Cực trị của hàm số là phần kiến thức cơ bản quan trọng trong đề thi THPT QG. Để thành thạo kiến thức về cực trị của hàm số, học sinh cần nắm vững không chỉ lý thuyết mà còn cần thành thạo cách giải các dạng đặc trưng. Cùng glaskragujevca.net ôn tập tổng hợp lại lý thuyết và các dạng bài tập cực trị hàm số nhé!
1. Lý thuyết tổng quan về cực trị của hàm số lớp 12
1.1. Cực trị của hàm số là gì?
Hiểu đơn giản, giá trị mà khiến hàm số đổi chiều khi biến thiên đó chính là cực trị của hàm số. Xét theo hình học, cực trị của hàm số biểu diễn khoảng cách lớn nhất từ điểm này sang điểm kia và ngược lại.
Bạn đang xem: Hàm số k có cực trị
Lưu ý: Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu không phải giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số.
Dạng tổng quát, ta có hàm số f xác định trên D (D



x0là điểm cực đại của hàm số f nếu (a;b) chứa x0thỏa mãn điều kiện:

Lúc này, f(x) là giá trị cực đại của f.
x0là điểm cực tiểu của hàm số f nếu (a;b) chứa x0thỏa mãn điều kiện:

Như vậy, f(x0) là giá trị cực tiểu của f.
1.2. Các định lý liên quan
Đối với kiến thức cực trị của hàm số lớp 12, các định lý về cực trị hàm số thường được áp dụng rất nhiều trong quá trình giải bài tập. Có 2 định lý cơ bản mà học sinh cần nhớ như sau:
Định lý 1: Cho hàm số





Định lý 2: Cho



1.3. Số điểm cực trị của hàm số
Tùy vào từng dạng hàm số thì sẽ có những số điểm cực trị khác nhau, ví dụ như không có điểm cực trị nào, có 1 điểm cực trị ở phương trình bậc hai, có 2 điểm cực trị ở phương trình bậc ba,...
Đối với các số điểm cực trị của hàm số, ta cần lưu ý:
Điểm cực đại (cực tiểu)


Giá trị cực đại (cực tiểu)


Nếu một điểm cực trị của f là



2. Điều kiện để hàm số có điểm cực trị
- Điều kiện cần: Cho hàm số f đạt cực trị tại điểm



Lưu ý:
Điểm


Hàm số không có đạo hàm nhưng vẫn có thể đạt cực trị tại một điểm.
Tại điểm đạo hàm của hàm số bằng 0 thì hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại 1 điểm hoặc không có đạo hàm.
Nếu đồ thị hàm số có tiếp tuyến tại


- Điều kiện đủ: Giả sử hàm số có đạo hàm trên các khoảng (a;x0) và (


Điểm


Diễn giải theo bảng biến thiên rằng: Khi x đi qua điểm



Điểm


Diễn giải theo bảng biến thiên rằng: Khi x đi qua điểm



3. Quy tắc cực trị của hàm số
Để tiến hành tìm cực trị của hàm số f(x) bất kỳ, ta sử dụng 2 quy tắc tìm cực trị của hàm số để giải bài tập như sau:
3.1. Tìm cực trị của hàm số theo quy tắc 1
Tìm đạo hàm f’(x).
Tại điểm đạo hàm bằng 0 hoặc hàm số liên tục nhưng không có đạo hàm, tìm các điểm

Xét dấu của đạo hàm f’(x). Nếu ta thấy f’(x) thay đổi chiều khi x đi qua


3.2. Tìm cực trị của hàm số theo quy tắc 2
Tìm đạo hàm f’(x).
Xét phương trình f’(x)=0, tìm các nghiệm

Tính f’’(x) với mỗi

Nếu

4. Cách giải các dạng bài tập toán cực trị của hàm số
4.1. Dạng bài tập tìm các điểm cực trị
Đây là dạng toán rất cơ bản tổng quan về cực trị của hàm số lớp 12. Để giải dạng bài này, các em học sinh áp dụng 2 quy tắc kèm theo quy trình tìm cực trị của hàm số nêu trên.
Để hiểu hơn về các giải chi tiết, các em cùng glaskragujevca.net xét các ví dụ minh họa sau đây:
Ví dụ 1: Cho các hàm số sau, tìm cực trị:
1.


Đối với các hàm số không có cực trị như ở ví dụ trên, các em cần chú ý:
Hàm số không có cực trị nếu y’ không đổi dấu.
Xét hàm số bậc ba thì y’=0 có 2 nghiệm phân biệt là điều kiện cần và đủ khiến hàm số có cực trị.
2.


Ví dụ 2: Cho hàm số


4.2. Bài tập cực trị của hàm số có điều kiện cho trước
Để tiến hành giải bài tập, ta cần thực hiện theo quy trình tìm cực trị tổng quan về cực trị của hàm sốcó điều kiện sau:
Bước 3: Lựa chọn 2 hướng giải:
Trường hợp 1: Nếu y’ xét được dấu thì sử dụng dấu hiệu với lập luận: hàm số có cực trị => Phương trình y’=0 có k nghiệm phân biệt và biến thiên qua các nghiệm đó.
Trường hợp 2: Nếu y’ không xét được dấu thì ta tính thêm y’’, khi đó:

Xét ví dụ minh họa sau đây để hiểu hơn về cách giải bài toán tìm cực trị của hàm số có điều kiện:
Ví dụ: Cho hàm số

Giải:

4.3. Tìm cực trị của hàm số nhiều biến
Phương pháp giải cực trị của hàm số nhiều biến: giả sử





Lưu ý:
Khi

Khi

Xét ví dụ minh họa sau: Tìm cực trị của hàm số y=x2+y2+2x-6y-3
Giải:

4.4. Tìm số cực trị của hàm số bằng phương pháp biện luận m
Đối với bài toán biện luận m, học sinh cần chia ra 2 dạng hàm số để có cách giải tương ứng. Cụ thể như sau:
Xét trường hợp cực trị của hàm số bậc ba có:
Đề bài cho hàm số


Phương trình (1) có nghiệm kép hoặc vô nghiệm thì hàm số không có cực trị.
Hàm số bậc 3 không có cực trị khi

Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt suy ra hàm số có 2 cực trị.
Có 2 cực trị khi

Xét trường hợp cực trị hàm số bậc bốn trùng phương có:
Đề bài cho hàm số

Ta có đạo hàm



Giải:

Ví dụ 2: Tìm các giá trị m để hàm số

Giải:

4.5. Tìm cực trị của hàm số sin cos
Để tìm cực trị của các hàm số lượng giác sin cos, ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Tìm miền xác định của hàm số đề bài.
Bước 2: Tính y’, sau đó giải phương trình y’=0. Giả sử y’=0 có nghiệm

Xem thêm: Cho Tam Giác Abc Nhọn - Bài Tập 7 Trang 156 Tài Liệu Dạy
Bước 3: Tính đạo hàm y’’. Tính

Các em cùng glaskragujevca.net xét ví dụ sau đây để hiểu rõ hơn về cách giải cực trị của hàm số lượng giác:
Ví dụ 1: Tìm cực trị của hàm số


Giải:

Trên đây là toàn bộ kiến thức về cực trị của hàm số bao gồm lý thuyết và các dạng bài tập thường gặp nhất trong chương trình học toán 12 cũng như các đề luyện thi THPT QG. Truy cập ngay glaskragujevca.net để đăng ký tài khoản hoặc liên hệ trung tâm hỗ trợ để ôn tập nhiều hơn về các dạng toán của lớp 12 nhé!