Bài tập số phức nâng cao, xuất xắc và khó chọn lọc
Với bài bác tập số phức nâng cao, hay với khó tinh lọc Toán lớp 12 tổng hợp những dạng bài bác tập, trên 50 bài tập trắc nghiệm tất cả lời giải chi tiết với đầy đủ phương thức giải, ví dụ như minh họa sẽ giúp đỡ học sinh ôn tập, biết phương pháp làm dạng bài tập số phức từ kia đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 12.
Bạn đang xem: Toán số phức khó
20 bài tập Số phức
Câu 1: cho số phức z thỏa mãn điều kiện |z - 3 + 4i| ≤ 2. Trong mặt phẳng Oxy tập vừa lòng điểm màn biểu diễn số phức w = 2z + 1 - i là hình tròn có diện tích:
A. S = 9πB. S = 12π.C. S = 16π.D.S = 25π.
Hướng dẫn:
Ta có:
|w - 1 + i - 6 + 8i| ≤ 4 |w - 7 + 9i| ≤ 4 (1)
Giả sử w = x + yi, lúc đó (1) (x - 7)2 + (y + 9)2 ≤ 16
Suy ra tập hòa hợp điểm trình diễn số phức w là hình tròn trụ tâm I(7; -9), bán kính r = 4
Vậy diện tích s cần kiếm tìm là S = π.42 = 16π
Chọn C.
Câu 2: cho số phức z vừa lòng |z| = 1. Tìm giá chỉ trị lớn nhất của biểu thức
A.5B.4C.6D.8
Hướng dẫn:
Ta có:
Khi z = i thì A = 6
Chọn C.
Câu 3. cho số phức z thỏa mãn nhu cầu |z| = 1. Tìm giá trị lớn nhất max M và giá trị nhỏ nhất min M của biểu thức M = |z2 + z + 1| + |z3 + 1|
A. Max M = 5; min M = 1B. Max M = 5; min M = 2
C. Max M = 4; min M = 1D.max M = 4; min M = 2
Hướng dẫn:
Ta có: M ≤ |z|2 + |z| + 1 + |z|3 + 1 = 5 ,
khi z = 1 thì M = 5 yêu cầu max M = 5
Mặt khác:
khi z = -1 thì M = 1 bắt buộc min M = 1
Chọn A.
Câu 4. mang lại số phức z thỏa |z| ≥ 2 . Tìm kiếm tích của giá trị lớn nhất và nhỏ dại nhất của biểu thức:
Hướng dẫn:
Ta có:
Mặt khác:
Vậy, giá bán trị nhỏ nhất của p là
giá trị lớn nhất của p. Bằng
Chọn A.
Câu 5. đến số phức z thỏa mãn nhu cầu |z| = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức p = |1 + z| + 3|1 - z|
Hướng dẫn:
Gọi z = x + yi.
Ta có:
=> y2 = 1 - x2 => x ∈ <-1; 1>
Ta có:
P = |1 + z| + 3|1 - z|
Xét hàm số:
Hàm số tiếp tục trên <-1; 1> với với x ∈ (-1; 1) ta có:
Ta có:
f(1) = 2; f(-1) = 6;
Chọn D.
Câu 6 . cho số phức z vừa lòng điều khiếu nại |z2 + 4| = 2|z|. Xác định nào sau đây là đúng?
Hướng dẫn:
Áp dụng bất đẳng thức |u| + |v| ≥ | u + v|, ta được:
2|z| + |-4| = |z2 + 4| + |-4| ≥ |z|2 => |z|2 - 2|z| - 4 ≤ 0 => |z| ≤ √5 + 1.
2|z| + |z|2 = |z2 + 4| + |-z2| ≥ 4 => |z|2 + 2|z| - 4 ≥ 0 => |z| ≥ √5 - 1
Vậy |z| bé dại nhất là √5 - 1 khi z = -1 + i√5 với |z| lớn số 1 là √5 + 1 khi z = 1 + i√5
Chọn B.
Câu 7. mang lại z1; z2 là hai số phức liên hợp của nhau và vừa lòng
A. |z1| = √5
B. |z1| = 3
C. |z1| = 2
D. |z1| =
Hướng dẫn:
Gọi z1 = a + bi; z2 = a - bi.
