Bạn đang xem: Tìm điểm m thỏa mãn đẳng thức vectơ
Thí dụ 1: Cho ΔABC đều nội tiếp đường tròn tâm O.a. Chứng minh rằng $\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow 0 $.b. Hãy xác định các điểm M, N, P sao cho:$\overrightarrow {OM} $ = $\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} $; $\overrightarrow {ON} $ = $\overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} $; $\overrightarrow {OP} $ = $\overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OA} $.
a. Vì ΔABC đều nên O chính là trọng tâm ΔABC, do đó ta có ngay:$\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow 0 $.b. Gọi A1, B1, C1 theo thứ tự là trung điểm của BC, AC, AB.
Kẻ Ax // BC.Kẻ Cy // AB.Giao của Ax và Cy chính là điểm M cần tìm.Thí dụ 3: Cho ΔABC đều, nội tiếp đường tròn tâm O.a. Hãy xác định các điểm M, N, P sao cho:$\overrightarrow {OM} $ = $\overrightarrow {OA} $ + $\overrightarrow {OB} $, $\overrightarrow {ON} $ = $\overrightarrow {OB} $ + $\overrightarrow {OC} $, $\overrightarrow {OP} $ = $\overrightarrow {OC} $ + $\overrightarrow {OA} $.b. Chứng minh rằng $\overrightarrow {OA} $ + $\overrightarrow {OB} $ + $\overrightarrow {OC} $ = $\overrightarrow 0 $.
Với điểm M thoả mãn: $\overrightarrow {OM} $ = $\overrightarrow {OA} $ + $\overrightarrow {OB} $⇒ M là đỉnh thứ tư của hình bình hành AOBM⇒ CM là đường kính của (O), vì ΔABC đều.Với điểm N thoả mãn: $\overrightarrow {ON} $ = $\overrightarrow {OB} $ + $\overrightarrow {OC} $ ⇒ N là đỉnh thứ tư của hình bình hành BOCN⇒ AN là đường kính của (O), vì ΔABC đều.Với điểm P thoả mãn: $\overrightarrow {OP} $ = $\overrightarrow {OC} $ + $\overrightarrow {OA} $ ⇒ P là đỉnh thứ tư của hình bình hành AOCP⇒ BP là đường kính của (O), vì ΔABC đều.Vậy, các điểm M, N, P nằm trên đường tròn (O) sao cho CM, AN, BP là các đường kính của đường tròn (O).b. Dựa vào kết quả câu a) và $\overrightarrow {OC} $ = $\overrightarrow {MO} $, ta có ngay:$\overrightarrow {OA} $ + $\overrightarrow {OB} $ + $\overrightarrow {OC} $ = $\overrightarrow {OM} $ + $\overrightarrow {MO} $ = $\overrightarrow {MO} $ + $\overrightarrow {OM} $ = $\overrightarrow {MM} $ = $\overrightarrow 0 $.Thí dụ 4: Cho ΔABC.a. Tìm điểm I sao cho $\overrightarrow {IA} $ + 2$\overrightarrow {IB} $ = $\vec 0$.b. Tìm điểm K sao cho $\overrightarrow {KA} $ + 2$\overrightarrow {KB} $ = $\overrightarrow {CB} $.c. Tìm điểm M sao cho $\overrightarrow {MA} $ + $\overrightarrow {MB} $ + 2$\overrightarrow {MC} $ = $\vec 0$.
a. Ta biến đổi: $\vec 0$ = $\overrightarrow {IA} $ + 2$(\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {AB} )$ = 3$\overrightarrow {IA} $ + 2$\overrightarrow {AB} $⇔ $\overrightarrow {IA} $ = - $\frac{2}{3}\overrightarrow {AB} $, suy ra điểm I được hoàn toàn xác định.b. Ta biến đổi: $\vec 0$ = $\overrightarrow {KA} $ + $\overrightarrow {KB} $ + ($\overrightarrow {KB} $ + $\overrightarrow {BC} $) = $\overrightarrow {KA} $ + $\overrightarrow {KB} $ + $\overrightarrow {KC} $⇔ K là trọng tâm ΔABC.c. Gọi E, F, N là trung điểm AB, BC, EF, ta có:$\vec 0$ = ($\overrightarrow {MA} $ + $\overrightarrow {MC} $) + ($\overrightarrow {MB} $ + $\overrightarrow {MC} $) = 2$\overrightarrow {ME} $ + 2$\overrightarrow {MF} $ = 4$\overrightarrow {MN} $ ⇔ M ≡ N.Thí dụ 5: Cho trước hai điểm A, B và hai số thực α, β thoả mãn α + β ≠ 0.a. Chứng minh rằng tồn tại duy nhất điểm I thoả mãn α$\overrightarrow {IA} $ + β$\overrightarrow {IB} $ = $\vec 0$.b. Từ đó, suy ra với điểm bất kỳ M, ta luôn có:α$\overrightarrow {MA} $ + β$\overrightarrow {MB} $ = (α + β)$\overrightarrow {MI} $.
