Phần 1 Giáo trình Toán cơ sở (Dùng cho hệ huấn luyện và giảng dạy từ xa – ngành GD Mầm non) trình bày nội dung chương I - Tập hợp-Quan hệ-Ánh xạ. Chương này ra mắt các quan niệm cơ bạn dạng về tập đúng theo và các phép toán trên tập hợp, những quan hệ cơ phiên bản trên tập hợp, những khái niệm liên quan đến ánh xạ. ở bên cạnh đó, chương này còn gửi ra một trong những tính chất đặc biệt quan trọng của những khái niệm trên.




Bạn đang xem: Giải bài tập toán cơ sở

*

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH ThS Phạm Thị Hải Châu GIÁO TRÌNH TOÁN CƠ SỞ(Dùng mang lại hệ huấn luyện và đào tạo từ xa – ngành GD Mầm non) Vinh 2011 1 LỜI NÓI ĐẦU Cuốn giáo trình này được soạn theo chương trình đào tạogiáo viên mần nin thiếu nhi có trình độ đại học (hệ huấn luyện và giảng dạy từ xa) của khoa Giáodục, ngôi trường Đại học Vinh. Giáo trình cung cấp một số kỹ năng cơ bảncủa toán học, được dùng như một tư liệu tham khảo cho tất cả những người dạy vàngười học. Nội dung giáo trình bao gồm có bố chương. Chương I: Tập hòa hợp - quan hệ tình dục - Ánh xạ. Chương này ra mắt các quan niệm cơ phiên bản về tập hợp và cácphép toán trên tập hợp, những quan hệ cơ bản trên tập hợp, những khái niệmliên quan đến ánh xạ. Kề bên đó, chương này còn đưa ra một số tínhchất đặc trưng của các khái niệm trên. Chương II: Số từ bỏ nhiên. Chương này đưa ra những khái niệm và các tính chất liên quan cho sốtự nhiên như: phiên bản số, tập hữu hạn, tập vô hạn, tập phù hợp số tự nhiên, ... Saukhi chuyển ra các khái niệm đó, chương này còn giới thiệu về quan tiền hệ trang bị tựvà những phép toán trên tập thích hợp số tự nhiên. Chương III: những hình hình học. Chương này trình làng các định nghĩa cơ phiên bản về hình hình học, cáchình hình học trong phương diện phẳng với trong không gian cùng một vài tínhchất cơ phiên bản của chúng. Bên cạnh việc trình diễn lý thuyết, giáo trình tất cả đưa ra những ví dụminh họa và bài xích tập nhằm mục đích củng cầm và tự khắc sâu ngôn từ lý thuyết. Người sáng tác xin tình thật cảm ơn những đồng nghiệp đã trợ giúp và gópý để tác giả xong xuôi cuốn giáo trình này. Giáo trình hoàn toàn có thể còn bao gồm thiếu sót. Người sáng tác rất mong nhậnđược sự hướng dẫn và góp ý của người tiêu dùng đọc. Tác giả 2 Chương I : TẬP HỢP - quan HỆ - ÁNH XẠ A. NỘI DUNG BÀI GIẢNG §1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ TẬP HỢP 1.1. Có mang tập hợp. Tập hợp là một trong những thuật ngữ được dùng thoáng rộng trong toán học.Chúng ta thường nói tới tập đúng theo số tự nhiên, tập đúng theo điểm trên một mặtphẳng, tập đúng theo nghiệm của một phương trình, tập đúng theo các học viên trongmột lớp, tập hợp các đồ đùa trong một lớp mẫu giáo, ... Tập hợp (thường nói gọn gàng là tập) là một khái niệm cơ bản của toánhọc, nó được dùng làm cơ sở để định nghĩa nhiều khái niệm khác nhưngbản thân nó không được khái niệm qua hầu hết khái niệm đơn giản hơn. Ta gọi tập đúng theo được tạo thành bởi các cá thể (các đối tượng),các thành viên tạo thành tập hợp call là các phần tử của tập hợp. Ví dụ: Tập phù hợp nghiệm của phương trình (x-1) (x-4) = 0 là tậphợp tạo ra thành vày hai phần tử 1 cùng 4; tập hợp những số tự nhiên có một chữsố là tập hợp chế tác thành vì chưng mười bộ phận 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Một tập hợp thường được ký kết hiệu bởi vần âm in hoa : A, B, C, X,Y, ...; mỗi phần tử của một tập hợp thường được ký kết hiệu vị chữ cáithường: a, b, c, x, y, ... Để chỉ a là một trong những phần tử của tập A ta viết a A (đọc a trực thuộc A),nếu a không là thành phần của tập A ta viết a A (đọca không thuộc A). Ví dụ: 1) Ở lịch trình toán càng nhiều ta sẽ biết: N là tập hợp các số trường đoản cú nhiên, Z là tập hợp những số nguyên, Q là tập hợp những số hữu tỉ, R là tập hợp những số thực. Ráng thì: 5N; 5Z; 5Q; 5R; -3N; -3Z; -3Q; -3R; 2,5N; 2,5Z; 2,5Q; 2,5R; 2 N; 2 Z; 2 Q; 2 R. 3 2) giả dụ A là tập hợp tất cả các số tự nhiên và thoải mái lẻ thì 3A, 4A. 1.2. Sự khẳng định một tập hợp. Một tập hợp được xem là đã