Tìm Hệ Số Lớn Nhất Trong Khai Triển

Bài viết phía dẫn cách thức giải việc tìm hệ số lớn nhất trong triển khai nhị thức Newton (Niu-tơn), đây là dạng toán thường gặp trong chương trình Đại số cùng Giải tích 11: tổng hợp và Xác suất.

1. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN+ Áp dụng khai triển $(a + b)^n$ $ = sumlimits_k = 0^n C_n^k a^n – kb^k.$+ khẳng định số hạng bao quát $C_n^ka^n – kb^k$, suy ra hệ số tổng quát là 1 dãy số theo $a_k.$+ Xét tính tăng giảm của $a_k$ từ đó tìm $k$ tương ứng.+ Suy ra hệ số lớn nhất trong khai triển.

2. BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1: mang lại khai triển: $(1 + 2x)^n$ $ = a_0 + a_1x + ldots + a_nx^n$, trong những số đó $n in N^*$ và các hệ số $a_0$, $a_1$, …, $a_n$ thỏa mãn nhu cầu $a_0 + fraca_12 + ldots + fraca_n2^n = 4096.$ kiếm tìm số mập nhất trong các số $a_0$, $a_1$, …, $a_n.$

Lời giải:Ta có: $(1 + 2x)^n$ $ = sumlimits_k = 0^n C_n^k 2^kx^k.$Chọn $x = frac12$, ta được: $sumlimits_k = 0^n C_n^k = 2^n.$Suy ra: $a_0 + fraca_12 + ldots + fraca_n2^n$ $ = sumlimits_k = 0^n C_n^k $ $ Leftrightarrow 2^n = 4096$ $ Leftrightarrow n = 12.$Xét số tổng thể trong khai triển là: $a_k = C_12^k2^k.$Xét dãy số $a_k = C_12^k.2^k$, ta có: $a_k + 1 = C_12^k + 1.2^k + 1.$Xét $a_k – a_k + 1 > 0$ $ Leftrightarrow C_12^k.2^k – C_12^k + 1.2^k + 1 > 0.$$ Leftrightarrow frac12!2^kk!(12 – k)! – frac12!2^k + 1(k + 1)!(11 – k)! > 0$ $ Leftrightarrow frac12!2^kk!(11 – k)!left( frac112 – k – frac2k + 1 ight) > 0.$$ Leftrightarrow frac112 – k – frac2k + 1 > 0$ $ Leftrightarrow 3k – 23 > 0$ $ Leftrightarrow k > frac233 approx 7,7.$Do đó $a_8 > a_9 > ldots > a_12.$Tương tự: $a_k – a_k + 1 cho nên vì vậy $a_8 > a_7 > ldots > a_0.$Vậy $max left( a_0,a_1, ldots ,a_n ight) = a_8$ $ = C_12^82^8 = 126720.$

Bài 2: tìm $k in 0;1;2; ldots ;2005 $ thế nào cho $C_2005^k$ đạt giá bán trị khủng nhất.

Lời giải:Ta có: $C_2005^k$ lớn nhất $ Leftrightarrow left{ eginarray*20lC_2005^k ge C_2005^k + 1\C_2005^k ge C_2005^k – 1endarray ight.$ $(forall k in 0;1;2; ldots ;2005 ).$$ Leftrightarrow left{ eginarray*20lfrac2005!k!(2005 – k)! ge frac2005!(k + 1)!(2004 – k)!\frac2005!k!(2005 – k)! ge frac2005!(k – 1)!(2006 – k)!endarray ight.$ $ Leftrightarrow left{ eginarray*20lfrac12005 – k ge frac1k + 1\frac1k ge frac12006 – kendarray ight..$$ Leftrightarrow left{ eginarray*20lk + 1 ge 2005 – k\2006 – k ge kendarray ight.$ $ Leftrightarrow left{ eginarray*20lk ge 1002\k le 1003endarray ight.$ $ Leftrightarrow 1002 le k le 1003.$Vậy $C_2005^k$ đạt cực hiếm lớn nhất khi và chỉ khi $left< eginarray*20lk = 1002\k = 1003endarray ight..$

Bài 3: search hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức Newton của $left( frac13 + frac23x ight)^15.$

Lời giải:Ta có: $left( frac13 + frac23x ight)^15$ $ = sumlimits_k = 0^15 C_15^k left( frac13 ight)^15 – kleft( frac23 ight)x^k$ $ = sumlimits_k = 0^15 C_15^k frac2^k3^15x^k.$Gọi $a_k$ là hệ số của $x^k$ trong khai triển, với $k = overline 0..15 .$Xét dãy số $a_k = frac13^15C_15^k2^k.$Ta có: $a_k + 1 = frac13^15C_15^k + 1.2^k + 1.$Suy ra: $a_k $ Leftrightarrow frac115 – k Vậy $a_0 Ngược lại: $a_k > a_k + 1$ $ Leftrightarrow k > frac293.$Suy ra: $a_10 > a_11 > a_12 > ldots > a_15.$Vậy hệ số lớn số 1 trong khai triển trên là: $a_10 = frac2^103^15C_15^10 = 3003.frac2^103^15.$

