Đề cương ôn thi tốt nghiệp thpt môn Toán được soạn nhằm hỗ trợ cho chúng ta những kiến thức và kỹ năng về áp dụng của đạo hàm và khảo sát điều tra vẽ đồ dùng thị hàm số; phương trình mũ; phương trình lôgarit; hình học tập giải tích trong ko gian; tích phân; phương trình phương diện phẳng và một số trong những kiến thức khác.
CHỦ ĐỀ 1: ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM VÀ KHẢO SÁT VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ (KSHS: 1 điểm. GTLN,NN (TIẾP TUYẾN): 1 điểm)I. Chuẩn kiến thức, kĩ năng:1. Kiến thức: (SGK)2. Kĩ năng: Xét được tính đồng biến, nghịch biến của một hàm số trên một khoảng dựa vào dấu của đạo hàm của hàm số đó.. Tính được cực trị của hàm số. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một tập hợp số. Làm được toán khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số: ax + b y = ax 3 + bx 2 + cx + d (a 0); y = ax 4 + bx 2 + c (a 0); y = (c 0, adbc 0); cx + d Viết được phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm thuộc đồ thị của hàm sốII. Câu hỏi/ Bài tậpPhần 1: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số. X4Câu 1 (M2):Tìm GTLN và GTNN của hàm số y = − 2 x 2 + 3 trên đoạn < −1 ; 2> . 4 x4Đáp án Đặt f ( x ) = − 2 x 2 + 3 xác định và liên tục trên đoạn < −1 ; 2> . 4 x=0 3 2 ( )Ta có f "( x) = x − 4 x = x x − 4 .Trên < −1 ; 2> ta có f "( x ) = 0 x=2 5 f ( x ) = f (0) = 3, min f ( x) = f (2) = −1 yêu cầu maxVì f (0) = 3; f (2) = −1; f ( −1) = < −1 ;2> < −1 ;2> 4Câu 2 (M2): Tìm GTLN và GTNN của hàm số y = x + 4 − x 2 .Đáp án Đặt f ( x) = x + 4 − x 2 . Tập xác định D = < −2 ; 2> x 4 − x2 − x x 0Ta có f "( x) = 1 − = � f "( x) = 0 � � x= 2 4− x 2 4− x 2 4 − x2 = x2Vì f (−2) = −2; f (2) = 2; f ( 2) = 2 2 đề xuất max f ( x) = f ( 2) = 2 2; min f ( x) = f ( −2) = −2. < −2 ;2> < −2 ;2> � 3π �Câu 3(M3): Tìm GTLN và GTNN của hàm số y = 2sin x + sin 2 x trên đoạn � 0; . � 2 � � � 3π �Đáp án Đặt f ( x ) = 2sin x + sin 2 x . Hàm số xác định và liên tục trên đoạn � 0; � 2 �� Ta có f "( x) = 2 cos x + 2 cos 2 x = 2 ( cos x + 1) ( 2 cos x − 1) cos x = −1 x = π + k 2π f "( x ) = 0 �� 1 π cos x = cos x = + k 2π 2 3 � 3π � πTrên khoảng tầm 0; � � ta tất cả f "( x ) = 0 có các nghiệm x= ; x = π bởi vì � 2 � 3 �π � 3 3 �3π � f � �= ; f ( π ) = 0; f ( 0 ) = 0; f� �= −2 cần �3 � 2 �2 � �3π � �π � 3 3 min f ( x) = f � � �= −2; max f ( x ) = f � �= 3π � 0; � � �2 � � 3π � 0; � � �3� 2 � 2 � 2 � �Bổ sung: Câu 2 đề 1; 2, 5 7, 9 (HD thi TN THPT QG 20152016 NXBGD VN) 1 Phần 2: Khảo sát vẽ đồ thị hàm sốCâu 1 (M2): Khảo sát vẽ đồ thị hàm số y = x 3 − 4 x 2 + 4 x. Hướng dẫn:Theo sơ đồ khảo sát vẽ đồ thị hàm số trong sách giáo khoaCâu 2 (M2): Khảo sát vẽ đồ vật thị hàm số y = − x 4 + 2 x 2 + 2. Hướng dẫn:Theo sơ đồ khảo sát vẽ đồ thị hàm số trong sách giáo khoa x +1Câu 3 (M2): Khảo sát vẽ đồ thị hàm số y = . Hướng dẫn:Theo sơ đồ khảo sát vẽ đồ thị 3− xhàm số trong sách giáo khoa.Bổ sung: Câu 1 a) 5 đề của Sở