khẳng định nếu ta biết được một phần tửnào đó bao gồm thuộc tập hợp kia hay không. Để xác định một tập phù hợp tathường sử dụng hai phương pháp sau: a) phương thức liệt kê các bộ phận của tập hợp. Ta liệt kê khá đầy đủ tất cả các phần tử của tập hợp, đông đảo tập hợpnày thông thường có không nhiều phần tử. Khi đó các thành phần được viếttrong , phần tử này cách bộ phận kia vì chưng dấu phẩy. Ví dụ: nếu như A là tập hợp những ước số dương của 4 thì ta viết A = 1, 2, 4. Mặc dù nhiên, có những tập hợp bao gồm vô số thành phần và ta chỉ liệt kê mộtsố bộ phận đại diện đủ để nhận biết được một trong những phần tử làm sao đó bao gồm thuộctập thích hợp hay không. Ví dụ: ví như B là tập hợp những số tự nhiên chia hết mang lại 3 thì B = 0, 3, 6, 9, .... B) phương thức chỉ rõ đặc điểm đặc trưng. Chỉ ra những thuộc tính của các phần tử mà phụ thuộc các trực thuộc tính ấyta hoàn toàn có thể nhận hiểu rằng một đối tượng người dùng nào đó bao gồm thuộc tâp vừa lòng haykhông (các trực thuộc tính này call là các đặc điểm đặc trưng) nếu như A là tập hợp toàn bộ các phần tử x có đặc thù đặc trưng phường thìta viết A =x x có tính chất P tốt A =x P(x). Ví dụ: 1)Nếu A là tập hợp các số nguyên chẵn thì ta viết A = nZn chẵn. 2) ví như B là tập hợp những số tự nhiên và thoải mái có nhị chữ số mà tổng củahai chữ số là 10 thì B = xNx gồm hai chữ số, tổng nhì chữ số là 10,nhờ các đặc điểm đặc trưng này, ta hoàn toàn có thể biết được một phần tử làm sao đấycó nằm trong B xuất xắc không, ví dụ điển hình 37  B còn 52  B. 1.3. Tập rỗng, tập đơn tử. A) Tập rỗng. Ta hotline tập trống rỗng là tập thích hợp không chứa bộ phận nào,ký hiệu là . Ví dụ: Tập hợp những nghiệm dương của phương trình x + 3 = 0 làtập rỗng. 4 b) Tập đối kháng tử. Tập phù hợp có một phần tử gọi là tập 1-1 tử, tập đơntử chỉ có phần tử a ta viết là a. Ví dụ: Tập hợp các nghiệm (thực) của phương trình x + 3 = 0, tậphợp các đường thẳng trải qua hai điểm cho trước, … là các tập đối chọi tử . 1.4. Minh hoạ tập hợp bởi hình vẽ. Một tập hợp thường được minh hoạ bởi mộtđường cong khép kín. Mỗi thành phần thuộc tập hợpđược trình diễn bởi một vệt gạch chéo cánh ở bên phía trong x bxđường cong, phần tử không thuộc tập hòa hợp được abiểu thị vì chưng dấu gạch chéo cánh ở bên phía ngoài đườngcong. A xc bên trên hình bên, ta tất cả : a, b  A; c  A. BÀI TẬP 1. Hãy liệt kê bộ phận của các tập thích hợp sau: a) A là tập hợp những số tự nhiên và thoải mái có nhị chữ số mà chữ số mặt hàng đơnvị là 4. B) B là tập hợp những số tự nhiên và thoải mái có nhị chữ số mà tổng của nhì chữsố chính là 12. 2. A)Hãy chỉ ra tính chất đặc trưng mang đến các thành phần của các tập hợpsau: A = 3, 6, 9, 12, 15, B = -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, C = 1, 4, 9, 16, 25. B) Hãy sản xuất mỗi tập vừa lòng trên một phần tử nữa mà lại không làmthay đổi tính chất đặc trưng của các bộ phận của tập hợp. 3. Hãy liệt kê các bộ phận của tập đúng theo A gồm những chữ số x sao chosố thoải mái và tự nhiên 17 x 4 chia hết mang lại 3. §2. Quan tiền HỆ BAO HÀM GIỮA CÁC TẬP HỢP 2.1. Quan liêu hệ khái quát - Tập con. Định nghĩa. đến hai tập phù hợp A và B. Ta nói A là tập con (hay bộphận) của B nếu như mọi bộ phận của A phần nhiều là thành phần của B, ký kết hiệu là A B. 5 lúc A  B ta nói A bao gồm trong B (hay A bé B) hoặc B baohàm A (hay B đựng A). Quan hệ A  B call là quan hệ nam nữ bao hàm. Ví dụ: 1) nếu như A là tập đúng theo các học viên nữ trong một lớp cùng B là tập hợpcác học viên trong lớp kia thì A  B. 2) giả sử C là tập hợp những nghiệm của phương trình x - 1 = 0 cùng Dlà tập hợp những nghiệm của phương trình x2 - 5x + 4 = 0, ta bao gồm C  D. 3) call T là tập hợp các tứ giác với V là tập hợp các hình vuôngtrong phương diện phẳng, cố kỉnh thì V  T. Chú ý: - không phải giữa hai tập bé nào cũng có quan hệ bao hàm,chẳng hạn giữa hai tập phù hợp A = a, b, c, d với B = a, b, e, f, g khôngcó tình dục bao hàm. - Ta quy mong  là tập nhỏ của phần đa tập hợp. 2.2. Hai tập hợp bởi nhau. Định nghĩa. Hai tập thích hợp A cùng B call là cân nhau nếu A  B và B A, ký kết hiệu là A = B. Nói bí quyết khác, hai tập phù hợp A và B là bằng nhau nếu mỗi phần tửcủa A là bộ phận của B với ngược lại. Như vậy, để chứng minh A = B ta nên chứng minh: ví như x  A thìxB và nếu x  B thì x  A. Ví dụ: 1) giả dụ A là tập hợp các nghiệm của phương trình x2 - 3x + 2 = 0và B=1, 2 thì A = B. 2) mang đến A = n  N n  6 với B = n  N n  2 và n  3. Ta thấy: - ví như n  A tức là n  6 nhưng 2 với 3 là mong của 6, vậy n  2 và n  3.