Để tính tích phân

*
ta có thể làm trực tiếp bằng phương pháp vi phân, hoặc dùng phương pháp đặt ẩn phụ.

Bạn đang xem: Tích phân đổi biến

Cách 1 (Phương pháp vi phân)

Ta có

*

*
.

Cách 2 (Phương pháp đổi biến)

Đặt

*
.

Đổi cận:

*
.

*
.

*
.

Khi đó

*
*
.

Chọn A.

Ví dụ 1.2:Cho biết

*
. Tính giá trị của
*
\text{d}x}" />

A.

*
B.
*
C.
*
D.
*

Lời giải:

*
\text{d}x}=\int\limits_{0}^{2}{f\left( 5-3x \right)\text{d}x}+\int\limits_{0}^{2}{\text{7d}x}" />

Xét

*
, đặt
*
.

Đổi cận:

*
.

*
.

Đáp án D

Ví dụ 1.3:Biết rằng

*
với
*
là các số nguyên. Tính
*
.

A.

*
. B. 7. C. 8. D. 11.

Lời giải:

*

Cách 1 (Phương pháp vi phân)

*

Cách 2 (Phương pháp đổi biến)

Đặt

*
.

Đổi cận:

*
.

*
*
.

Do đó

*
.

Chọn D.

Ví dụ 1.4:Biết rằng

*
với
*
là các số nguyên dương và
*
là phân số tối giản. Tính
*
.

A.

*
. B.
*
. C.
*
. D.
*
.

Lời giải:

Đặt

*
.

Đổi cận:

*
.

*
*
\, \right|_{0}^{1}=2\ln 2-\frac{1}{2}" />.

*
.

Chọn B.

Ví dụ 1.5:Xét tích phân

*
là một số phân số tối giản. Tính hiệu
*
.

A.

*
. B.
*
. C.
*
. D.
*
.

Lời giải:

Đặt

*
.

Đổi cận

*
.

Khi đó

*
*
.

Suy ra

*
.Chọn A.

2. Đổi biến số loại 2:
*

A. Phương pháp

Các bước thực hiện phép đổi biến số loại 2 để tính tích phân

*
.

+ Bước 1: Đặt

*
.

Đổi cận:

+ Bước 2: Biến đổi

*
thành
*
.

+ Bước 3: Khi đó

*
(đơn giản hơn tích phân đã cho).

- Nếu hàm số

*
có chứa
*
thì đặt

*

- Nếu hàm

*
có chứa
*
thì đặt

*

- Nếu hàm

*
có chứa
*
thì đặt
*

- Nếu hàm

*
có chứa
*
thì đặt

*

B. Bài tập ví dụ

Ví dụ 2.1:Biết rằng

*
với
*
là các số nguyên. Tính
*
.

A. 10. B. 12. C. 15. D. 20.

Lời giải:

Đặt.

Đổi cận

*
.

*

*
.

Do đó.

Chọn D.

Ví dụ 2.2:Tính các tích phân sau

a)

*
. b). c)
*
.

Lời giải:

a) Đặt

*
.

Đổi cận

*
.

*

b) Đặt

*
.

Đổi cận

*
.

*

c) Đặt

*
.

Đổi cận

*
.

*
.

3. Đổi biến dựa vào cận

A. Phương pháp

Đối với tích phân có dạng

*
, ta sử dụng phép đổi biến
*
.

Khi đó

*

Xét tích phân

*
:

Đặt

*
.

Đổi cận:

*
.

*
.

Nhận xét:

- Nếu

*
liên tục và là hàm lẻ trên
*
" />thìI=∫-aaf(x)dx.

- Nếu

*
liên tục và là hàm chẵn trên đoạn
*
" />thìI=∫-aaf(x)dx=2∫0af(x)dx.

Xem thêm: Viết Bài Tập Làm Văn Số 1 Lớp 8, Soạn Bài Viết Bài Tập Làm Văn Số 1

B. Bài tập ví dụ

Ví dụ 3.1 (THPT Bắc Duyên Hà – Thái Bình 2017 Lần 2)Cho hàm số

*
chẵn, liên tục trên
*
*
. Tính
*
.