GD 2015; Câu 1 đề thi minh họa 2015; Câu 1, 2 đề thi chính thức 2015.Câu 1 10 đề trong tài liệu hướng dẫn ôn thi tốt nghiệp 2015 2016 – Nhà xuất bản giáo dục Việt Nam.Phần 3: PT tiếp tuyến... Câu 1 (M2): Cho hàm số y = − x 3 + 3 x 2 + 1 có đồ thị (C). Viết phương trình các tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song đường thẳng ∆ : y = −9 x − 10 . Đáp ánGọi M ( a; b ) là tiếp điểm. Khi đó, ta có b = − a 3 + 3a + 1Ta có y " = −3 x 2 + 6 x Hệ số góc tiếp tuyến d của đồ thị hàm số tại M là k = −3a 2 + 6a a = −1 Vì d //∆ nên k = −9 � −3a + 6a = −9 � a − 2a − 3 = 0 � 2 2 a=3 cùng với a = −1 � b = −1 tiếp tuyến ∆1 : y = −9 ( x + 1) − 1 = −9 x − 10 (loại) cùng với a = 3 � b = −17 tiếp tuyến ∆ 2 : y = −9 ( x − 3) − 17 = −9 x + 10Đối chiếu với yêu cầu bài toán ta có tiếp tuyến cần tìm là: ∆ 2 : y = −9 x + 10Bổ sung: Viết PT tiếp tuyến...: Câu 2: đề 2, 4, 6, 8 hướng dẫn ôn thi tốt nghiệp 2015 2016 – Nhà xuất bản giáo dục Việt Nam. Hết CHỦ ĐỀ 2: PT MŨ; PT LÔGARIT (0,5 điểm /10)I.Chuẩn kiến thức, kĩ năng:1. Kiến thức: (SGK) 2. Kĩ năng: Tính được đạo hàm các hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số lôgarit; Giải được phương trình, bất phương trình mũ bằng các phương pháp: đưa về lũy thừa cùng cơ số, lôgarit hóa, dùng ẩn số phụ. Giải được phương trình, bất phương trình lôgarit bằng các phương pháp: đưa về lôgarit cùng cơ số, mũ hóa, dùng ẩn số phụ II. Câu hỏi/ Bài tập: Câu 1 (M2): Giải các phương trình sau: x −1 x2 − 2 x − 3 �1 �a) 2x −3x+ 2 = 4 ; b) 2 = � � ; c) � 1� ( ) x x2 2 x −3 = x +1 ; d) = ; 2 �7 � 7 0,125.4 4 2 �2� ��Hướng dẫn: Dùng phương pháp đưa về lũy thừa cùng cơ số.Câu 2 (M2): Giải các phương trình sau: a) log2 = 1; b) log2x + log2(x − 1) = 1; 2 1 1 c) log3x + log9x + log27x =11; d) (M3) log 2 ( x − 2) − = log 1 3 x − 5; 6 3 8Câu 3 (M3): Giải các phương trình sau:a) 25x − 6.5x + 5 = 0; b) 3x+2 − 32 − x − 24 = 0 ;c) 22x+2 − 9.2x + 2 = 0 ; d) 4.9 x + 12x − 3.16x = 0 ; ( 7+ ) ( 7− ) x xe) 48 + 48 = 14 ; Hướng dẫn: Dùng phương pháp đặt ẩn phụ.Câu 4(M3): Giải các phương trình sau: 1 2a) 2log 32 x + log 3 (9 x) − 5 = 0 ; b) + = 1; c) 2log9 x − log1 x + 2 = 0 ; 4 + log2 x 2 − log2 x 3 Hướng dẫn: Dùng phương pháp đặt ẩn phụ.Bổ sung: Câu 3b (Đề thi chính thức 2015); Câu 3 Đề thi minh họa Bộ 2015; Câu 3 đề 1, 2, 3; 4, 5 của Sở 2015; Câu 3b đề 2, 4, 5, 7, 9, 10 hướng dẫn ôn thi tốt nghiệp 2015 2016 – Nhà xuất bản giáo dục Việt Nam. . Hết CHỦ ĐỀ 3: TÍCH PHÂN (1 điểm/10) I. Chuẩn kiến thức, kĩ năng:1. Kiến thức: (SGK)2. Kĩ năng: Sử dụng được phương pháp đổi biến số và phương pháp tích phân từng phần để tính tích phân; Kết hợp với việc tách tích phân làm 2 rồi tính.II. Câu hỏi/ Bài tập:Câu 1 (M3): Tính các tích phân sau bằng phương pháp đổi biến số: 7 1 e 1 + ln x x . 