Điều đó có nghĩa là n  B. - nếu như n  B, có nghĩa là n  2 và n  3. Ta thấy 2 cùng 3 yếu tố cùngnhau bắt buộc n chia hết đến tích của chúng, tức thị n  6, tuyệt n  A. Theo khái niệm thì A = B. 2.3. Một trong những tính hóa học của quan hệ tình dục bao hàm. Định lý. Quan tiền hệ khái quát có các đặc điểm sau: a) với tất cả tập A ta có A  A (tính chất phản xạ), 6 b) nếu như A  B cùng B  A thì A = B (tính hóa học phản xứng), c) trường hợp A  B và B  C thì A  C (tính hóa học bắc cầu). Bệnh minh. Tính chất a) suy trực tiếp từ có mang tập con. đặc điểm b) có từ tư tưởng hai tập hợp bởi nhau. Hiện nay ta minh chứng tính chất c). Mang sử x là 1 phần tử tùy ý nằm trong A. Bởi vì A  B bắt buộc x  B, mặtkhác B C buộc phải ta lại giành được x  C. Vậy với tất cả x  A ta hầu hết suy ra được x  C, có nghĩa là A  C. Tính chất a) chứng tỏ một tập hợp là tập bé của thiết yếu nó. Như vậy mỗi tập vừa lòng khác  luôn có ít nhất hai tập bé là  vàchính nó, nhị tập nhỏ này call là các tập bé tầm thường, các tập conkhông tầm thường gọi là tập bé thực sự. 2.4. Tập hợp các tập nhỏ của một tâp hợp. Mang lại tập đúng theo A. Cam kết hiệu P(A) là tập hợp tất cả các tập con của A,nghĩa là P(A) = X X  A Ví dụ: 1) nếu như A là tập hòa hợp các học sinh của một lớp thì P(A) = X X làtập hợp một đội nhóm học sinh ngẫu nhiên trong lớp. 2) đến B = 1,2 thì P(B) = , 1, 2, 1, 2. BÀI TẬP 1. Viết toàn bộ các tập con của từng tập thích hợp sau đây: a) A = a. B) B = 1, 2, 3. 2. Hãy xét tình dục giữa những tập hợp A, B bên dưới đây: a) A = n  Nn + 10  15, B = n  Nn2  9. B) A là tập hợp các bội thoải mái và tự nhiên của 3, B là tập hợp các bội tựnhiên của 6. 3. Chứng minh đẳng thức A = B với: A là tập những hình bình hành gồm hai đường chéo bằng nhau, B là tập các hình bình hành bao gồm một góc vuông. 7 §3. CÁC PHÉP TOÁN TRÊN CÁC TẬP HỢP 3.1. Phép hợp. Định nghĩa. đến hai tập đúng theo A cùng B. Hòa hợp của A cùng B là tập hợptất cả các phần tử thuộc không nhiều nhất một trong hai tập đó,ký hiệu là A  B. Ta hoàn toàn có thể viết: A  B = x x A hoặc x Bhay x  A  B  x  A hoặc x  B. Bên trên hình bên, phần gạch chéo biểu thị A  BB. A Ví dụ: 1) nếu A = a, b, c, d cùng B = a, b, e thì A  B = a, b, c, d, e. 2) call A là tập hợp những số tự nhiên và thoải mái lẻ, B là tập hợp những số tự nhiênchẵn, khi đó A  B = N. 3) trường hợp A tập hợp những nghiệm của phương trình x2- 4 = 0 cùng B làtập hợp những nghiệm của phương trình x2- 5x + 4 = 0 thì A  B = -2, 1,2, 4. Chú ý: Theo định nghĩa, x  A  B  x  A hoặc x  B. Bởi đóxAB khi và chỉ còn khi x ko thuộc tập nào trong những hai tập A và B,tức là x  A  B  x  A với x  B. 3.2. Phép giao. Định nghĩa. Mang lại hai tập hợp A cùng B. Giaocủa A và B là tập hợp toàn bộ các phần tử đồngthời thuộc cả A và B, ký hiệu làA  B. Ta hoàn toàn có thể viết: B A  B = x x A và x Bhay x  A  B  x  A với x  B. A trên hình bên, phần gạch men chéo thể hiện A B. Ví dụ: 8 1) mang đến A = 1, 2, 3, 4, 5 với B là tập hợp các số tự nhiên và thoải mái lẻ, khiđó AB = 1, 3, 5 2) gọi A là tập hợp các nghiệm của phương trình f(x) = 0 cùng B làtập hợp các nghiệm của phương trình g(x) = 0 thì A  B là tập phù hợp cácnghiệm của hệ phương f( x) trình 0  g( x)  0 3) trường hợp A là tập hợp những bội tự nhiên và thoải mái của 2 và B là tập hợp các bộitự nhiên của 3 thì A  B là tập hợp các bội chung tự nhiên và thoải mái của 2 cùng 3,tức là các bội chung thoải mái và tự nhiên của 6. Chú ý: - trường hợp A cùng B ko có bộ phận chung (phần tử vừa trực thuộc cả A vàB), tức là A  B = , thì ta nói A cùng B tránh nhau. - Theo định nghĩa, x  A  B  x  A với x  B. Cho nên vì vậy x  A B khi còn chỉ khi x ko thuộc đôi khi cả A với B, tức là x khôngthuộc ít nhất một trong các hai tập A với B, tốt x  A hoặc x  B. Bởi vậy x  A  B  x  A hoặc x  B. 3.3. Một số trong những tính chất của phép hợp, phép giao. Định lý. Với các tập A, B, C tùy ý ta luôn có: 1) Tính giao hoán: A  B = B  A (của phép hợp), A  B = B  A (của phép giao). 