a. Ta có:α$\overrightarrow {IA} $ + β$\overrightarrow {IB} $ = $\vec 0$ ⇔ α$\overrightarrow {IA} $ + β($\overrightarrow {IA} $ + $\overrightarrow {AB} $) = $\vec 0$ ⇔ (α + β)$\overrightarrow {IA} $ + β$\overrightarrow {AB} $ = $\vec 0$⇔ (α + β)$\overrightarrow {AI} $ = β$\overrightarrow {AB} $⇔$\overrightarrow {AI} $ = $\frac{\beta }{{\alpha + \beta }}$$\overrightarrow {AB} $.Vì A, B cố định nên vectơ $\frac{\beta }{{\alpha + \beta }}$$\overrightarrow {AB} $ không đổi, do đó tồn tại duy nhất điểm I thoả mãn điều kiện đầu bài.b. Ta có:α$\overrightarrow {MA} $ + β$\overrightarrow {MB} $ = α($\overrightarrow {MI} $ + $\overrightarrow {IA} $) + β($\overrightarrow {MI} $ + $\overrightarrow {IB} $) = (α + β)$\overrightarrow {MI} $ + (α$\overrightarrow {IA} $ + β$\overrightarrow {IB} $) = (α + β)$\overrightarrow {MI} $, đpcm.Nhận xét quan trọng:1. Nếu α = β = 1 thì điểm I chính là trung điểm của AB.2. Bài toán trên được mở rộng tự nhiên cho ba điểm A, B, C và bộ ba số thực α, β, γ cho trước thoả mãn α + β + γ ≠ 0, tức là:
a. Tồn tại duy nhất điểm I thoả mãn: α$\overrightarrow {IA} $ + β$\overrightarrow {IB} $ + γ$\overrightarrow {IC} $ = $\vec 0$.
b. Từ đó suy ra với điểm bất kỳ M, ta luôn có α$\overrightarrow {MA} $ + β$\overrightarrow {MB} $ + γ$\overrightarrow {IC} $ = (α + β + γ)$\overrightarrow {MI} $.
3. Việc mở rộng cho n điểm A$_i$, i = $\overline {1,n} $ và bộ n số thực αi, i = $\overline {1,n} $ thoả mãn $\sum\limits_{i = 1}^n {{\alpha _i}} $≠ 0, xin dành cho bạn đọc.4. Kết quả trên được sử dụng để giải bài toán:“ Cho n điểm A$_i$, i = $\overline {1,n} $ và bộ n số thực αi, $\overline {1,n} $ thoả mãn $\sum\limits_{i = 1}^n {{\alpha _i}} $≠ 0. Tìm số thực k và điểm cố định I sao cho đẳng thức vectơ $\sum\limits_{i = 1}^n {{\alpha _i}\overrightarrow {M{A_i}} } $ = k$\overrightarrow {MI} $, (1)thoả mãn với mọi điểm M. ”Phương pháp giảiVì (1) thoả mãn với mọi điểm M, do đó đúng với M ≡ I, khi đó:$\sum\limits_{i = 1}^n {{\alpha _i}\overrightarrow {I{A_i}} } $ = k$\overrightarrow {II} $ = $\vec 0$. (2)Xác định được điểm I từ (2).Từ (2), suy ra: $\sum\limits_{i = 1}^n {{\alpha _i}\overrightarrow {M{A_i}} } $ = $\sum\limits_{i = 1}^n {{\alpha _i}} $$\overrightarrow {MI} $. (3)Từ (1) và (3), suy ra: $\sum\limits_{i = 1}^n {{\alpha _i}} $$\overrightarrow {MI} $ = k$\overrightarrow {MI} $ ⇔ k = $\sum\limits_{i = 1}^n {{\alpha _i}} $.Thí dụ 6: Cho tứ giác ABCD, M là điểm tuỳ ý. Trong mỗi trường hợp hãy tìm số k và điểm cố định I, J, K sao cho các đẳng thức vectơ sau thoả mãn với mọi điểm M.a. 2$\overrightarrow {MA} $ + $\overrightarrow {MB} $ = k$\overrightarrow {MI} $.b. $\overrightarrow {MA} $ + $\overrightarrow {MB} $ + 2$\overrightarrow {MC} $ = k$\overrightarrow {MJ} $.c. $\overrightarrow {MA} $ + $\overrightarrow {MB} $ + $\overrightarrow {MC} $ + 3$\overrightarrow {MD} $ = k$\overrightarrow {MK} $.