1 + x dx ; b) x( x − 1) dx ; c) 3 2 5 a) dx ; 0 0 1 x π 1 d) e 4 x +2 dx e) 4 ; f) e− x ; cos3 xdx −x dx ; 1 x 0 0 1 + eCâu 2 (M3):Tính các tích phân sau bằng phương pháp tích phân từng phần: π 2 e 1 a) ln(1 + x) dx ; b) (2 x − 1) ln xdx ; 4 x d) x ln(2 x + 1)dx ; x 2 c) dx ; 0 1 1 0 cos 2 x Bổ sung: Câu 4 (Đề thi chính thức 2015); Câu 5 Đề thi minh họa Bộ 2015; Câu 5 đề 1, 2, 3; 4, 5 c ủa Sở 2015; Câu 4 đề 19, câu 3 đề 10 hướng dẫn ôn thi tốt nghiệp 2015 2016 – Nhà xuất bản giáo dục Việt Nam. Hết CHỦ ĐỀ 4: SỐ PHỨC ( 0,5 đ/10) I. Chuẩn kiến thức, kĩ năng 1. Kiến thức: Phần thực, ảo; Môđun của số phức, số phức liên hợp. 2. Kĩ năng: Thực hiện được các phép tính cộng, trừ, nhân và chia số phức. Tìm số phức trong đk cho trước. II. . Câu hỏi/ Bài tập Phần 1: Số phức và các phép toán số phức �1 �Câu 1 (M1): Tính ( 2 − i ) + � − 2i �( 3 + i ) . �3 � 3 �1 � 1 �1 � 20 Đáp án Ta có: ( 2 − i ) + � − 2i �( 3 + i ) = ( 2 − i ) + 1 + i − 6i + 2 = ( 2 + 1 + 2 ) + �−1 + − 6 �i = 5 − i. �3 � 3 � 3 � 3Câu 2 (M2): Giải phương trình ( 4 − 5i ) z = 2 + i (1). Đáp án 2 + i ( 2 + i ) ( 4 + 5i ) ( 8 − 5 ) + ( 4 + 10 ) i 3 14Ta có: ( 1) � z = = = = + i 4 − 5i 41 41 41 41 3 14Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất z = + i. 41 41Phần 2: Tìm số phức trong điều kiện cho trướcBổ sung: Câu 3a (Đề thi chính thức 2015); Câu 2b Đề thi minh họa Bộ 2015; Câu 2b đề 1, 2, 3; 4, 5 của Sở 2015; Câu 3a đề 19, câu 2a đề 10 hướng dẫn ôn thi tốt nghiệp 2015 2016 – Nhà xuất bản giáo dục Việt Nam. Hết CHỦ ĐỀ 5: HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN (1 điểm/10)I. Chuẩn kiến thức, kĩ năng:1. Kiến thức: (SGK)2. Kĩ năng: Xác định được tọa độ tâm và bán kính mặt cầu có phương trình cho trước; Viết được phương trình mặt cầu; Viết được phương trình mặt phẳng; Tìm được véctơ chỉ phương của đường thẳng; Viết được phương trình đường thẳng; Xét được các vị trí tương đối giữa hai đường thẳng, giữa đường thẳng và mặt phẳng, mặt phẳng với mặt cầu, đường thẳng với mặt cầu. II.Câu hỏi/ Bài tập: 1. PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU : 1.1.Viết phương trình mặt cầu bằng cách xác định tâm và bán kính :Câu 1(M1): Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu (S) trong mỗi trường hợp sau : a) (M1)(S) : ( x − 2) 2 + ( y + 3) 2 + z 2 = 16 . B) (M2)(S) : x 2 + y 2 + z 2 − 4 x + 8 y − 2 z − 4 = 0 . Bài giải tham khảo: a) Mặt cầu (S) có tâm I(2; 3; 0) và bán kính R = 4 . B) (S) : x 2 − 4 x + 22 + y 2 + 8 y + 42 + z 2 − 2 z + 12 − 22 − 42 − 12 − 4 = 0 � ( x − 2) 2 + ( y + 4) 2 + ( z − 1) 2 = 25 . Vậy mặt cầu (S) có tâm I(2; 4; 1) và bán kính R = 5.Câu 2(M2): Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I ( 1; −2;0 ) và đi qua điểm A(2; 4; −1) . Bài giải tham khảo: uurTa có : IA = (1;6; −1) � IA = 38 .Vì mặt cầu (S) có tâm I(1; 2; 0) và đi qua điểm A nên có bán kính R = IA = 38 .Vậy phương trình mặt cầu (S) là : ( x − 1) 2 + ( y + 2) 2 + z 2 = 38 .Câu 3(M2): Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I ( −2;3;5 ) và tiếp xúc với mặt phẳng ( P) : 2 x − 2 y + z − 4 = 0 . Bài giải tham khảo: 2.(−2) − 2.3 + 5 − 4 Ta có : d ( I , ( p. ) ) = = 3. 