2) Tính kết hợp: ( A  B )  C = A  ( B  C ) (của phép hợp), ( A  B )  C = A  ( B  C ) (của phép giao). Các đặc điểm trên có thể minh chứng được đễ dàng bằng phương pháp sửdụng trực tiếp các định nghĩa phép hợp, phép giao cùng sự bằng nhau củacác tập hợp. Chú ý: - trường đoản cú tính chất kết hợp của phép hợp với phép giao ta hoàn toàn có thể dùngký hiệu A  B  C (gọi là đúng theo của cha tập thích hợp A, B, C) cố kỉnh cho ( A  B)  C hoặc A ( B  C ), dùng ký hiệu A  B  C (gọi là giao của batập đúng theo A, B, C) cầm cố cho ( A  B )  C hoặc A  ( B  C ). - Tương tự, ta rất có thể mở rộng các đặc điểm trên cho hợp và giaocủa những tập hợp. 3.4. Tương tác giữa phép hợp và phép giao. 9 Định lý. Với các tập A, B, C tùy ý ta có: A  ( B  C ) = ( A  B )  ( A  C ) (1), A  ( B  C ) = ( A  B )  ( A  C ) (2). Chứng minh (1). Trả sử x  A  ( B  C ), tức là x  A cùng x  B  C. Vị x  B C có nghĩa là x  B hoặc x  C cần ta có: x  A với x  B thì x  A  B, hoặc x  A với x  C thì x  A  C. Điều đó có nghĩa là x  A  B hoặc x  A  C, có nghĩa là x  ( A  B )  ( A  C ). Ngược lại, mang sử x  ( A  B )  ( A  C ). Theo định nghĩaphép đúng theo suy ra x  A  B hoặc x  A  C. Phương diện khác, theo định nghĩaphép giao ta có: x  A  B thì x  A và x  B, hoặc x  A  C thì x  A cùng x  C. Do đó ta bao gồm x  A và x thuộc không nhiều nhất 1 trong những hai tập B, C, hayxA và x  B  C. Điều này có nghĩa là x  A  ( B  C ). Tương tự ta chứng tỏ được đẳng thức (2). Phương pháp (1) cho biết thêm phép giao phân phối so với phép hợp,công thức (2) cho thấy thêm phép vừa lòng phân phối đối với phép giao. 3.5. Phép trừ. Định nghĩa. đến hai tập thích hợp A và B. Hiệu của A và B là tập hợptất cả các phần tử thuộc A nhưng lại không thuộc B,ký hiệu A B hoặc A – B. Ta rất có thể viết: A B = x x  A cùng x  B tốt x  A B  x  A với x  B. BTrên hình bên, phần gạch ốp chéo thể hiện A B. Ví dụ: A 1) mang lại A = 1, 2, 3, 4, 5 với B = x  Nx là cầu của 30 thì khi đó AB = 4 còn B A = 6, 10, 15, 30. 2) nếu A là tập hợp những tam giác vuông, B là tập hợp những tam giáccân thì A B là tập hợp các tam giác vuông mà không cân, B A là tậphợp những tam giác cân nặng mà không vuông. Chú ý: 10 - nếu A cùng B là những tập hơp tách nhau (A  B = ) thì A B = A cùng B A = B. - Hiệu của hai tập đúng theo nói chung không có tính đối xứng, có nghĩa là AB  B A. - trong trường phù hợp B  A thì A B còn được ký hiệu là CBA vàgọi là phần bù của B trong A. Chẳng hạn, giả dụ xét vào tập hợp số tự nhiên N thì phần bù củatập hợp các số tự nhiên chẵn là tập hợp các số tự nhiên lẻ. - Từ định nghĩa phép trừ ta có thể viết: x  A B  x  A hoặc x  B. 3.6. Sự tương quan giữa phép trừ cùng với phép hợp và phép giao. Định lý. Với các tập hòa hợp A, B, C tùy ý ta có: A ( B  C ) = ( A B )  ( A C ) (1), A ( B  C ) = ( A B )  ( A C ) (2). Minh chứng (1). Giả sử x  A ( B  C ). Điều đó có nghĩa là x  A và x  B  C. Do x  B  C nên x  B và x  C. Bởi thế x  A, x  B với x  C. Từ đó suy ra x  A B và x  AC, nghĩa là x  ( A B )  ( A C ). Ngược lại, đưa sử x ( A B )  ( A C ). Điều đó tức là x A B với x  A C. Suy ra x  A, x  B với x  C. Tức là x  A và x  B C. Vì vậy x  A ( B  C ). Minh chứng đẳng thức (2) tương tự. BÀI TẬP 1. A là tập hợp các số thoải mái và tự nhiên có nhì chữ số mà lại chữ số hàng 1-1 vịgấp song chữ số mặt hàng chục. B là tập hợp những số trường đoản cú nhiên bé dại hơn 50 với chiahết mang đến 8. Tìm kiếm A  B, A  B, A B, B A. 2. Mang lại A = x  8 x 5  9, B = x  514 x  3. Tra cứu AB. AB, AB,BA. 3. Trong tập hòa hợp P các điểm của phương diện phẳng, cho hai điểm A, B vàtrung điểm O của AB. Hotline X là tập hợp các điểm M sao để cho MA  MB; ABY là tập hợp các điểm M làm thế nào cho OM  . 