Nhắc đến sự đồng biến nghịch biến của hàm số lượng giác, chắc hẳn các em học sinh cấp 3 sẽ thấy dạng bài này rất thú vị và hay. Sau đây DINHNGHIA.VN sẽ chia sẻ một số kiến thức cơ bản về chủ đề này.

Bạn đang xem: Đồng biến nghịch biến của hàm số lượng giác


Sự đồng biến nghịch biến của hàm số là gì? Các dạng toán về tính đơn điệu của hàm số lượng giác Sự đồng biến nghịch biến của hàm số mũ và hàm số logarit

Sự đồng biến nghịch biến của hàm số là gì?

Giả sử : K là một khoảng, một đoạn hoặc 50% khoảng .

Cho hàm số \(y=f(x)\) xác định trên K.


Hàm số\(y=f(x)\) đồng biến trên K nếu :

\(x_{1},x_{2}\in K; x_{1} Hàm số\(y=f(x)\) nghịch biến trên K nếu :

\(x_{1},x_{2}\in K; x_{1} f(x_{2})\)

*

Điều kiện cần và đủ để hàm số đồng biến, nghịch biến

Cho hàm số: \(y=f(x)\) có đạo hàm trên K.

Điều kiện cần:

+ Nếu \(f(x)\) đồng biến trên K thì \(f"(x)\geq 0, \forall x\in K.\)

+ Nếu \(f(x)\) nghịch biến trên K thì \(f"(x)\leq 0, \forall x\in K.\)

Điều kiện đủ:

+ Nếu \(f"(x)\geq 0, \forall x\in K\)\(f"(x)=0\) chỉ tại 1 số hữu hạn điểm thuộc K thì \(f"(x)\) đồng biến trên K.

+ Nếu \(f"(x)\leq 0, \forall x\in K\)\(f"(x)=0\) chỉ tại 1 số hữu hạn điểm thuộc K thì \(f"(x)\) nghịch biến trên K.

+ Nếu \(f"(x)= 0, \forall x\in K\) thì \(f(x)\) là hàm hằng trên K.

Các bước xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

Bước 1 : Tìm tập xác lập .Bước 2 : Tính đạo hàm. Tìm những điểmmà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác lập .Bước 3 : Sắp xếp những điểmtheo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên .Bước 4 : Nêu Tóm lại về những khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số .

Sự đồng biến nghịch biến của hàm số lượng giác

Hàm số lượng giác là hàm số có dạng y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = cot x .

Hàm số sin: Quy tắc đặt tương ứng với mỗi số thực x với số thực sin x .

 \(sin x: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\)

\(x\mapsto y=sin x\)

được gọi là hàm số sin, ký hiệu là y = sin x .

Tập xác định của hàm số sin là: \(\mathbb{R}\)

Hàm số cos: Quy tắc đặt tương ứng với mỗi số thực x với số thực cos x .

\(cos x: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\)

\(x\mapsto y=cos x\)

được gọi là hàm số cos, ký hiệu là y = cos x .

Tập xác định của hàm số sin là: \(\mathbb{R}\)

Hàm số tan: là hàm số được xác lập bởi công thức :

\(y=\frac{sin x}{cos x} (cos x \neq 0)\), ký hiệu là y = tan x .Tập xác định của hàm số tan là: \(D=\mathbb{R}\setminus \left \{ \frac{\pi }{2} +K\pi, k\in \mathbb{Z}\right \}\)

Hàm số cot: là hàm số được xác lập bởi công thức :

\(y=\frac{cos x}{sin x} (sin x \neq 0)\), ký hiệu là y = cot x .Tập xác định của hàm số y = cot x là: \(D=\mathbb{R}\setminus \left \{ k\pi, k\in \mathbb{Z} \right \}\).

*

Các dạng toán về tính đơn điệu của hàm số lượng giác

Khi tìm hiểu và khám phá về sự đồng biến nghịch biến của hàm số lượng giác, những bạn cần nắm chắc những dạng toán như sau :

Dạng 1: Tìm tập xác định của hàm số lượng giác lớp 11

Ta có 4 hàm số lượng giác cơ bản như sau : y = sinx, y = cox, y = tanx và y = cotx. Mỗi hàm số trên đều có tập xác lập riêng, đơn cử : y = sinx, y = cosx có D = R . y = tanx có D = R \ { π / 2 + kπ, k ∈ Z } y = cotx có tập xác lập D = R \ { kπ, k ∈ Z } . Phương pháp giải dạng bài tập này như sau :

*

Khi khám phá về tính đơn điệu của hàm số lượng giác, bạn cần chú ý quan tâm 1 số ít kỹ năng và kiến thức quan trọng như sau :

Hàm số y = sinx sẽ đồng biến trên mỗi khoảng (-π/2 + k2π; π/2 +k2π), và nghịch biến trên mỗi khoảng (π/2 +k2π).Hàm số y = cosx sẽ nghịch biến trên mỗi khoảng (k2π; π + k2π), và đồng biến trên khoảng (-π +k2π; k2π).Hàm số y = tanx sẽ đồng biến trên mỗi khoảng (-π/2 +kπ; π/2 +kπ).Hàm số y = cotx sẽ nghịch biến trên mỗi khoảng (kπ; π +kπ).