4 + 4 +1Vì mặt cầu (S) có tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng (P) nên có bán kính R = d ( I , ( P)) = 3 .Vậy phương trình của mặt cầu (S) là : ( x + 2) 2 + ( y − 3) 2 + ( z − 5) 2 = 9 . 4 x 1 y 2 z 2Câu 4(M3): Cho mặt phẳng (P): 2 x y 2z 2 0 va đ ̉ : ̀ ường thăng . 2 1 1 ́ ương trinh măt câu (S) co tâm năm trên đViêt ph ̀ ̣ ̀ ́ ̀ ường thăng ̉ ́ ́ ơi m , tiêp xuc v ́ ặt phẳng (P) va co ̀ ́ ban kinh băng 2. ́ ́ ̀ Bài giải tham khảo:Gọi I là tâm mặt cầu (S). Do đó : I (1 + 2t ; −2 + t ; 2 + t ) (vì I �∆ ). 2 + 4t + 2 − t − 4 − 2t − 2 t − 2 � d ( I , ( P)) = = . 4 +1+ 4 3Vì (S) có tâm I, tiếp xúc với (P) và có bán kính bằng 2 nên : t −2 t = −4 d ( I , ( P)) = 2 � = 2� t −2 = 6� . 3 t =8 * Với t = −4 � I (−7; −6; −2) (S) : ( x + 7) 2 + ( y + 6) 2 + ( z + 2) 2 = 4 . * Với t = 8 I (17;6;10) (S) : ( x − 17) 2 + ( y − 6) 2 + ( z − 10) 2 = 4 . BÀI TẬP TƯƠNG TỰ :1(M1): Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu (S) trong mỗi trường hợp sau : a) (S) : ( x − 1) 2 + y 2 + ( z + 4) 2 = 24 .Đáp án : Tâm I(1; 0; 4), bán kính R = 2 6 . 2 2 5 1� � 3� b) (S) : x 2 + y 2 + z 2 − x + 3 y + 2 z − = 0 . Đáp án : (S) : � �x − �+ �y + �+ ( z + 1) 2 = 6 . 2 � 2� � 2� �1 3 � Mặt cầu (S) có tâm I � ; − ; −1�, bán kính R = 6 . �2 2 �2(M2): Viết phương trình mặt cầu (S) có đường kính AB với A(2;0; −3), B(0; −4;1) . Đáp án : ( x − 1) 2 + ( y + 2) 2 + ( z + 1) 2 = 6 .3(M2): Viết phương trình măt câu (S) co tâm la A(0; 1; 1) va ̣ ̀ ́ ̀ ̀đi qua điểm M nằm trên đương ̀ x 1 y 2 zthăng̉ : tất cả hoành độ bởi 3. Đáp án : M(3; 3; 1), (S) : 2 1 1 x 2 + ( y − 1) 2 + ( z − 1) 2 = 25 . BÀI TẬP TƯƠNG TỰ :1(M1): Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm là gốc tọa độ O và đi qua điểm M(1;2;1).Đáp án : (S) có tâm O nên có phương trình dạng x 2 + y 2 + z 2 + d = 0 ; M �( S ) � d = −6 . Do đó phương trình mặt cầu (S) là : x 2 + y 2 + z 2 −6 = 0 .2(M2): Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua 3 điểm A(0;8;0), B(4;6; 2), C (0;12; 4) và có tâm nằm trên mặt phẳng (Oyz). Đáp án : x 2 + ( y − 7) 2 + ( z − 5) 2 = 26 .3(M3): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz hãy viết phương trình mặt cầu (S) đi qua 4 điểm A(1;0;0), B(0; −2;0), C (0;0; 4) và gốc tọa độ O. Hãy xác định tâm và bán kính của mặt cầu (S). 2 1� 21Đáp án : (S) : x + y + z − x + 2 y − 4 z = 0 tuyệt � �x − �+ ( y + 1) + ( z − 2 ) = 2 2 2 2 2 . � 2� 4 �1 � 21 (S) có tâm I � ; −1; 2 �, bán kính R = . �2 � 2 2.PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG. 2.1. Viết phương trình mặt phẳng bằng cách xác định tọa độ vectơ pháp tuyến.Câu 1(M1): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M (2; −1;0) và song song với mặt phẳng (α ) : x − 2 y + 2 z + 5 = 0 . Bài giải tham khảo: bởi vì mặt phẳng (P) song song với phương diện phẳng (α ) đề xuất (P) tất cả véctơ pháp tuyến rn = (1; −2; 2) . Vậy (P) có phương trình là : 1.( x − 2) − 2.