2 Hãy khẳng định các tập X  Y, X  Y, XY, Y X trên hình vẽ. 11 4. Mang lại A, B là các tập vừa lòng tuỳ ý. Hãy minh hoạ đẳng thức saubằng hình mẫu vẽ và tiếp đến chứng minh: a) A B ) = A ( A  B ) b) A  ( B C ) = ( A  B ) C 5. đến hai tập tùy ý A, B. Chứng minh rằng: a) A  B = A khi và chỉ còn khi A  B. B) A  B = B khi và chỉ còn khi A  B. 6. Thống kê tình trạng tự bồi dưỡng trình độ chuyên môn trong 100 giáo viêncho thấy: 33 fan học ngoại ngữ, 40 người học tin học, 42 người bồidưỡng chăm môn. Trong các đó bao gồm 8 tín đồ vừa học ngoại ngữ vừa họctin học, 10 tín đồ vừa bồi dưỡng chuyên môn vừa học ngoại ngữ, 5người vừa học tin học vừa bồi dưỡng trình độ và 3 tín đồ bồi dưỡngcả 3 môn. Hỏi bao gồm bao nhiêu fan chỉ học ngoại ngữ, chỉ học tập tin học, chỉ bồidưỡng chuyên môn và bao nhiêu người không tu dưỡng môn nào? §4. Quan tiền HỆ 4.1. Tích Đề các của các tập hợp. A) Căp sắp tới thứ tự. Mang lại a, b là hai đối tượng người tiêu dùng bất kỳ. Từ bỏ hai đối tượng người dùng này ta thành lậpđược một đối tượng người dùng mới, ký hiệu là (a, b) và gọi là cặp (a, b). Nhị cặp (a, b) và (c, d) gọi là cân nhau khi còn chỉ khi a = c và b =d. Như vậy, ví như a  b thì (a, b) với (b, a) là hai cặp khác nhau. Điều đó nói lên rằng, trong một cặp tín đồ ta rất có thể xét mang đến thứ tựcủa những vật: (a, b) là một trong những cặp chuẩn bị thứ trường đoản cú hai thành phần a với b, a là phần tửđứng trước, b là phần tử đứng sau. B) Tích Đề các. Định nghĩa. Mang đến hai tập hòa hợp A và B. Tích Đề các của A cùng B làtập hợp toàn bộ các cặp gồm thứ tự (a,b), trong những số ấy a  A cùng b  B, ký hiệu làA  B. Ta rất có thể viết: A  B = (a, b)  a  A, b  B. Ví dụ: cho A = a, b, c với B = m, n, lúc đó A  B = (a, m), (b, m), (c, m), (a, n), (b, n), (c, n), 12 B  A = (m, a), (m, b), (m, c), (n, a), (n, b), (n, c). Chú ý: - Tích Đề những nói chung không có tính chất giao hoán: nếu A  Bthì A B  B  A. - Tích Đề các không có tính hóa học kết hợp: với ba tập vừa lòng A, B, Ckhác trống rỗng ta bao gồm ( A  B )  C  A  ( B  C ). - vào trường phù hợp A = B thì A  A còn được ký kết hiệu là A2 cùng gọilà bình phương Đề các của A. - Ta có thể mở rộng có mang tích Đề các cho các tập hợp: tíchĐề những của n tập phù hợp A1, A2, …,An là tập hợp tất cả các bộ phận có thiết bị tự(a1, a2, …,an), trong những số đó a1  A1, a2  A2, …, an  An. 4.2. Quan hệ giới tính hai ngôi. Định nghĩa. Mang đến A là tập hòa hợp tùy ý không giống rỗng. Mỗi tập con S củabình phương Đề các A  A gọi là 1 trong những quan hệ hai ngôi bên trên A. Ví như (a, b)  S thì ta nói a tất cả quan hệ S với b và viết aSb. Như vậy a, b  A, aSb  (a, b)  S. Ví dụ: 1) bên trên tập hợp những số nguyên Z, dục tình “bé thua trận hoặc bằng” xácđịnh vì tập bé S1 = (a, b)  Z2a  b. 2) quan hệ giới tính “chia hết cho” trong N* = N được khẳng định bởi tậpcon S2 = (m, n)  N*2m  n. 3) vào tập hòa hợp D gồm những đường thẳng của khía cạnh phẳng, quan hệ“vuông góc với nhau” khẳng định bởi tập con: S3 =(a, b)  D2a  b. 4) trong tập hợp A tất cả các học viên trong một lớp, quan hệ“cùng họ” xác định bỏi tập con S4 = (x, y)x, y  A, x, y cùng họ. 4.3. Một vài tính hóa học thường gặp mặt của dục tình hai ngôi. A) Tính phản bội xạ. Quan hệ giới tính hai ngôi S trên tập vừa lòng A điện thoại tư vấn là có tínhchất phản xạ nếu aA ta bao gồm aSa (a bao gồm quan hệ S với chủ yếu nó). Ví dụ: trong các ví dụ ở mục 4.2, các quan hệ S1, S2, S4 gồm tínhchất phản xạ; quan hệ giới tính S3 không có tính chất phản xạ. B) đặc điểm đối xứng. Quan hệ nam nữ hai ngôi S trên tập hợp A gọi là cótính hóa học đối xứng trường hợp a, b A cơ mà aSb thì luôn suy ra được bSa. 13 Ví dụ: trong các ví dụ sinh sống mục 4.2, các quan hệ S3, S4 gồm tính chấtđối xứng; các quan hệ S1, S2 không có tính chất đối xứng. C) đặc thù phản đối xứng (phản xứng). Tình dục hai ngôi S trêntập vừa lòng A hotline là có đặc điểm phản đối xứng nếu a, b  A mà lại aSb vàbSa thì luôn luôn