) và mặt đường thẳng(y=x)là (2x - x^2 = x Leftrightarrow x^2 - x = 0 Leftrightarrow left< eginarray*20c x = 0\ x = 1 endarray ight.)

Khi đó, thể tích khối tròn xoay đề nghị tìm là (V = pi intlimits_0^1 dx = pi intlimits_0^1 dx)

(Rightarrow V = left| pi intlimits_0^1 left( x^4 - 4x^3 + 3x^2 ight)dx ight| = pi left| left( fracx^55 - x^4 + x^3 ight)left ight| = fracpi 5.)


Trong quy trình học tập môn Toán trong chương trình phổ thông, các em đã khá rất gần gũi với các phương thức tínhdiện tích với thể tíchcủa một đối tượng bằng cách xác định các yếu tố liên quan đến đối tượng người sử dụng như độ lâu năm cạnh, số đo góc,....Sau khi tìm hiểu khái niệmTích phâncác em sẽ được tiếp cận một cách thức mới để tínhdiện tích hình phẳng,thể tích của trang bị thể,thể tích khối tròn xoaychỉ trải qua các hàm số làỨng dụng tích phân.


Để cũng cố bài học xin mời những em cũng làm bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 12 Chương 3 bài bác 3 để đánh giá xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.


Câu 1:Cho đồ thị hàm số y = f(x). Khẳng định công thức tính diện tích s S của hình phẳng (phần gạch men chéo) vào hình.


A.(S = intlimits_ - 2^3 fleft( x ight)dx)B.(S = intlimits_0^ - 2 fleft( x ight)dx + intlimits_2^3 fleft( x ight)dx)C.(S = intlimits_ - 2^0 fleft( x ight)dx + intlimits_3^0 fleft( x ight)dx)D.(S = intlimits_ - 2^0 fleft( x ight)dx + intlimits_0^3 fleft( x ight)dx)

Câu 2:

Tính diện tích S của hình phẳng số lượng giới hạn bởi đồ dùng thị hàm số (y = x^4 - 5x^2 + 4), trục hoành và hai tuyến đường thẳng(x = 0;x = 1).


Câu 3:

Tính diện tích s S của hình phẳng giởi hạn vì đồ thị hàm số(y = x^3 - x)và đồ gia dụng thị hàm số(y = x^2 - x.)


A.(S = frac116)B.(S = frac112)C.(S = frac18)D.(S = frac14)

Câu 4-10:Mời những em singin xem tiếp ngôn từ và thi test Online nhằm củng cố kiến thức và kỹ năng và nắm rõ hơn về bài học kinh nghiệm này nhé!


Bên cạnh đó các em rất có thể xem phần gợi ý Giải bài tập Toán 12 Chương 3 bài bác 3sẽ giúp những em núm được các cách thức giải bài bác tập từ SGKGiải tích 12Cơ phiên bản và Nâng cao.

Xem thêm: Bộ Đề Thi Hsg Hóa 9 Cấp Huyện 2017-2018, Đề Thi Hsg Hóa Học 9 Huyện Quỳ Hợp 2017

bài tập 1 trang 121 SGK Giải tích 12

bài tập 2 trang 121 SGK Giải tích 12

bài xích tập 3 trang 121 SGK Giải tích 12

bài tập 4 trang 121 SGK Giải tích 12

bài xích tập 5 trang 121 SGK Giải tích 12

bài bác tập 3.31 trang 178 SBT Toán 12

bài bác tập 26 trang 167 SGK Toán 12 NC

bài bác tập 27 trang 167 SGK Toán 12 NC

bài bác tập 28 trang 167 SGK Toán 12 NC

bài xích tập 29 trang 172 SGK Toán 12 NC

bài bác tập 30 trang 172 SGK Toán 12 NC

bài bác tập 31 trang 172 SGK Toán 12 NC

bài xích tập 32 trang 173 SGK Toán 12 NC

bài xích tập 33 trang 173 SGK Toán 12 NC

bài tập 34 trang 173 SGK Toán 12 NC

bài bác tập 35 trang 175 SGK Toán 12 NC

bài xích tập 36 trang 175 SGK Toán 12 NC

bài bác tập 37 trang 175 SGK Toán 12 NC

bài xích tập 38 trang 175 SGK Toán 12 NC

bài tập 39 trang 175 SGK Toán 12 NC

bài xích tập 40 trang 175 SGK Toán 12 NC

bài xích tập 3.32 trang 178 SBT Toán 12 NC

bài tập 3.33 trang 178 SBT Toán 12

bài tập 3.34 trang 178 SBT Toán 12

bài tập 3.35 trang 178 SBT Toán 12

bài xích tập 3.36 trang 179 SBT Toán 12

bài bác tập 3.37 trang 179 SBT Toán 12

bài bác tập 3.38 trang 179 SBT Toán 12

bài xích tập 3.39 trang 180 SBT Toán 12

bài xích tập 3.40 trang 180 SBT Toán 12

bài tập 3.41 trang 180 SBT Toán 12

bài tập 3.42 trang 480 SBT Toán 12


Nếu có vướng mắc cần giải đáp những em rất có thể để lại thắc mắc trong phầnHỏiđáp, xã hội Toán HỌC247 đã sớm vấn đáp cho những em.