Bài 4: Trong triển khai của $left( frac13 + frac23x ight)^10$ thành đa thức $a_0 + a_1x + a_2x^2 + ldots + a_10x^10$ $left( a_k in R ight).$ Tìm thông số $a_k$ lớn số 1 $(0 le k le 10).$

Lời giải:Ta có: $a_k – 1 le a_k$ $ Leftrightarrow C_10^k – 1.2^k – 1 le C_10^k.2^k$ $ Leftrightarrow frac1(k – 1)!(11 – k)! le frac2k!(10 – k)!.$$ Leftrightarrow k le 2(11 – k)$ $ Leftrightarrow k le frac223.$Vậy thông số $a_7$ là to nhất: $a_7 = frac13^10.C_10^7.2^7.$

Bài 5: mang đến $n$ là số nguyên dương cụ định. Chứng minh rằng $C_n^k$ lớn số 1 nếu $k$ là một vài tự nhiên lớn số 1 không vượt thừa $fracn + 12.$

Lời giải:Ta có: $C_n^k = fracn!k!(n – k)!$ với $C_n^k – 1 = fracn!(k – 1)!(n – k + 1)!$ $ Rightarrow fracC_n^kC_n^k – 1 = fracn – k + 1k.$Do đó: $C_n^k > C_n^k – 1$ $ Leftrightarrow fracn – k + 1k > 1$ $ Leftrightarrow k Suy ra $C_n^k$ lớn số 1 nếu $k$ là số tự nhiên lớn tốt nhất không vượt vượt $fracn + 12.$

Bài 6: Khai triển nhiều thức $P(x) = (1 + 2x)^12$ thành dạng $P(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + ldots + a_12x^12.$ Hãy kiếm tìm $max left( a_1,a_2,a_3, ldots ,a_12 ight).$

Lời giải:Ta có: $P(x) = (1 + 2x)^12$ $ = sumlimits_k = 0^12 C_12^k .(2x)^k$ $ = sumlimits_k = 0^12 C_12^k .2^k.x^k.$Do đó: $a_k = C_12^k.2^k.$Xét hàng số $a_k = C_12^k.2^k$, $k = overline 1..12 .$Ta có: $a_k + 1 = C_12^k + 1.2^k + 1.$Suy ra $a_k $ Leftrightarrow frac12!k!(12 – k).(11 – k)!.2^k$ $ Suy ra: $a_0 Ngược lại: $a_k > a_k + 1$ $ Leftrightarrow k > frac233$ suy ra: $a_8 > a_9 > a_10 > a_11 > a_12.$Vậy với mọi $k = overline 1..12 $, $a_k le a_8.$Vậy $max left( a_1,a_2,a_3, ldots ,a_12 ight) = a_8$ $ = C_12^8.2^8 = 126720.$

Bài 7: tìm hệ số lớn nhất trong khai triển: $(3 + 2x)^8.$

Lời giải:Ta có: $(3 + 2x)^8$ $ = sumlimits_k = 0^8 C_8^k 3^8 – k2^kx^k.$Hệ số bao quát trong triển khai là: $a_k = C_8^k3^8 – k2^k.$Xét hàng số $a_k = C_8^k3^8 – k2^k$, $k = overline 0..8 .$Ta có: $a_k + 1 = C_8^k + 13^7 – k2^k + 1.$Xét $a_k – a_k + 1 > 0$ $ Leftrightarrow C_8^k3^8 – k2^k – C_8^k + 13^7 – k2^k + 1 > 0.$$ Leftrightarrow 3^7 – k2^kleft( 3C_8^k – 2C_8^k + 1 ight) > 0$ $ Leftrightarrow 3.frac8!k!(8 – k)! – 2.frac8!(k + 1)!(7 – k)! > 0.$$ Leftrightarrow frac8!k!(7 – k)!left( frac38 – k – frac2k + 1 ight) > 0$ $ Leftrightarrow frac3k – 3 – 16 + 2k(8 – k)(k + 1) > 0$ $ Leftrightarrow k > frac195.$Suy ra: $a_4 > a_5 > a_6 > a_7 > a_8.$Ngược lại: $a_k – a_k + 1 Suy ra: $a_4 > a_3 > a_2 > a_1 > a_0.$Vậy hệ số lớn nhất trong khai triển là: $a_4 = C_8^43^42^4 = 90720.$