suy ra được a = b. Ví dụ: trong số ví dụ ở mục 4.2, các quan hệ S1, S2 có tính chấtphản đối xứng; các quan hệ S3, S4 không tồn tại tính hóa học phản đối xứng. D) đặc thù bắc cầu. Quan hệ hai ngôi S bên trên tập phù hợp A hotline là cótính chất bắc cầu nếu a, b, c  A cơ mà aSb với bSc thì luôn suy ra đượcaSc. Ví dụ: trong các ví dụ sống mục 4.2, những quan hệ S1, S2, S4 tất cả tínhchất bắc cầu; những quan hệ S3 không có tính hóa học bắc cầu. 4.4. Quan hệ tình dục tương đương. A) Định nghĩa. Dục tình hai ngôi S bên trên tập hợp A hotline là quan hệtương đương trường hợp nó có những tính chất: phản nghịch xạ, đối xứng, bắc cầu. Ví dụ: trong số ví dụ sinh sống mục 4.2, quan hệ giới tính S4 (quan hệ “cùng họ”)là quan hệ giới tính tương đương; các quan hệ S1, S2, S3 là không tương đương. Chú ý: - trường hợp S là quan liêu hệ tương đương ta thường thế S vị ký hiệu  (a b, gọi là “a tương tự với b”) - Do đặc thù đối xứng yêu cầu nếu a  b thì có thể viết b  a. B) Lớp tương đương. Bên trên tập vừa lòng A mang đến quan hệ tương đương .Giả sử a là 1 phần tử nào đó thuộc A. Ký kết hiệu: = x  A x  a và call tập hợp này là lớp tương tự của a. Từ tính chất phản xạ của quan hệ  suy ra a  . Ví dụ: 1) Xét quan hệ tương tự “có cùng số dư trong phép phân chia cho3” bên trên tập hợp những số tự nhiên N. Cùng với số tự nhiên n bất kỳ thuộc N, là tập hợp những số tự nhiên có thuộc số dư cùng với n trong phép phân tách cho 3. Chẳng hạn lấy n = 4. Số dư trong phép chia 4 cho 3 là 1. Vậy <4> = 1, 4, 7, 10, …. 2) Với quan tiền hệ tương tự “cùng họ” của tập hợp các học sinhtrong một tấm (quan hệ S4 ở mục 4.2), lớp tương đương của một học sinhbất kỳ là tập vừa lòng gồm học sinh đó và tất cả các học viên khác cùng họtrong lớp. 14 Định lý. Trên tập thích hợp A cho quan hệ tương tự . Trả sử x1, x 2là nhì phần tử ngẫu nhiên thuộc A. Ta có: 1) =  x1  x2, 2) trường hợp thì = . Hội chứng minh. 1) trả sử = . Do x1  yêu cầu suy ra x1  , nghĩa là x 1  x 2. Ngược lại, trả sử x1  x 2. đem x ngẫu nhiên thuộc thì x  x 1, mà x1 x 2 đề xuất theo đặc điểm bắc mong suy ra x  x2 bắt buộc x  . Cho nên vì thế . Hoàn toàn tương tự ta cũng chứng tỏ được . Vậy = . 2) với ta trả sử  . Suy ra tồn tại x  Xsao mang lại x  và x  . Vì chưng x  nên x  x1, lại bởi x  phải x x 2. Theo đặc thù bắc cầu suy ra x1  x 2. Từ phía trên áp dụng đặc điểm 1) tađược = , điều đó trái với mang thiết . Vậy trường hợp thì = . Như vậy, một quan liêu hệ tương tự trên tập phù hợp A phân chia A thànhcác tập bé là những lớp tương đương rời nhau. Tức thị mỗi phần tử bất kỳcủa A gần như thuộc và chỉ thuộc một trong các tập nhỏ ấy và những phần tửtrong cùng một tập bé thì tương tự với nhau. Ví dụ: 1) quan hệ giới tính “có thuộc số dư vào phép chia cho 3” phân chia N thành batập con là <0>, <1>, <2>. <0> là tập hợp những số thoải mái và tự nhiên chia hết đến 3: <0> = 0, 3, 6, 9, …, <1> là tập hợp những số thoải mái và tự nhiên chia 3 còn dư 1: <1> = 1, 4, 7, 10,…, <2> là tập hợp những số tự nhiên và thoải mái chia 3 còn dư 1: <2> = 2, 5, 8, 11,…. 2) quan hệ “cùng họ” của các học sinh trong một lớp phân tách lớp đóthành những tập con gồm những học sinh cùng họ. C) Tập thương. Tập hợp các lớp tương tự của A với dục tình gọi là tập yêu quý của A theo quan hệ đó, cam kết hiệu A: A = a  A. Ví dụ: Xét dục tình “có thuộc số dư trong phép chia cho 3” trên N,ta bao gồm N = <0>, <1>, <2>}. 4.5. Quan tiền hệ vật dụng tự. 15 a) Định nghĩa. Tình dục 2 ngôi S bên trên tập A hotline là quan hệ sản phẩm công nghệ tựnếu nó có những tính chất: phản bội xạ, bội nghịch đối xứng, bắc cầu. Ví dụ: trong các ví dụ ở mục 4.2, các quan hệ S1(“bé đại bại hoặcbằng”) và S2 (“chia không còn cho”) là các quan hệ vật dụng tự. Chú ý: quan lại hệ nhỏ bé thua hoặc bởi () thường thì trên các tậphợp số là quan tiền hệ trang bị tự. Quan hệ này nổi bật đến nỗi bạn ta mượnký hiệu  để chỉ đồ vật tự trong cả trong trường phù hợp tổng quát. Trong trường thích hợp tổng quát, khi S là một trong quan hệ sản phẩm công nghệ tự, người taký hiệu a  b vậy cho aSb với đọc là “a bé bỏng thua hoặc bởi b” tuyệt “ađứng trước b”. Khi đó ta cũng viết b  a và đọc “b lớn hơn hoặc bằng a”.