Bài viên sẽ đưa ra cho các em khái niệm về đường vuông góc, đường xiên, hình chiếu của đường xiên và các định lý về mối quan hệ giữa chúng. Bài viết này cũng có các bài tập vận dụng để các em củng cố và nâng cao kiến thức.

Bạn đang xem: Đường vuông


Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và hình chiếu

I/ Kiến thức cần nhớ

1. Khái niệm về đường vuông góc, đường xiên và hình chiếu của đường xiên

*

+ Đoạn AH gọi là đoạn vuông góc hay đường vuông góc kẻ từ điểm A đến đường thẳng d;

Điểm H gọi là chân đường vuông góc hay hình chiếu của điểm A trên đường thẳng d.

+ Đoạn AB gọi là đường xiên kẻ từ điểm A đến đường thẳng d

+ Đoạn HB gọi là hình chiếu của đường xiên AB lên đường thẳng d.

2. Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên

Định lý 1: Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ một điểm ở ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó, đường vuông góc là đường ngắn nhất.

Ví dụ:

*

\(AH \bot a\,\, \Rightarrow AH HC\,\, \Rightarrow AD > AC.\)

b) Đường xiên nào lớn hơn thì có hình chiếu lớn hơn

Ví dụ: \(AH \bot a,\,\,AD > AC\,\, \Rightarrow HD > HC.\)

c) Nếu hai đường xiên bằng nhau thì hai hình chiếu bằng nhau và ngược lại nếu hai hình chiếu bằng nhau thì hai đường xiên bằng nhau.

Ví dụ: \(AB = AC \Leftrightarrow HB = HC.\)

II/ Bài tập vận dụng

1. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Cho đường thẳng d và điểm A không thuộc d. Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai?

(A) Có duy nhất một đường vuông góc kẻ từ điểm A đến đường thẳng d

(B) Có duy nhất một đường kẻ xiên kẻ từ điểm A đến đường thẳng d.

(C) Có vô số đường vuông góc kẻ từ điểm A đến đường thẳng d.

(D) Có vô số đường kẻ xiên kẻ từ điểm A đến đường thẳng d.


Hãy vẽ hình minh họa cho các khẳng định đúng.

Hướng dẫn:

+ Ta biết rằng có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước, vuông góc vói một đường thẳng cho trước và có vô số đường thẳng đi qua một điểm cho trước cắt một đường cho trước.

Bởi vậy, có duy nhất một đường vuông góc kẻ từ điểm A đến đường thẳng d và có vô số đường xiên kẻ từ điểm A đến đường thẳng d.

Vậy:

A. Đúng B. Sai C. Sai D. Đúng

+ Vẽ hình minh họa:

*

Trong hình trên, AH là đường vuông góc (duy nhất) và AB, AC, AD, AE, AG là những đường xiên kẻ từ A đến d (có thể kẻ được vô số đường xiên như thế).

Câu 2: Qua điểm A không thuộc đường thẳng d, kẻ đường vuông góc AH và các đường xiên AB, AC đến đường thẳng d (H, B, C đều thuộc d). Biết rằng HB AC (B) AB = AC

(C) AB > AC (D) AH > AB

Hướng dẫn:

Theo định lí so sánh giữa hình chiếu và đường xiên ta có:

HB

Câu 3: Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng, B nằm giữa A và C. Trên đường thẳng vuông góc với AC tại B ta lấy điểm H. Khi đó:

(A) AH BH (D) AH = BH

Hướng dẫn:

*

Vì BH là đường vuông góc và AH là đường xiên nên AH > BH.

Chọn (C).

Câu 4: Trong tam giác ABC có chiều cao AH. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

(A) Nếu BH MH (B) HB

Lời giải chi tiết:

*

*

Do 9cm > 8cm nên cung tròn tâm A bán kính 9cm cắt đường thẳng BC.

Gọi D là giao điểm của cung đó với đường thẳng BC (giả sử D và C nằm cùng phía vói H trên đường thẳng BC).

Đường xiên AD nhỏ hơn đường xiên AC nên hình chiếu HD nhỏ hơn hình chiếu HC. Do đó D nằm giữa H và c. Vậy cung tròn tâm A nói trên cắt cạnh BC.

Bài 2: Cho tam giác ABC, điểm D nằm giữa A và C (BD không vuông góc với AC). Gọi E và F là chân các đường vuông góc kẻ từ A và C đến đường thẳng BD. So sánh AC với tổng AE + CF.

Lời giải chi tiết:

*

Trong tam giác ADE ta có \(\angle AED = {90^0}\) nên AE

Mà BM = BE + EM = BF – MF

Do đó: AB AC. Chứng minh rằng EB > AC.

*

Lời giải chi tiết:

Ta có: AB > AC nên HB > HC (đường xiên lớn hơn thì hình chiếu lớn hơn).

Xem thêm: Cách Nuôi Bọ Cánh Cứng Ăn Gì ? Mua Ở Đâu Hà Nội, Tphcm? Giá Bao Nhiêu Là Rẻ Nhất

Vì HB > HC nên EB > EC (hình chiếu lớn hơn thì đường xiên lớn hơn).

Bài 5: Cho hình sau. Chứng minh rằng: BD + CE Tải về