Bài viết này glaskragujevca.net tổng hợp và giới thiệu lại một số công thức tính nhanh thể tích của khối tứ diện cho một trong những trường hợp quan trọng hay gặp

https://www.glaskragujevca.net/khoa-hoc/nhom/combo-4-khoa-luyen-thi-thpt-quoc-gia-2021-mon-toan-danh-cho-teen-2k3-12

Đồng thời trình bày công thức bao quát tính thể tích mang lại khối tứ diện bất cứ khi biết độ dài toàn bộ 6 cạnh của tứ diện. Vấn đề ghi nhớ những công thức này giúp các em xử lý nhanh một số dạng bài khó về thể tích khối tứ diện vào đề thi THPT non sông 2019 - Môn Toán.

Bạn đang xem: Thể tích tứ diện

Bài viết này trích lược một trong những công thức nhanh hay cần sử dụng cho khối tứ diện. Những công thức nhanh khác liên quan đến thể tích khối tứ diện và thể tích khối lăng trụ bạn đọc tham khảo khoá full bộ X bởi glaskragujevca.net kiến tạo tại đây:https://www.glaskragujevca.net/khoa-hoc/nhom/combo-4-khoa-luyen-thi-thpt-quoc-gia-2020-mon-toan-danh-cho-teen-2k2-9

Công thức tổng quát:Khối tứ diện $ABCD$ bao gồm $BC=a,CA=b,AB=c,AD=d,BD=e,CD=f$ ta gồm công thức tính thể tích của tứ diện theo sáu cạnh như sau: trong các số ấy <eginalign & M=a^2d^2(b^2+e^2+c^2+f^2-a^2-d^2) \ và N=b^2e^2(a^2+d^2+c^2+f^2-b^2-e^2) \ & P=c^2f^2(a^2+d^2+b^2+e^2-c^2-f^2) \ và Q=(abc)^2+(aef)^2+(bdf)^2+(cde)^2 \ endalign>

Công thức 1: Khối tứ diện đều

Khối tứ diện đông đảo cạnh $a,$ ta có $V=dfraca^3sqrt212.$

Ví dụ 1: Cho tứ diện đều phải sở hữu chiều cao bằng . Thể tích của khối tứ diện đã cho là

A. .

B. .

C. .

D. .

Giải.Thể tích tứ diện đông đảo cạnh $a$ là $V=fracsqrt2a^312.$

Chiều cao tứ diện mọi là $h=frac3VS=frac3left( fracsqrt2a^312 ight)fracsqrt3a^24=sqrtfrac23aRightarrow a=sqrtfrac32h.$

Vì vậy $V=fracsqrt212left( sqrtfrac32h ight)^3=fracsqrt3h^38.$ Chọn đáp án B.

Công thức 2: Khối tứ diện vuông (các góc tại một đỉnh của tứ diện là góc vuông)

Với tứ diện $ABCD$ gồm $AB,AC,AD$ đôi một vuông góc cùng $AB=a,AC=b,AD=c,$ ta gồm $V=dfrac16abc.$

Công thức 3: Khối tứ diện gần mọi (các cặp cạnh đối tương xứng bằng nhau)

Với tứ diện $ABCD$ có $AB=CD=a,BC=AD=b,AC=BD=c$ ta tất cả

*

Ví dụ 1:Chokhối tứ diện $ABCD$có $AB=CD=8,AD=BC=5$ và $AC=BD=7.$ Thể tích khối tứ diện đã mang lại bằng

A. $fracsqrt303.$

B. $frac20sqrt113.$

C. $sqrt30.$

D. $20sqrt11.$

Giải. Ta bao gồm $V_ABCD=fracsqrt212sqrt(8^2+5^2-7^2)(5^2+7^2-8^2)(7^2+8^2-5^2)=frac20sqrt113.$ Chọn lời giải B.

Ví dụ 2:Cho tứ diện $ABCD$ gồm $AB=CD=8,AD=BC=5$ và $AC=BD=7.$ call $M$ là trung điểm cạnh $AB.$Khoảng phương pháp từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(CMD)$bằng

A. $fracsqrt312.$

B. $fracsqrt552.$

C. $fracsqrt212.$

D. $fracsqrt332.$

Giải. Ta có $V_AMCD=fracAMABV_ABCD=frac12V_ABCD=fracsqrt224sqrt(8^2+5^2-7^2)(5^2+7^2-8^2)(7^2+8^2-5^2)=frac10sqrt113.$

Tam giác $MCD$ có $CD=8$ cùng theo phương pháp đường trung tuyến ta có:

$MC=sqrtfrac2(CA^2+CB^2)-AB^24=sqrtfrac2(7^2+5^2)-8^24=sqrt21.$

và $MD=sqrtfrac2(DA^2+DB^2)-AB^24=sqrtfrac2(5^2+7^2)-8^24=sqrt21.$

Vậy $S_MCD=4sqrt5.$ vì thế $d(A,(MCD))=frac3V_AMCDS_MCD=frac10sqrt114sqrt5=fracsqrt552.$ Chọn đáp án B.