( y + 1) + 2.z = 0 hay x − 2 y + 2 z − 4 = 0 . 5Câu 2(M2): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A(−1; 2;0), B(0; −3; 2), C (4;1;0) . Bài giải tham khảo: uuur uuur Ta có : AB = (1; −5; 2), AC = (5; −1;0) . Vị mặt phẳng (P) trải qua 3 điểm A, B, C đề nghị (P) có véctơ pháp đường r uuur uuur n = AB �AC = (2;10; 24) . Vậy (P) có phương trình : 2.( x + 1) + 10.( y − 2) + 24 z = 0 giỏi x + 5 y + 12 z − 9 = 0 .Câu 3(M2): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2; 4;1), B(−1;1;3) và mặt phẳng ( P) : x − 3 y + 2 z − 5 = 0 . Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua 2 điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng (P). Bài giải tham khảo: uuur Ta có : AB = (−3; −3; 2) r Mặt phẳng (P) có véctơ pháp tuyến a = (1; −3; 2) . Do (Q) trải qua A, B cùng vuông góc cùng với (P) nên (Q) bao gồm véctơ pháp tuyến đường r uuur r n = AB �a = (0;8;12) . Vậy (Q) có phương trình : 8.( y − 4) + 12.( z − 1) = 0 tốt 2 y + 3z − 11 = 0 .Câu 4(M3): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua x − 2 y +1 z − 3điểm M (1; −1; 2) và chứa đường thẳng d : = = . −2 1 −1 Bài giải tham khảo: r Đường thẳng d đi qua điểm A(2; −1;3) , có véctơ chỉ phương u = (−2;1; −1) . Uuur r uuur r Ta có : MA = (1;0;1) � n = MA �u = (−1; −1;1) . R Vì (P) đi qua M và chứa d nên (P) nhận véctơ n làm véctơ pháp tuyến. Vậy (P) có phương trình : −1.( x − 1) − 1.( y + 1) + 1.( z − 2) = 0 xuất xắc x + y − z + 2 = 0 . BÀI TẬP TƯƠNG TỰ :1(M1): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm x = 1 + 2t M (−1;3;1) và vuông góc với đường thẳng d : y = −t . Z = 3 + 4t Đáp án : (P) có phương trình : 2 x − y + 4 z + 1 = 0 .2(M2): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho tứ diện có các đỉnh là A(3; −2; −2), B(3; 2;0), C (0; 2;1), D( −1;1; 2) . Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa AB và song song với CD. Đáp án : (P) có phương trình : 3 x − y + 2 z − 7 = 0 .3(M2): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm x = −1 + t A(2;1;3), B(1; −2;1) và song song với đường thẳng d : y = 2t . Z = −3 − 2t Đáp án : ( P) :10 x − 4 y + z − 19 = 0 .4(M3): Trong không khí với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng tuy nhiên song x −1 y +1 z − 2 x − 4 y −1 z − 3 (d1 ) : = = , (d 2 ) : = = . Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d1 2 3 1 6 9 3và d2. ĐS : ( P) : x + y − 5 z + 10 = 0 . 2.2. Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến mặt cầu : 6 rCâu 1 (M1): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho véctơ n = (1; 2; 2) và mặt cầu (S) có tâm rI(1;0;3), bán kính R=5. Viết phương trình mặt phẳng (P) nhận n làm véctơ pháp tuyến và tiếp xúc với (S). Bài giải tham khảo: r Vì (P) nhận véctơ n làm véctơ pháp tuyến nên (P) có phương trình dạng : x + 2 y + 2z + d = 0 . 5+ d d = 10 Vì (P) tiếp xúc với (S) nên d ( I , ( P)) = 5 � =5� . 