Không mất tính tổng quát ta coi b ≥ 0
Do |z1 - z2| = 2√3 => |2bi| = 2√3 => b = √3
Do z1; z2 là nhị số phức liên hợp của nhau cần z1; z2 ∈ R, mà:
Ta có:
(z1)3 = (a + bi)3 = (a3 - 3ab2) + (3a2b - b3)i ∈ R
Chọn C.
Câu 8. hotline z = x + yi là số phức thỏa mãn hai điều kiện: |z - 2|2 + |z + 2|2 = 26 với
Hướng dẫn:
Đặt z = x + yi nạm vào đk thứ nhất, ta được x2 + y2 = 36
Đặt x = 3.cost; y = 3sint. Rứa vào điều kiện thứ hai, ta có:
Dấu bằng xảy ra khi:
Chọn D.
Câu 9. Biết số phức z thỏa mãn nhu cầu đồng thời hai điều kiện |z - 3 - 4i| = √5 cùng biểu thức M = |z + 2|2 - |z - i|2 đạt giá chỉ trị khủng nhất. Tính môđun của số phức z + i.
A. |z + i| = 2√41
B. |z + i| = 3√5
C. |z + i| = 5√2
D. |z + i| = √41
Hướng dẫn:
Gọi z = x + yi.
Ta có: |z - 3 - 4i| = √5 (C): (x - 3)2 + (y - 4)2 = 5, trọng điểm I(3; 4) và R = √5
Mặt khác:
M = |z + 2|2 - |z - i|2 = (x + 2)2 + y2 - <(x2) + (y - 1)2> = 4x + 2y + 3
d: 4x + 4y + 3 - M = 0
Do số phức z thỏa mãn nhu cầu đồng thời hai đk nên d và (C) gồm điểm chung
Chọn D.
Câu 10. mang lại số phức z thỏa mãn điều kiện: |z - 1 + 2i| = √5 cùng w = z + 1 + i gồm môđun khủng nhất. Số phức z tất cả môđun bằng:
A. 2√5B. 3√2
C. √6D. 5√2
Hướng dẫn:
Gọi z = x + y; khi đó: z - 1 + 2i = (x - 1) + (y + 2)i
Ta có:
Suy ra tập hợp điểm M(x; y) màn trình diễn số phức z thuộc đường tròn (C) chổ chính giữa I(1; -2) bán kính R = √5 như hình vẽ:
Dễ thấy O ∈ (C), N(-; -1) ∈ (C),
Theo đề ta có: M(x; y) ∈ (C) là vấn đề biểu diễn mang lại số phức z thỏa mãn: w = z + 1 + i = x + yi + 1 + i = (x + 1) + (y + 1)i
Suy ra |z + 1 + i|đạt quý giá lớn nhất lúc MN lớn nhất
Mà M, N ∈ (C) nên MN lớn nhất khi MN là 2 lần bán kính đường tròn (C)
Khi còn chỉ khi I là trung điểm MN => M(3; 3) => z = 3 - 3i
Chọn B
Câu 11: đến hai số phức z1; z2 tất cả điểm màn biểu diễn lần lượt là M1; m2 cùng thuộc con đường tròn bao gồm phương trình x2 + y2 = 1 với |z1 - z2| = 1. Tính giá trị biểu thức p = |z1 + z2|
Hướng dẫn:
M1; mét vuông đường tròn (T) gồm tâm O(0; 0) và nửa đường kính R = 1
Ta bao gồm |z1 - z2| = 1 tốt M1M2 = 1.tam giác OM1M2 là tam giác phần đa cạnh bởi 1
Suy ra:
Chọn D.
Câu 12. cho các số phức a; b;c vừa lòng a + b + c = 0 và |a| = |b| = |c| = 1. điện thoại tư vấn A; B: C lần lượt là vấn đề biểu diễn cho những số phức a; b; c . Tính diện tích của tam giác ABC
Hướng dẫn:
Cách 1: (Tự luận)
+ trước tiên ta minh chứng tam giác ABC đông đảo nội tiếp mặt đường tròn bán kính bằng 1. Thực vậy: từ đưa thiết |a| = |b| = |c| = 1. Buộc phải A; B; C hồ hết thuộc đường tròn (O;R = 1) .
+ Ta chứng minh tam giác ABC đều. Chú ý: |a - b| = AB
+ từ a + b + c = 0 yêu cầu a = -b -c => |b + c| = 1 cùng |c + a| = |a + b| = 1 .