Bài 8: kiếm tìm hệ số lớn nhất trong khai triển của $(2 + 3x)^2n$, trong các số ấy $n$ là số nguyên dương thỏa mãn: $C_2n + 1^1 + C_2n + 1^3$ $ + C_2n + 1^5 + ldots + C_2n + 1^2n + 1$ $ = 1024.$

Lời giải:Xét khai triển: $(1 + x)^2n + 1$ $ = C_2n + 1^0 + C_2n + 1^1x$ $ + C_2n + 1^2x^2 + C_2n + 1^3x^3$ $ + ldots + C_2n + 1^2n + 1x^2n + 1.$Chọn $x= 1$, ta được: $C_2n + 1^0 + C_2n + 1^1$ $ + C_2n + 1^2 + C_2n + 1^3$ $ + ldots + C_2n + 1^2n + 1 = 2^2n + 1$ $(*).$Chọn $x = – 1$, ta được: $C_2n + 1^0 – C_2n + 1^1$ $ + C_2n + 1^2 – C_2n + 1^3$ $ + ldots – C_2n + 1^2n + 1 = 0.$Từ $(*)$ suy ra: $2left( C_2n + 1^1 + C_2n + 1^3 + C_2n + 1^5 + ldots + C_2n + 1^2n + 1 ight)$ $ = 2^2n + 1.$$ Leftrightarrow C_2n + 1^1 + C_2n + 1^3 + C_2n + 1^5 + ldots + C_2n + 1^2n + 1 = 2^2n.$Theo đưa thiết ta có: $2^2n = 1024 = 2^10$ $ Leftrightarrow n = 5.$Từ kia suy ra: $(2 + 3x)^2n$ $ = (2 + 3x)^10$ $ = sumlimits_k = 0^10 C_10^k 2^10 – k(3x)^k$ $ = sumlimits_k = 0^10 3^k .C_10^k2^10 – kx^k.$Xét dãy số $a_k = 3^k.C_10^k2^10 – k$, $k = overline 0..10 .$Ta có: $a_k + 1 = 3^k + 1.C_10^k + 12^9 – k.$Ta có: $a_k > a_k + 1$ $ Leftrightarrow a_k – a_k + 1 > 0$ $ Leftrightarrow 3^k.C_10^k2^10 – k – 3^k + 1.C_10^k + 12^9 – k > 0.$$ Leftrightarrow 3^k2^9 – kleft( 2C_10^k – 3C_10^k + 1 ight) > 0$ $ Leftrightarrow 2.frac10!k!(10 – k)! – 3.frac10!(k + 1)!(9 – k)! > 0.$$ Leftrightarrow frac10!k!(9 – k)!left( frac210 – k – frac3k + 1 ight) > 0$ $ Leftrightarrow frac10!k!(9 – k)!left( frac5k – 28(10 – k)(k + 1) ight) > 0$ $ Leftrightarrow k > frac285.$Suy ra: $a_6 > a_7 > ldots > a_10.$Ngược lại: $a_k Suy ra: $a_6 > a_7 > … > a_10.$Ngược lại: $a_k Suy ra: $a_6 > a_5 > … > a_0.$Vậy hệ số lớn số 1 trong triển khai là: $a_6 = 3^6.C_16^62^4 = 2449440.$

Bài 9: tìm hệ số có giá trị lớn nhất của khai triển: $(1 + x)^n$, biết rằng tổng những hệ số bằng $4096.$

Lời giải:Xét triển khai $(1 + x)^n = sumlimits_k = 0^n C_n^k x^k.$Chọn $x = 1$, ta được: $sumlimits_k = 0^n C_n^k = 2^n.$Theo đưa thiết ta có: $2^n = 4096$ $ Leftrightarrow n = 12.$Suy ra: $(1 + x)^n$ $ = (1 + x)^12$ $ = sumlimits_k = 0^12 C_12^k x^k.$Xét hàng số $a_k = C_12^k.$Ta có: $a_k ge a_k + 1$ $ Leftrightarrow C_12^k ge C_12^k + 1$ $ Leftrightarrow frac12!k!(12 – k)! ge frac12!(k + 1)!(11 – k)!.$$ Leftrightarrow frac12!k!(12 – k)(11 – k)! ge frac12!(k + 1)k!(11 – k)!$ $ Leftrightarrow frac1(12 – k) ge frac1(k + 1)$ $ Leftrightarrow k ge frac132.$Suy ra: $a_7 ge a_8 ge ldots ge a_12.$Ngược lại: $a_k le a_k + 1$ $ Leftrightarrow k le frac132.$Suy ra: $a_7 ge a_6 ge ldots ge a_0.$Vậy hệ số lớn nhất trong khai triển là: $a_7 = C_12^7 = 792.$