3 d = −20 Vậy (P) có phương trình : x + 2 y + 2 z + 10 = 0 cùng x + 2 y + 2 z − trăng tròn = 0 .Câu 2 (M2): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P) : x − 2 y + 2 z − 1 = 0 và mặt cầu (S) : ( x + 2) 2 + ( y − 3) 2 + z 2 = 9 . Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng (P) và tiếp xúc với mặt cầu (S). Bài giải tham khảo: Vì (Q)//(P) nên (Q) có phương trình dạng : x − 2 y + 2 z + d = 0 (d −1) . Mặt cầu (S) có tâm I (−2;3;0) , bán kính R=3. D −8 d = − 1 (l ) Vì (Q) tiếp xúc với (S) nên d ( I , (Q)) = 3 � =3� 3 d = 17 (n) Vậy (Q) : x − 2 y + 2 z + 17 = 0 . BÀI TẬP TƯƠNG TỰ : r1(M1): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho véctơ n = (−2;1;1) và mặt cầu (S) có tâm I(2; r3;3), bán kính R= 6 . Viết phương trình mặt phẳng (P) nhận n làm véctơ pháp tuyến và tiếp xúc với (S). Đáp án : (P): −2 x + y + z − 2 = 0 cùng −2 x + y + z + 10 = 0 x −1 y z + 22(M2): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d : = = và mặt cầu 2 2 −1(S) : ( x − 1) 2 + ( y − 2) 2 + ( z + 1) 2 = 4 . Viết phương trình mặt phẳng (Q) vuông góc với đường thẳng d và tiếp xúc với mặt cầu (S). Đáp án : (Q): 2 x + 2 y − z − 1 = 0 cùng 2 x + 2 y − z − 13 = 0 . 2.3. Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến khoảng cách:Câu 1 (M2): Trong không khí với hệ tọa độ Oxyz mang lại điểm M(1;2;3) cùng mặt phẳng ( P) : x − 2 y + 2 z − 10 = 0 . Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng (P) và cách điểm M một khoảng bằng 2. Bài giải tham khảo: Vì (Q)//(P) nên (Q) có phương trình dạng : x − 2 y + 2 z + d = 0 ( d −10 ) . −1 − 4 + 6 + d d =5 d ( M , (Q)) = 2 � = 2 � d +1 = 6 � (TMĐK). 3 d = −7 Vậy có 2 phương trình mặt phẳng (Q) : x − 2 y + 2 z + 5 = 0; x − 2 y + 2 z − 7 = 0 .Câu 2 (M2): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai mặt phẳng ( P) : x − 2 y + z − 5 = 0 , (Q) : x + 3 y − z + 1 = 0 và điểm A(1;1;2). Viết phương trình mặt phẳng (R) vuông góc với cả hai mặt phẳng (P), (Q) và cách điểm A một khoảng bằng 30 . Bài giải tham khảo: ur uur (P), (Q) có véctơ pháp tuyến lần lượt là n1 = (1; −2;1), n2 = (1;3; −1) . R ur uur Vì (R) vuông góc với (P) và (Q) nên (R) có véctơ pháp tuyến n = n1 �n2 = (−1; 2;5) . Do đó mặt phẳng (R) có phương trình dạng : − x + 2 y + 5 z + d = 0 . 11 + d d = 19 d ( A, ( R)) = 30 � = 30 � 11 + d = 30 � . 30 d = −41 7 Vậy (R) có phương trình : − x + 2 y + 5 z + 19 = 0; − x + 2 y + 5 z − 41 = 0 . BÀI TẬP TƯƠNG TỰ:1(M2): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz mang lại điểm M(2;0;1) và con đường thẳng x −1 y + 3 z∆: = = . Viết phương trình mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng ∆ và cách 1 −2 1điểm M một khoảng bằng 6 . Đáp án : (P) : x − 2 y + z + 5 = 0, x − 2 y + z − 7 = 0 .2(M2): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho 2 điểm A(0;2;1), B(3;1;1) và đường thẳng x = 2td : y = 3 − t . Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với hai đường thẳng AB và d, đồng z = −1 + 2tthời cách d một khoảng bằng 2 5 .Đáp án : (P) : 2 y + z + 5 = 0; 2 y + z − 15 = 0 . 3. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG. 3.1. Viết phương trình đường thẳng bằng cách xác định vectơ chỉ phương và điểm đường thẳng đi qua:Câu 1 (M1): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A(1; 0; 3), B(3; 1; 0). Viết phương trình đường thẳng AB. Bài giải tham khảo: uuur uuur Ta có : AB = (2; −1;3) .Đường thẳng AB đi qua A, nhận véctơ AB làm véctơ chỉ phương x = 1 + 2tnên có phương trình : y = −t . Z = −3 + 3tCâu 2 (M1): Trong không khí với hệ tọa độ Oxyz mang lại điểm M (−2;1;0) và mặt phẳng ( P) : x + 2 y − 2 z = 0 . Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và vuông góc với (P). Bài giải tham khảo: r r Mặt phẳng (P) có véctơ pháp tuyến n = (1; 2; −2) .Vì d vuông góc với (P) nên d nhận n x = −2 + tlàm véctơ chỉ phương. Do đó, đường thẳng d có phương trình : y = 1 + 2t . Z = −2t BÀI TẬP TƯƠNG TỰ:1(M1): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M(2; 6; 3) và song song với trục Oy. X = −2 Đáp án : d: y = 6 + t . Z = −32(M1): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết PT đường thẳng d đi qua điểm M(2; 3; 1) và x − 2 y +1 z + 2 x + 2 y − 3 z −1song song với đường thẳng ∆ : = = . Đáp án : d: = = . 2 4 3 2 4 3 3.2. Các bài toán liên quan đến sự tương giao: x −1 y +1 zCâu 1 (M2): Cho đường thẳng d : = = và mặt phẳng ( P) : x + 2 y + z − 1 = 0 . Chứng 2 2 −1minh d và (P) cắt nhau, tìm tọa độ giao điểm của d và (P). Bài giải tham khảo: 8 x = 1 + 2t Phương trình tham số của d là y = −1 + t (1).Thay x, y, z từ (1) vào phương trình z = −t 2x + 2 y + z − 1 = 0 ta được : 1 + 2t + 2(−1 + t ) − t − 1 = 0 � t = .Vậy d giảm (P) trên điểm 3 �7 1 2 �M � ; − ; − �. �3 3 3 � BÀI TẬP TƯƠNG TỰ: x + 3 y +1 z +11(M1): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng ∆ : = = và mặt 2 3 2phẳng ( P) : 2 x − 2 y + z + 3 = 0 . Chứng minh ∆ song song với (P) và tính khoảng cách giữa ∆ và 2(P). Đáp án : d (∆, ( P)) = . 32(M2): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M (1; −1; 2) với mặt phẳng (P) : 2 x − y + 2 z − 12 = 0 . Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng � 29 10 đôi mươi �(P). Đáp án : H �− ; ; − � � 9 9 9 � x y −6 z3(M3): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d : = = và mặt phẳng 1 −3 3( P) : 3 x + 2 y + z − 12 = 0 . A) Chứng minh d ( p. ) . B) Viết phương trình mặt phẳng chứa d và vuông góc với mặt phẳng (P). Đáp án : b) −9 x + 8 y + 11z − 48 = 0 . 4(M4): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng ( P) : 2 x − 2 y − z + 9 = 0 và mặt cầu ( S ) : ( x − 3) 2 + ( y + 2) 2 + ( z − 1) 2 = 100 . A) Chứng minh (P) và (S) cắt nhau. B) Xác định tâm và bán kính đường tròn (C) là giao tuyến của (P) và (S).
Đáp án : b) (C) có tâm H(1;2;3) và bán kính r = 8.Bổ sung: Câu 5 (Đề thi chính thức 2015); Câu 8 Đề thi minh họa Bộ 2015; Câu 8 đề 1, 2, 3; 4, 5 của Sở 2015; Câu 5 đề 19, câu 4 đề 10 hướng dẫn ôn thi tốt nghiệp 2015 2016 – Nhà xuất bản giáo dục Việt Nam. H ẾT 9