Mặt khác theo hằng đẳng thức hình bình hành ta có |a + b|2 + |a - b|2 = 2(|a|2 + |b|2) đề xuất ta đã đạt được |a - b|2 = 2.2 - 1 = 3 => |a - b| = √3 => AB = √3 .
Tương từ ta tính được BC = CA = √3 . Cho nên vì thế tam giác ABC đầy đủ với cạnh bằng √3 cần có diện tích bằng
Cách 2: chuẩn chỉnh hóa bằng những số phức:
Khi kia ta dễ thấy các số phức trên thỏa mãn các đk của bài xích toán.
từ đó ta tìm được diện tích của tam giác ABC.
Chọn C.
Câu 13. hotline A, B, C lần lượt là điểm biểu diễn những số phức
Khi đó, mệnh đề như thế nào dưới đó là đúng.
A. A; B; Cthẳng hàng.B. Tam giác ABC là tam giác tù.
C. ΔABC là tam giác đều.D. Tam giác ABC là tam giác vuông cân.
Hướng dẫn:
Ta tất cả z1 = 2 - i; z2 = 3 + i; z3 = 2i.
Từ trên ta được A( 2; -1); B(3; 1); C(0; 2).
Ta được:
- vì chưng
- thường thấy tam giác ABC chưa phải là tam giác phần đa và cũng chưa phải tam giác vuông.
Vậy tam giác ABC là tam giác tù.
Chọn B.
Câu 14. cho số phức z thỏa mãn nhu cầu |z - 1 + 2i| + |z + 2 - i| = 3√2. Call M; m thứu tự là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức p. = |z - 3 + i|. Cực hiếm của tổng S = M + m là:
Hướng dẫn:
+ đầu tiên ta bao gồm mệnh đề quen thuộc: trường hợp z; z’ lần lượt có điểm biểu diễn là A; A’ thì |z" - z| = A"A .
+ Xét những số phức z1 = 1 - 2i; z2 = -2 + i; z3 = 3 - i và z = x + yi lần lượt gồm điểm biểu diễn là A; B; C và N.
Khi kia ta tất cả giả thiết là na + NB = 3√2 (1) với AB = 3√2 (2).
Từ (1) với (2) ta được N thuộc đoạn thẳng AB.
Yêu cầu bài toán là tìm kiếm min hoặc max của biểu thức S = NC cùng với ABC là 3 đỉnh của tam giác.
Khi kia minP = NC; maxP = maxCA,CB .
+ Ta tất cả đường trực tiếp AB: x + y + 1 = 0 nên
+ CA = √5;CB = √29 suy ra max p. = √29.
Chọn A.
Câu 15. cho 3 số phức z1; z2; z3 phân biệt thỏa mãn |z1| = |z2| = |z3| = 3 cùng
A. 60o
B. 90o
C. 150o
D. 120o
Hướng dẫn:
Giả sử zk = xk + yk, khi đó điểm A(x1; y1); B( x2; y2); C(x3; y3) lần lượt là vấn đề biểu diễn cho các số phức z1; z2; z3 xung quanh phẳng tọa độ Oxy.
+ Từ mang thiết |z1| = |z2| = |z3| = 3 => OA = OB = OC = 3nên A; B; C đa số thuộc con đường tròn trung khu O, bán kính R = 3.
(vì |z1| = |z2| = |z3| = 3 ) xuất xắc x1 - y1.i + x2 - y2.i = x3 - y3i.
+ vì OA = OB = 3 với
+ Từ trên suy ra tam giác OAC; OBC hầu như cạnh bởi 3 cần ∠ACB = 120o
Chọn D.
Câu 16. cho những số phức a; b; c; z thỏa mãn nhu cầu az2 + bz + c = 0 và |a| = |b| = |c| > 0 . Kí hiệu M = max|z|, m = min|z|. Tính tế bào đun của số phức w = M - mi.
A. |w| = √3B. |w| = 1C. |w| = 2√3D. |w| = 2
Hướng dẫn:
Ta thấy phương trình az2 + bz + c = 0 bên trên tập số phức luôn luôn có hai nghiệm rành mạch hoặc trùng nhau z1; z2.