Ví dụ 3:Khối tứ diện $ABCD$ tất cả $AB=CD=5a,AC=BD=6a,AD=BC=7a$ hoàn toàn có thể tích bằng

A. $sqrt95a^3.$

B. $8sqrt95a^3.$

C. $2sqrt95a^3.$

D. $4sqrt95a^3.$

Giải.Áp dụng bí quyết tính thể tích khối tứ diện gần số đông có

$V_ABCD=dfracsqrt212sqrtleft( 5^2+6^2-7^2 ight)left( 6^2+7^2-5^2 ight)left( 7^2+5^2-6^2 ight)a^3=2sqrt95a^3.$

Chọn đáp án C.

Công thức 4: Khối tứ diện có khoảng cách và góc thân cặp cạnh đối lập của tứ diện

Tứ diện $ABCD$ tất cả $AD=a,BC=b,d(AD,BC)=d,(AD,BC)=alpha ,$ ta gồm $V=dfrac16abdsin alpha .$

Ví dụ 1.Cho khối tứ diện $ABCD$ có $AB=AC=BD=CD=1.$ khi thể tích khối tứ diện $ABCD$ đạt giá bán trị lớn nhất thì khoảng cách giữa hai đường thẳng $AD$ và $BC$ bằng
A. $frac2sqrt3.$ B. $frac1sqrt3.$ C. $frac1sqrt2.$ D. $frac13.$

Ví dụ 2:Cho nhị mặt cầu $(S_1),(S_2)$ gồm cùng trọng tâm $I$ và nửa đường kính lần lượt $R_1=2,R_2=sqrt10.$ Xét tứ diện $ABCD$ tất cả hai đỉnh $A,B$ nằm tại $(S_1);$ hai đỉnh $C,D$ nằm trong $(S_2).$ Thể tích khối tứ diện $ABCD$ có mức giá trị lớn số 1 bằng

A. $3sqrt2.$

B. $2sqrt3.$

C. $6sqrt3.$

D. $6sqrt2.$

Giải.Gọi $a,b$ thứu tự là khoảng cách từ tâm $I$ đến hai tuyến đường thẳng $AB,CD.$

Ta gồm $AB=2sqrtR_1^2-a^2=2sqrt4-a^2;CD=2sqrtR_2^2-b^2=2sqrt10-b^2$ và $d(AB,CD)le d(I,AB)+d(I,CD)=a+b$ với $sin (AB,CD)le 1.$

Do đó áp dụng công thức tính thể tích tứ diện theo khoảng tầm cách chéo nhau của cặp cạnh đối diện có:

$egingathered V_ABCD = frac16AB.CD.d(AB,CD).sin (AB,CD) leqslant frac23(a + b)sqrt 4 - a^2 sqrt 10 - b^2 \ = frac23left( asqrt 4 - a^2 sqrt 10 - b^2 + bsqrt 10 - b^2 sqrt 4 - a^2 ight) = frac23left( sqrt 4a^2 - a^4 sqrt 10 - b^2 + sqrt frac10b^2 - b^42 sqrt 8 - 2a^2 ight) \ leqslant frac23sqrt left( 4a^2 - a^4 + 8 - 2a^2 ight)left( 10 - b^2 + frac10b^2 - b^42 ight) = frac23sqrt left( - (a^2 - 1)^2 + 9 ight)left( - frac12(b^2 - 4)^2 + 18 ight) leqslant frac23sqrt 9.18 = 6sqrt 2 . \ endgathered $

Dấu bằng đạt tại $(a;b)=(1;2).$ Chọn câu trả lời D.

Ví dụ 3:Cho một hình trụ tất cả thiết diện qua trục là một hình vuông cạnh bởi $a.$ biết rằng $AB$ cùng $CD$ là hai 2 lần bán kính tương ứng của nhì đáy và góc giữa hai đường thẳng $AB$ với $CD$ bởi $30^circ .$ Tính thể tích khối tứ diện $ABCD.$

A. $fraca^312.$

B. $fraca^3sqrt36.$

C. $fraca^36.$

D. $fraca^3sqrt312.$

Có $h=2r=a;V_ABCD=frac16AB.CD.d(AB,CD).sin (AB,CD)=frac13.2r.2r.h.sin 30^0=fraca^36.$ Chọn giải đáp C.