Dạng 2: Tìm tính đơn điệu của hàm số lượng giác

Với dạng toán về tính đơn điệu của hàm số lượng giác, bạn trọn vẹn hoàn toàn có thể sử dụng máy tính cầm tay để giải nhanh dạng toán này, đơn cử :

*

Dạng 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 

Để tìm giá trị lớn nhất của hàm số hay giá trị nhỏ nhất của hàm số, bạn cần ghi nhớ triết lý sau :

*

Dạng 4 : Tính chẵn lẻ của hàm số lượng giác

Phương pháp giải bài tập về tính chẵn lẻ của hàm số lượng giác như sau :

Hàm số y = f(x) với tập xác định D gọi làm hàm số chẵn nếu:Với ∀ x ∈ D thì -x ∈ D và f(x) = f(-x). Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng.Hàm số y = f(x) với tập xác định D gọi là hàm số lẻ nếu:Với ∀ x ∈ D thì -x ∈ D và f(-x) = -f(x).Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.

Dạng 5 : Tính tuần hoàn của hàm số lượng giác

Với dạng toán về tính tuần hoàn của hàm số lượng giác, bạn cần làm theo những bước như sau :

Hàm số y = f(x) xác định trên tập D được gọi là hàm số tuần hoàn nếu có số T ≠ 0, sao cho ∀ x ∈ D. Khi đó x ± T∈ D và f(x+T) = f(x).***Lưu ý: Các hàm số y = sin (ax +b), y = cos (ax+b) tuần hoàn với chú kì T = 2π/|a|Các hàm số tan (ax +b), y = cot(ax+ b) tuần hoàn với chu kì T = π/|a|.

Sự đồng biến nghịch biến của hàm số mũ và hàm số logarit

Định nghĩa sự đồng biến nghịch biến của hàm số mũ và hàm số logarit

Hàm số logarit là hàm số có dạngy = logax( vớia > 0, a ≠ 1)

Tính chất của hàm số mũ y= ax (a > 0, a≠1).

Tập xác lập :\(\mathbb{R}\)Đạo hàm :\(\forall x\in \mathbb{R}, y= a^{x}lna\)Chiều biến thiên :Nếu a > 1 thì hàm số luôn đồng biến .

Nếu 0

Tiệm cận : trục Ox là tiệm cận ngang .Đồ thị nằm trọn vẹn về phía trên trục hoành (y = ax> 0, ∀ x ), và luôn cắt trục tung tại điểm ( 0 ; 1 ) và đi qua điểm ( 1 ; a ) .

Tính chất của hàm số logarit y = logax (a> 0, a≠1).

Tập xác lập : \ ( ( 0 ; + \ infty ) \ )Đạo hàm :\(\forall x \in (0;+\infty ), y=\frac{1}{xlna}\)Chiều biến thiên :+ ) Nếu a > 1 thì hàm số luôn đồng biến .+ ) Nếu 0 Tiệm cận : Trục Oy là tiệm cận đứng .Đồ thị nằm trọn vẹn phía bên phải trục tung, luôn cắt trục hoành tại điểm ( 1 ; 0 ) và đi qua điểm ( a ; 1 ) .

*

Lưu ý:

Nếu a > 1 thì\(lna>0\), suy ra\((a^{x})’>0, \forall x\)\((log_{a}x)’>0, \forall x> 0\); Hàm số mũ và hàm số logarit với cơ số lớn hơn 1 là những hàm số luôn đồng biến .Nếu 0 \(lna,\((a^{x})’\((log_{a}x)’ 0\); hàm số mũ và hàm số logarit với cơ số nhỏ hơn 1 là những hàm số luôn nghịch biến .

– Công thức đạo hàm của hàm số logarit hoàn toàn có thể lan rộng ra thành :

\((ln\left| x \right|)’=\frac{1}{x}, \forall x\neq 0\) \((log_{a}\left| x \right|)’= \frac{1}{xlna}, \forall x≠0\).

Xem thêm: Phát Biểu Điều Mà Em Thấm Thía Nhất Khi Học Bài Bàn Về Đọc Sách Năm 2021

Ví dụ sự đồng biến nghịch biến của hàm số lượng giác

Tìm các khoảng đồng biến của hàm số: \(y= x^{2}e^{-4x}\)

Tập xác định: \(\mathbb{R}\)

Ta có: \(y’= 2xe^{-4x}+xe^{-4x}(-4)=2xe^{-4x}(1-2x)\)

Khoảng đồng biến của hàm số là ( 1 ; + ∞ ) .

Như vậy, bài viết trên đã cung cấp cho bạn những kiến thức bổ ích về sự đồng biến nghịch biến của hàm số, sự đồng biến nghịch biến của hàm số lượng giác cũng như các ví dụ minh họa. Nếu như có bất cứ băn khoăn hay câu hỏi nào về sự đồng biến và nghịch biến của hàm số lượng giác, mời bạn để lại nhận xét bên dưới để chúng mình cùng trao đổi thêm nhé!

hàm số lượng giác 11 cơ bảnxét tính đơn điệu của hàm số lượng giáccách vẽ đồ thị hàm số lượng giác lớp 11tính đơn điệu của hàm số lượng giác lớp 11sự đồng biến nghịch biến của hàm số lượng giácxét tính đồng biến nghịch biến của hàm số y=sinxtìm m để hàm số lượng giác đồng biến trên khoảngbài tập đồng biến nghịch biến của hàm số lượng giác 12xét tính đồng biến nghịch biến của hàm số lượng giác bằng máy tính

3.3 / 5 ( 3 bầu chọn