Để kiêng nhầm lẫn, lúc nào  mang ý nghĩa thông thường xuyên ta đã nói rõ. B) Tập sắp tới tứ tự. Lúc tập A được thiết bị một quan tiền hệ thiết bị tự S thì ta nói A là mộttập sắp tới thứ từ (theo quan hệ sản phẩm công nghệ tự đó). Vào một tập sắp tới thứ tự rất có thể xảy ra hai trường hợp: Trường vừa lòng 1: đều cặp thành phần a, b của A đều phía bên trong quan hệthứ trường đoản cú đó. Nói không giống đi a, b  A tuyệt nhất thiết phải gồm a  b hoặc b  a. Trường phù hợp này A được gọi là tập sắp tới thứ tự toàn phần. Trường vừa lòng 2: chưa phải mọi cặp trực thuộc A đều hoàn toàn có thể so sánhđược, nghĩa là tất cả cặp a, b làm sao để cho ta không có cả a  b lẫn b  a. Trường đúng theo này A được hotline là tập sắp thứ tự bộ phận. Ví dụ: 1) các tập đúng theo số với quan hệ  thông thường là tập hợp chuẩn bị thứtự toàn phần. 2) Tập N* với quan hệ tình dục  (chia hết cho) ko là tập sắp thứ từ toànphần mà chỉ cần tập chuẩn bị thứ tự bộ phận. Ví dụ như hai số 5 và 17không đối chiếu được theo quan hệ nam nữ “chia không còn cho”. Chú ý: với 1 tập A ta có thể trang bị nhiều quan hệ trang bị tự;với dục tình này rất có thể A là tập sắp tới thứ từ bỏ toàn phần tuy nhiên với quan hệkhác A chỉ la tập sắp tới thứ tự bộ phận. C) thành phần lớn nhất, bé dại nhất. đến A là một tập sắp đến thứ tự với quan lại hệ thiết bị tự là , M là 1 tậpcon của A. Thành phần m  M hotline là phần tử nhỏ tuổi nhất của M trường hợp ta luôn có m  x,x M. Bộ phận m  M điện thoại tư vấn là đa số nhất của M giả dụ ta luôn luôn có x  m, x M. 16 Ví dụ: trên N* với tình dục “chia không còn cho” tập A = 1, 2, 5, 7, 35,70. Minh bạch N* là tập sắp thứ từ bỏ với quan hệ đã đến và A  N*. Ta thấy 1 là phần tử bé dại nhất của A và 70 là thành phần lớn tốt nhất củaA. Chú ý: không hẳn mọi tập hợp con của một tập sắp tới thứ tự gần như cóphần tử nhỏ dại nhất, thành phần lớn nhất. Ví dụ điển hình cho N* với dục tình “chiahết cho”, với tập A = 1, 2, 4, 70chỉ có một là phần tử nhỏ dại nhất, ko cóphần tử béo nhất. BÀI TẬP 1. Mang sử A là tập hợp toàn bộ các người, ta xác định các quan hệ giới tính S1,S2, S3 như sau: a) xS3y nếu tín đồ x là nhỏ của bạn y b) xS1y nếu người x rất ít tuổi hơn fan y. C) xS2y nếu bạn x cùng giới tính với người y. Hãy xét xem những quan hệ trên có những đặc điểm gì? 2. Bên trên tập đúng theo N các số từ nhiên, khẳng định quan hệ S như sau: a S b  a + b là số chẵn. Xét xem quan hệ S tất cả những tính chất nào? 3. Trên tập thích hợp Z các số nguyên khẳng định các quan hệ tình dục S như sau: với a, b  Z: aSb  a  b  2. Hãy xét xem quan hệ tình dục S này có những đặc điểm gì? 4. Vào tập R các số thực, đến quan hệ nhì ngôi S như sau: xSy x = y a) minh chứng rằng S là một trong quan hệ tương đươg trong R b) xác định lớp tương tự với a là một số thực bất kỳ. 5. đến tập X gồm toàn bộ các hợp điểm trên mặt phẳng, O là mộtđiểm cố định cho trước ở trong X. Trên tập X, quan hệ tình dục S được xác địnhnhư sau: M S N  OM = ON. A) chứng minh rằng S là một trong quan hệ tương tự trên X b) Hãy khẳng định lớp tương tự với A là một trong điểm bất kỳ c) xác minh tập yêu đương X/S. 6. A) vào tập những số thực R xét quan hệ tình dục T như sau: với x, y  R : xTy  x3  y3 ( theo nghĩa thông thường). 17 chứng tỏ rằng quan hệ T quan liêu hệ trang bị tự. T liệu có phải là quan hệthứ tự con đường tính không? b) vào tập những số thực R xét dục tình T như sau: cùng với x, y  R : xTy  x2  y2 ( theo nghĩa thông thường). Hãy xét xem T có phải là quan hệ sản phẩm công nghệ tự tuyệt không. 