Theo định lý vi – ét ta có:
Đặt |z1| = x > 0; x ∈ R , khi ấy ta có:
Từ bất đẳng thức |z1| + |z2| ≥ |z1 + z2| nên bố số |z1|, |z2|, |z1 + z2| là 3 cạnh của một tam giác (có thể suy trở thành đoạn thẳng).
Áp dụng bất đẳng thức tam giác ngược ta được:
Chọn A.
Câu 17. cho số phức z thỏa mãn nhu cầu
A. 3B. √5C. √13D. 5
Hướng dẫn:
Với mang thiết ta có:
Từ kia ta được:
Từ đó bằng phương pháp thay a ví dụ ta được lời giải C.
Câu 18. mang lại số phức z thỏa mãn nhu cầu |z| = 1 Tìm tổng mức lớn nhất, nhỏ dại nhất của biểu thức p với phường = |1 + z22| - |1 + z| ?
A. 2 + √2B. 1 + 2√2C. -1 + 2√2D. 2 - √2
Hướng dẫn:
Ta có:
nên ta có maxP = P(1) = 0; minP = P(0) = -√2.
Hàm số nghịch đổi mới trên .
Từ đó ta được max p. = P(-1) = 2; minP = P(0) = -√2.
+ Từ bên trên ta được:
Chọn A.
Câu 19. mang lại hai số phức z1; z2 vừa lòng |z1|z1 = 4|z2|z2 cùng nếu gọi M, N là vấn đề biểu diễn z1; trong phương diện phẳng tọa độ thì tam giác giác mon có diện tích s là 8. Tìm giá chỉ trị nhỏ tuổi nhất của |z1 + z2|
A. 3√3B.8C. 6√2D.5
Hướng dẫn:
Giải theo từ bỏ luận
+ Từ giả thiết |z1|z1 = 4|z2|z2, suy ra |z1| = 2|z2| với ta được z1 = 2z2.
+ mang sử z1 = x + yi; z2 = a + bi. Ta được
Ta có:
Từ diện tích của tam giác OMN bằng 8 cần |bx + ay| = 16 hay |ab| = 4 (1).
Ta có:
Dấu bằng diễn ra khi và chỉ khi :
Chọn C.
Câu 20. mang lại hai số phức z1; z2 thỏa mãn |z1 + 5| = 5, |z2 + 1 - 3i| = |z2 - 3 - 6i|. Tìm giá bán trị nhỏ dại nhất của |z1 - z2|
Hướng dẫn:
Giả sử M(a; b) là vấn đề biểu diễn của số phức z1 = a + bi, N(c; d) là vấn đề biểu diễn của số phức z2 = c + di
Ta có: |z1 + 5| = 5 (z1 + 5)2 + b2 = 25
Vậy M thuộc đường tròn (C): (x + 5)2 + y2 = 25
|z2 + 1 - 3i| = |z2 - 3 - 6i| 8c + 6d = 35
Vậy N thuộc mặt đường thẳng Δ 8x + 6y = 35
Dễ thấy con đường thẳng Δ không giảm (C) và |z1 - z2| = M .
Bài toán trở thành: Trong mặt phẳng Oxy mang lại đường tròn (C) và mặt đường thẳng 8x + 6y = 35. Tìm giá chỉ trị nhỏ nhất của MN, biết M chạy trên (C) , N chạy trê tuyến phố thẳng Δ .
Gọi d là đường thẳng qua I với vuông góc với Δ .
PT mặt đường thẳng d là 6x - 8y = -30.
Gọi H là giao điểm của d với Δ . Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ
Gọi K, L là giao điểm của d với mặt đường tròn (C). Tọa độ K, L là nghiệm của hệ
Vậy K(-1; 3), L(-9; -3)
Tính trực tiếp HK, HL. Suy ra
Câu 21.
Xem thêm: Tổng Hợp Lý Thuyết Bài Tập Tìm M Để Hàm Số Có 2 Tiệm Cận Đứng ?
trong số số phức z vừa lòng điều kiện: |z – 2 + 3i| = . Search số phức z gồm môđun nhỏ nhất.
Hướng dẫn:
Giả sử z = x + yi, lúc đó:
=> Tập hợp điểm M thoả mãn đk đã cho là đường tròn trọng tâm I(2; -3) và bán kính Môđun của z đạt giá chỉ trị nhỏ dại nhất khi và chỉ khi M thuộc mặt đường tròn với gần O tốt nhất