Để giải phương trình mũ cùng logarit họ có 3 phương pháp, thịnh hành nhất là đưa về cùng cơ số với đặt ẩn phụ kế đến là logarit hóa nhị vế, còn giải phương trình mũ và logarit bằng phương thức hàm số không nhiều được thực hiện hơn.
Bạn đang xem: Phương trình mũ và logarit khó
Tuy nhiên, cách thức giải phương trình mũ và logarit bằng hàm số so với một số việc mang lại tác dụng rất bất ngờ. Phương pháp giải phương trình mũ bằng phương thức hàm số như thế nào? bọn họ cùng tham khảo nội dung bài viết dưới đây.
° Hàm số - kiến thức cần nhớ
• Tính chất 1: giả dụ hàm f(x) tăng (hoặc giảm) trong vòng (a;b) thì phương trình f(x) = k có không quá một nghiệm trong tầm (a;b).
• Tính chất 2: Nếu hàm f(x) tăng trong khoảng (a;b) với hàm g(x) là hàm hằng hoặc là một trong những hàm giảm trong tầm (a;b) thì phương trình f(x) có khá nhiều nhất một nghiệm thuộc khoảng tầm (a;b), (do đó nếu sống thọ x0 ∈ (a;b): f(x0) = g(x0) thì chính là nghiệm độc nhất vô nhị của phương trình f(x) = g(x)).
° Giải phương trình mũ và logarit bằng phương thức hàm số ta thực hiện các bước sau:
• bước 1: đưa phương trình về dạng f(x) = k.
• Bước 2: Xét hàm số y = f(x).
Dùng lập luận xác định hàm số 1-1 điệu (đồng biến chuyển hoặc nghịch biến).
• Bước 3: Nhận xét:
- cùng với x = x0 ⇔ f(x) = f(x0) = k, cho nên vì thế x = x0 là nghiệm.
- cùng với x > x0 ⇔ f(x) > f(x0) ⇔ f(x) > k, cần phương trình vô nghiệm.
- với x 0 ⇔ f(x) 0) ⇔ f(x) • Bước 4: Kết luận: x = x0 là nghiệm tốt nhất của phương trình.
° Bài tập áp dụng giải phương trình mũ với logarit bằng phương pháp hàm số
* bài xích tập 1: Giải những phương trình mũ cùng logarit sau:
a) 2x + 5x = 7
b) log3(x+3) + log5(x+5) = 2
* Lời giải:
- Với bài bác tập này thì vế trái có tác dụng hàm nón hoặc logarit, vế buộc phải là hàm hằng.
a) 2x + 5x = 7
- Ta có: VT = 2x + 5x , là hàm đồng biến
VP = 7, là 1 hàm hằng.
→ Như vậy, nếu như phương trình tất cả nghiệm thì nghiệm chính là duy nhất.
- mặt khác, ta thấy: cùng với x = 1 thì:
VT = 21 + 51 = 7 = VP
⇒ Phương trình tất cả nghiệm tuyệt nhất x = 1.
b) log3(x+3) + log5(x+5) = 2
- Điều kiện: x ≥ -3.
- Ta có: VT = log3(x+3) + log5(x+5) là 1 hàm đồng biến
VP = 2 là hàm hằng
→ Như vậy, trường hợp phương trình bao gồm nghiệm thì nghiệm chính là duy nhất.
- khía cạnh khác, ta thấy: cùng với x = 0 (thỏa điều kiện x ≥ -3) thì:
VT =log3(3) + log5(5) = 1 + 1 = 2 = VP
⇒ Phương trình gồm nghiệm tuyệt nhất x = 0.
* bài bác tập 2: Giải các phương trình sau.
a) 5x = 6 - x
b) log6x = 7 - x.
* Lời giải:
- Với bài xích tập này thì vế trái có tác dụng hàm mũ hoặc logarit, vế đề nghị là hàm số bậc 1.
a) 5x = 6 - x
- Ta có: VT = 5x , là hàm đồng biến
VP = 6 - x, là một hàm nghịch biến.
→ Như vậy, trường hợp phương trình tất cả nghiệm thì nghiệm chính là duy nhất.
- mặt khác, ta thấy: cùng với x = 1 thì:
VT = 51 = 5; VP = 6 - 1 = 5 ⇒ VT = VP
⇒ Phương trình gồm nghiệm độc nhất x = 1.
b) log6x = 7 - x.
- Ta có: VT = log6x , là hàm đồng biến
VP = 7 - x, là một trong những hàm nghịch biến.
→ Như vậy, ví như phương trình tất cả nghiệm thì nghiệm sẽ là duy nhất.
- mặt khác, ta thấy: với x = 6 thì:
VT = log66 = 1; VP = 7 - 6 = 1 ⇒ VT = VP
⇒ Phương trình gồm nghiệm tốt nhất x = 6.
* bài tập 3: Giải pương trình: log2x + log5(2x+1) = 2.
* Lời giải:
- Điều khiếu nại logarit gồm nghĩa: x >0
- Ta có: VT = log2x + log5(2x+1) , là hàm đồng biến.
VP = 2 là hàm hằng.
→ Như vậy, trường hợp phương trình có nghiệm thì nghiệm chính là duy nhất.
- khía cạnh khác, ta thấy: với x = 2 thì:
VT = log22 + log5(2.2+1) = 1 + 1 = 2 = VP.
⇒ Phương trình có nghiệm duy nhất x = 2.
• Cũng có thể lập luận như sau:
- phân biệt x = 2 là nghiệm.
+ nếu như x > 2 thì:
log2x > log22 = 1; log5(2x + 1) > log2(2.2 + 1) = 1.
⇒ log2x + log5(2x+1) > 2
⇒ Phương trình vô nghiệm.
+ trường hợp 02x 22 = 1; log5(2x + 1) 2(2.2 + 1) = 1.
⇒ log2x + log5(2x+1) * bài tập 4: Giải phương trình: 31-x - log2x - 1 = 0
* Lời giải:
- Điều khiếu nại log gồm nghĩa: x > 0
- Ta có:
- Ta thấy:
VT = (1/3)x-1 : của phương trình là một hàm nghịch biến.
VP = log2x + 1: của phương trình là 1 trong những hàm đồng biến.
→ vì chưng vậy, nếu như phương trình gồm nghiệm thì nghiệm chính là duy nhất.
- phương diện khác, ta nhẩm thấy x = 1 là nghiệm của phương trình vì:
⇒ Phương trình có nghiệm nhất x = 1.
Xem thêm: Nói Về Kế Hoạch Trong Tương Lai Bằng Tiếng Anh (9 Mẫu), Kế Hoạch Trong Tương Lai Bằng Tiếng Anh
* bài bác tập 5: Giải phương trình:
* Lời giải:
- Điều kiện: x≠0
- thừa nhận thấy:
- cho nên vì vậy phương trình (*) tương tự với phương trình:
- mặt khác:
- Đối chiếu đk x = 0 (loại), x = 2 (nhận).
⇒ Phương trình (*) bao gồm nghiệm nhất x = 2.
* bài xích tập tự làm (vận dụng giải phương trình mũ với logarit phương thức bằng hàm số)