Xem thêm: Sgk Hình Học 12 Cơ Bản - Sách Giáo Khoa Hình Học Lớp 12
a. Vì (1) thoả mãn với mọi điểm M, do đó đúng với M ≡ I, khi đó:2$\overrightarrow {IA} $ + $\overrightarrow {IB} $ = k$\overrightarrow {II} $ = $\vec 0$. (1.1)Từ (1.1), ta được: 2$\overrightarrow {IA} $ + ($\overrightarrow {IA} $ + $\overrightarrow {AB} $) = $\vec 0$ ⇔ $\overrightarrow {IA} $ = -$\frac{1}{3}$$\overrightarrow {AB} $ ⇒ xác định được điểm I.Từ (1.1), ta được: 2$\overrightarrow {MA} $ + $\overrightarrow {MB} $ = (2 + 1)$\overrightarrow {MI} $ = 3$\overrightarrow {MI} $. (1.2)Từ (1) và (1.2), suy ra: 3$\overrightarrow {MI} $ = k$\overrightarrow {MI} $ ⇔ k = 3.b. Vì (2) thoả mãn với mọi điểm M, do đó đúng với M ≡ J, khi đó:$\overrightarrow {JA} $ + $\overrightarrow {JB} $ + 2$\overrightarrow {JC} $ = k$\overrightarrow {JJ} $ = $\vec 0$. (2.1)Gọi E là trung điểm AB, từ (2.1), ta được: 2$\overrightarrow {JE} $ + 2$\overrightarrow {JC} $ = $\vec 0$ ⇔ J là trung điểm của CE.Từ (2.1), ta được: $\overrightarrow {MA} $ + $\overrightarrow {MB} $ + 2$\overrightarrow {MC} $ = (1 + 1 + 2)$\overrightarrow {MJ} $ = 4$\overrightarrow {MJ} $ (2.2)Từ (2) và (2.2), suy ra: 4$\overrightarrow {MJ} $ = k$\overrightarrow {MJ} $ ⇔ k = 4.c. Vì (3) thoả mãn với mọi điểm M, do đó đúng với M ≡ K, khi đó: $\overrightarrow {KA} $ + $\overrightarrow {KB} $ + $\overrightarrow {KC} $ + 3$\overrightarrow {KD} $ = k$\overrightarrow {KK} $ = $\vec 0$. (3.1) Gọi G là trọng tâm ΔABC, từ (3.1), ta được: 3$\overrightarrow {KG} $ + 3$\overrightarrow {KD} $ = $\vec 0$ ⇔ K là trung điểm của GD.Từ (3.1), ta được: $\overrightarrow {MA} $ + $\overrightarrow {MB} $ + $\overrightarrow {MC} $ + 3$\overrightarrow {MD} $ = 6$\overrightarrow {MK} $. (3.2)Từ (3) và (3.2), suy ra: 6$\overrightarrow {MK} $ = k$\overrightarrow {MK} $ ⇔ k = 6.Chú ý: Bài toán tìm điểm có thể được mở rộng thành bài toán tìm tập hợp điểm (quĩ tích). Với các bài toán quĩ tích ta cần nhớ rằng:1. Nếu |$\overrightarrow {MA} $| = |$\overrightarrow {MB} $|, với A, B cho trước thì M thuộc đường trung trực của đoạn AB.2. |$\overrightarrow {MC} $| = k|$\overrightarrow {AB} $|, với A, B, C cho trước thì M thuộc đường tròn tâm C, bán kính bằng k.AB.3. Nếu $\overrightarrow {MA} $ = k$\overrightarrow {BC} $, với A, B, C cho trước thìa. Với k ∈ \(\mathbb{R}\) điểm M thuộc đường thẳng qua A song song với BC.b. Với k ∈ \(\mathbb{R}\)+ điểm M thuộc nửa đường thẳng qua A song song với BC theo hướng $\overrightarrow {BC} $.c. Với k ∈ \(\mathbb{R}\)- điểm M thuộc nửa đường thẳng qua A song song với BC ngược hướng $\overrightarrow {BC} $. Thí dụ 7: Cho ΔABC, tìm tập hợp những điểm M thoả mãn:a. $\overrightarrow {MA} $ + k$\overrightarrow {MB} $ - k$\overrightarrow {MC} $ = $\overrightarrow 0 $. (1)b. (1 - k)$\overrightarrow {MA} $ + $\overrightarrow {MB} $ - k$\overrightarrow {MC} $ = $\overrightarrow 0 $. (2)
a. Ta biến đổi (1) về dạng: $\overrightarrow {MA} $ = k($\overrightarrow {MC} $ - $\overrightarrow {MB} $) ⇔ $\overrightarrow {MA} $ = k$\overrightarrow {BC} $⇔ M thuộc đường thẳng qua A song song với BC.b. Ta biến đổi (2) về dạng: $\overrightarrow {MA} $ + $\overrightarrow {MB} $ - k($\overrightarrow {MA} $ + $\overrightarrow {MC} $) = $\overrightarrow 0 $. (3)Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của AB và AC, ta được:(3) ⇔ 2$\overrightarrow {ME} $ - 2k$\overrightarrow {MF} $ = $\overrightarrow 0 $ ⇔ $\overrightarrow {ME} $ = k$\overrightarrow {MF} $⇔ M thuộc đường trung bình EF của ΔABC.