Công thức 5: Khối tứ diện biết diện tích s hai khía cạnh kề nhau

*

Ví dụ 1: mang đến khối chóp $S.ABC$ bao gồm đáy $ABC$ là tam giác vuông cân nặng tại $A,AB=a,widehatSBA=widehatSCA=90^circ ,$ góc giữa hai mặt phẳng $(SAB)$ với $(SAC)$ bằng $60^circ .$ Thể tích của khối chóp đã đến bằng

A. $a^3.$

B. $fraca^33.$

C. $fraca^32.$

D. $fraca^36.$

Lời giải đưa ra tiết. hotline $H=mathbfh/c(S,(ABC))$ ta có $left{ egingathered AB ot SB hfill \ AB ot SH hfill \ endgathered ight. Rightarrow AB ot (SBH) Rightarrow AB ot BH;left{ egingathered AC ot SC hfill \ AC ot SH hfill \ endgathered ight. Rightarrow AC ot (SCH) Rightarrow AC ot CH.$ Kết phù hợp với $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A,AB=a$ suy ra $ABHC$ là hình vuông.

*
Đặt $h=SHRightarrow V_S.ABC=frac13S_ABC.SH=fraca^2h6(1).$

Mặt khác $V_S.ABC=frac2S_SAB.S_SAC.sin left( (SAB),(SAC) ight)3SA=frac2left( fracasqrta^2+h^22 ight)left( fracasqrta^2+h^22 ight)fracsqrt323sqrt2a^2+h^2(2).$

Từ (1) với (2) suy ra $h=aRightarrow V=fraca^36.$ Chọn câu trả lời D.

Ví dụ 2:Cho tứ diện $ABCD$ tất cả $widehatABC=widehatBCD=widehatCDA=90^0,BC=a,CD=2a,cos left( (ABC),(ACD) ight)=dfracsqrt13065.$ Thể tích khối tứ diện $ABCD$ bằng

A. $fraca^33.$

B. $a^3.$

C. $frac2a^33.$

D. $3a^3.$

Lời giải chi tiết. hotline $H=mathbfh/c(A,(BCD)).$ Đặt $AH=hRightarrow V_ABCD=frac13S_BCD.AH=frac13.frac12CB.CD.AH=fraca^2h3(1).$

*

Ta có $left{ egingathered CB ot bố hfill \ CB ot AH hfill \ endgathered ight. Rightarrow CB ot (ABH) Rightarrow CB ot HB.$ tương tự $left{ egingathered CD ot domain authority hfill \ CD ot AH hfill \ endgathered ight. Rightarrow CD ot (ADH) Rightarrow CD ot HD.$

Kết phù hợp với $widehatBCD=90^0Rightarrow HBCD$ là hình chữ nhật.

Suy ra $AB=sqrtAH^2+HB^2=sqrth^2+4a^2,AD=sqrtAH^2+HD^2=sqrth^2+a^2;AC=sqrtAB^2+BC^2=sqrth^2+5a^2.$

Suy ra $S_ABC=frac12AB.BC=fracasqrth^2+4a^22;S_ACD=frac12AD.DC=asqrth^2+a^2.$

Suy ra $V_ABCD=frac2S_ABC.S_ACD.sin left( (ABC),(ACD) ight)3AC=fraca^2sqrth^2+4a^2sqrth^2+a^23sqrth^2+5a^2sqrt1-left( fracsqrt13065 ight)^2(2).$

Kết vừa lòng (1), (2) suy ra: $h=3aRightarrow V_ABCD=a^3.$ Chọn lời giải B.

Ví dụ 3:Cho hình chóp $S.ABCD$ tất cả đáy là hình thoi cạnh $a,widehatABC=120^0.$ kề bên $SA$ vuông góc cùng với đáy cùng góc thân hai mặt phẳng $(SBC),(SCD)$ bằng $60^0,$ lúc ấy $SA$ bằng

A. $dfracsqrt6a4.$

B. $sqrt6a.$

C. $dfracsqrt6a2.$

D. $dfracsqrt3a2.$

Có $SA=x>0Rightarrow V_S.BCD=dfrac13S_BCD.SA=dfracsqrt3x12(1),left( a=1 ight).$

Mặt khác $V_S.BCD=dfrac2S_SBC.S_SCD.sin left( (SBC),(SCD) ight)3SC=dfrac2left( dfracsqrt4x^2+34 ight)^2dfracsqrt323sqrtx^2+3(2).$

Trong đó $BC=1,SB=sqrtx^2+1,SC=sqrtx^2+3Rightarrow S_SBC=dfracsqrt4x^2+34;Delta SBC=Delta SDC(c-c-c)Rightarrow S_SCD=dfracsqrt4x^2+34.$

Từ (1) cùng (2) suy ra Chọn lời giải A.