7. Xét tập hợp sắp thứ từ N với quan liêu hệ trang bị tự  và thành phần A củaN cùng với A = 2, 3, 4, 5, 6, 7. Hãy tìm các thành phần lớn nhất, nhỏ tuổi nhất, chặn trên, ngăn dưới, chặntrên nhỏ dại nhất, chặn dưới phệ nhất, thành phần tối đại, phần tử tối đái của bộphận A. §5. ÁNH XẠ trong §4 ta sẽ thấy từng tập nhỏ của tập tích Đề các bộc lộ mộtquan hệ thân các bộ phận của tập X với các thành phần của tập Y. Ta cũng đã xét trường thích hợp riêng lúc tập Y trùng cùng với tập X với đã đitới có mang quan hệ hai ngôi bên trên X. Vào phần này, ta đã xét một trường vừa lòng riêng không giống của kháiniệm quan liêu hệ nhằm đi đến khái niệm ánh xạ. Giả sử đến quan hệ f bên trên XY. Trong trường vừa lòng tổng quát, nói chung với mỗi x  X, tập cácphần tử y  Y bao gồm quan hệ f cùng với x (tức là tập đúng theo y  Y x f y) có thểlà rỗng hoặc có thể có tương đối nhiều phần tử. Vào trường hợp sệt biệt, khi mà ứng với mỗi thành phần x  X, tậpcác phần tử y  Y nhưng mà x f y gồm một cùng chỉ một phần tử thì quan hệ giới tính f đượcgọi là một trong ánh xạ từ X mang lại Y. Như vậy, ánh xạ f từ X mang đến Y là 1 trong những quan hệ f trên XY tất cả tínhchất “với mọi phần tử x  X bao giờ cũng bao gồm một và chỉ một phần tử y Y sao để cho x có quan hệ f cùng với y”. Nói khác đi, việc cho một ánh xạ trường đoản cú X đến Y là việc cho một quytắc ứng mỗi bộ phận x  X với 1 phần tử y hoàn toàn xác định trongY. Ta đi mang lại khái niệm ánh xạ và các khái niệm liên quan. 5.1. Các khái niệm cơ bạn dạng và ví dụ về ánh xạ. Định nghĩa. 18 cho X với Y là hai tập vừa lòng khác rỗng. Một ánh xạ trường đoản cú X mang lại Y làmột quy tắc đặt khớp ứng mỗi thành phần x  X với một phần tử duy nhấty  Y. Khi y là bộ phận ứng cùng với x qua ánh xạ f thì ta gọi y là ảnh của xqua ánh xạ f. Ánh xạ thường được cam kết hiệu bằng những chữ f, g, h, ... Để chỉ ánh xạf từ X mang đến Y mà bộ phận x  X được đặt tương ứng với thành phần y  Y taviết f : XY x  y = f(x)hoặc f XY x  y = f(x). X gọi là tập nguồn (hay miền xác định), Y hotline là tập đích (haymiền giá bán trị). Nhì ánh xạ f : X  Y với g : X  Y điện thoại tư vấn là đều bằng nhau nếu f(x) =g(x), x  X. Ví dụ: 1) cho những tương ứng bởi các hình vẽ sau x y x y    y x  y x x  x  y y x  a) b ) y x y x   y  y x  x y Hình c) và d) là những ánh xạ. Hình a) vàb) chưa phải là những ánhxạ. X   x y y 2) lúc chấm bài bác người thầy giáo đã triển khai một ánh xạ từ bỏ tậphợp những bài kiểmc)tra mang đến tập hợp những số 0, 1, 2, 3, 4, 5, d 6, 7, 8, 9, 10(cho điểm nguyên theo thang điểm 10). Ánh xạ này ứng) mỗi bài xích với mộtcon điểm. 19 3) Phép cộng trên tập đúng theo số tự nhiên là một ánh xạ trường đoản cú tập hợpNNN. Ánh xạ này ứng từng cặp số tự nhiên và thoải mái (x, y) với một vài là x + y: NNN (x, y)  x + y. 4) mang lại tập phù hợp X bất kỳ. Tương ứng mỗi bộ phận x  X cùng với chínhnó là một ánh xạ từ bỏ tập X đến tập X. Ánh xạ này thường được ký hiệu là 1X tốt idX và điện thoại tư vấn là ánh xạđồng nhất: 1X : X  X x  x. 5) tương xứng mỗi bộ phận x ở trong tập hợp những số thực R với phầntử 2x+1 là một trong ánh xạ từ bỏ R cho R: RR x  2x + 1. Chú ý: - Một phép khớp ứng các thành phần của X cùng với các bộ phận của Y sẽkhông là ánh xạ tự X đến Y khi có thành phần của X không có phần tửtương ứng vào Y, hoặc khi có phần tử của X ứng cùng với hon 1 phần tửtrong Y. - vào một ánh xạ, mỗi thành phần thuộc nguồn phần đa có ảnh duynhất, nghĩa là ví như f : X  Y là 1 trong những ánh xạ và x1 = x2 (x 1, x2  X) thìphải có f(x1) = f(x2), hoặc từ bỏ f(x 1)  f(x2) ta phải tất cả x1  x 2. - Mỗi thành phần của nguồn gồm một hình ảnh duy độc nhất nhưng rất có thể haihay nhiều phần tử của nguồn bao gồm chung một ảnh. Ngoài ra, cũng hoàn toàn có thể cóphần tử của tập đích không là ảnh của bất kỳ phần tử như thế nào trong tậpnguồn. 5.2. Ảnh và tạo ra ảnh. A) Định nghĩa. Mang đến ánh xạ f : X  Y. - trả sử A  X. Tập bé của Y gồm toàn bộ các hình ảnh của gần như phầntử nằm trong A call là ảnh của A qua ánh xạ f, ký kết hiệu là f(A): f(A) = f(x) x  A. - giả sử B  Y. Tập con của X gồm toàn bộ các tạo ảnh của mọiphần tử ở trong B điện thoại tư vấn là tạo ảnh toàn phần của B qua ánh xạ f, cam kết hiệu là f-1 (B): f-1(B) = x  X f(x)  B. Ví dụ: mang đến ánh xạ f : R  R , x  2x + 1.

Xem thêm:
Những Bài Toán Khó Lớp 7 Và Các Bài Toán Nâng Cao Lớp 7 Có Lời Giải

1 giả sử A = -1, 0, , 2 cùng B = 0, 1, 2. 3 20