Ví dụ 4: mang lại tứ diện $ABCD$ gồm $ABC$ và $ABD$ là tam giác hồ hết cạnh bằng $a.$ Thể tích khối tứ diện $ABCD$ có giá trị lớn số 1 bằng

A. $dfraca^38.$

B. $dfraca^3sqrt212.$

C. $dfraca^3sqrt38.$

D. $dfraca^3sqrt312.$

Có $V_ABCD=dfrac2S_ABCS_ABDsin left( (ABC),(ABD) ight)3AB=dfrac2left( dfracsqrt3a^24 ight)left( dfracsqrt3a^24 ight)3asin left( (ABC),(ABD) ight)le dfrac2left( dfracsqrt3a^24 ight)left( fracsqrt3a^24 ight)3a=dfraca^38.$

Dấu bằng đạt trên $(ABC)ot (ABD).$ Chọn giải đáp A.

Ví dụ 5: Cho lăng trụ $ABC.A"B"C"$ có diện tích tam giác $A"BC$ bởi $4,$ khoảng cách từ $A$ mang lại $BC$ bởi $3,$ góc giữa hai phương diện phẳng $left( A"BC ight)$ cùng $left( A"B"C" ight)$ bởi $30^circ .$ Thể tích khối lăng trụ $ABC.A"B"C"$ bằng

A. $3sqrt3.$ B.$6.$ C.$2.$ D.$12.$

Giải. Áp dụng bí quyết tính thể tích tứ diện cho trường thích hợp biết góc và ăn mặc tích của nhì mặt

$V_ABC.A"B"C"=3V_A".ABC=3left( dfrac2S_A"BC.S_ABC.sin left( left( A"BC ight),left( ABC ight) ight)3BC ight)$

$=dfracS_A"BC.dleft( A,BC ight).BC.sin left( left( A"BC ight),left( ABC ight) ight)BC=S_A"BC.dleft( A,BC ight).sin left( left( A"BC ight),left( ABC ight) ight)=4.3.dfrac12=6.$ Chọn câu trả lời B.

Công thức 6:Mở rộng đến khối chóp có diện tích mặt bên và khía cạnh đáy

Khối chóp $S.A_1A_2...A_n$ có $V=dfrac2S_SA_1A_2.S_A_1A_2...A_n.sin left( (SA_1A_2),(A_1A_2...A_n) ight)3A_1A_2.$

Công thức 7: Khối tứ diện khi biết các góc tại cùng một đỉnh

Khối chóp $S.ABC$ tất cả $SA=a,SB=b,SC=c,widehatBSC=alpha ,widehatCSA=eta ,widehatASA=gamma .$

Khi kia $V=dfracabc6sqrt1+2cos alpha cos eta cos gamma -cos ^2alpha -cos ^2eta -cos ^2gamma .$

*

Ví dụ 1:Khối tứ diện $ABCD$ tất cả $AB=5,CD=sqrt10,AC=2sqrt2,BD=3sqrt3,AD=sqrt22,BC=sqrt13$ hoàn toàn có thể tích bằng

A. $20.$

B. $5.$

C. $15.$

D. $10.$

Giải.

Xem thêm: Toán Thực Tế Lớp 9 Hk1 Có Đáp Án, Bài Toán Thực Tế Ứng Dụng Hàm Số Bậc Nhất

Tứ diện này có độ dài toàn bộ các cạnh ta tính những góc trên một đỉnh rồi áp dụng công thức thể tích khối tứ diện dựa vào 3 góc bắt nguồn từ cùng 1 đỉnh:

Có $left{ egingatheredhfill cos widehatBAD=dfracAB^2+AD^2-BD^22AB.AD=sqrtdfrac211 \ hfill cos widehatDAC=dfracAD^2+AC^2-CD^22AD.AC=dfrac52sqrt11 \ hfill cos widehatCAB=dfracAC^2+AB^2-BC^22AC.AB=dfrac1sqrt2 \ endgathered ight..$

Vì vậy $V_ABCD=dfrac16.5.2sqrt2.sqrt22sqrt1+2sqrtdfrac211dfrac52sqrt11dfrac1sqrt2-left( sqrtdfrac211 ight)^2-left( dfrac52sqrt11 ight)^2-left( dfrac1sqrt2 ight)^2=5.$

Chọn đáp án B.

*