Hãy cùng NDTLS giải hết 101 bài tập tứ giác nội tiếp. Kiến thức hình học của bạn sẽ được củng cố rất nhiều để tự tin bước vào kì thi học sinh giỏi cấp tỉnh cũng như chuyên toán. Hãy tham khảo với glaskragujevca.net nhé.
Bạn đang xem: Chuyên đề tứ giác nội tiếp
Video bài tập về tứ giác nội tiếp
Bài tập chứng minh tứ giác nội tiếp PDF
Các bài toán về chứng minh tứ giác nội tiếp
Bài số 1:
Cho ABC vuông ở A. Trên AC lấy điểm M và vẽ đường tròn đường kính MC. Kẻ BM cắt đường tròn tại D. Đường thẳng DA cắt Đường tròn tại S. Chứng minh rằng:
a) Tứ giác ABCD nội tiếp.
b) Hai góc ABD và ACD bằng nhau
c) CA là phân giác của góc SCB
Hướng dẫn giải:
a) Dễ thấy hai góc BAC và BDC cùng bằng 90 độ => ABCD nội tiếp.
b) Trong đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD , hai góc ABD và ACD là hai góc nội tiếp cùng chắn cung AD nên bằng nhau
c) Trong đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD , hai góc ACB và ADB là hai góc nội tiếp cùng chắn cung AB nên bằng nhau.
Lại có góc ADB = góc DSM + DMS = MCS
Phát triển bài toán: Bài này có thể hỏi thêm như chứng minh SH // AB
Bài số 2:
Cho tứ giác ABCD nội tiếp nửa đường tròn đường kính AD. Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại E. Vẽ EF vuông góc với AD. Chứng minh:
a) Tứ giác ABEF, tứ giác DCEF nội tiếp .
b) CA là phân giác của góc BCF
c) Gọi M là trung điểm của DE. Chứng minh tứ giác BCMF nội tiếp
Hướng dẫn giải:
a) Dễ rồi nhé
b) Ta có hai góc C3 và D3 bằng nhau, hai góc ECF = D3 => đpcm
c) Ta lần lượt chứng minh góc C1 = D1 = A1 = F1 ; D3 = F3 ; F2 = ECM, C3 = F3
=> BFM + BCM = F2 + F3+ BFM = 180 độ
Phát triển bài toán: Ta thấy E là giao điểm 3 phân giác của tam giác BCF. Vì vậy có thể hỏi thêm chứng minh E cách đều 3 cạnh của tam giác BCF hay E là tâm đường tròn nội tiếp tam giác BCF
Bài số 3:
Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính AD . Hai đường chéo AC , BD cắt nhau tại E . Hình chiếu vuông góc của E trên AD là F . Đường thẳng CF cắt đường tròn tại điểm thứ hai là M . Giao điểm của BD và CF là N . Chứng minh :
a) CEFD là tứ giác nội tiếp .
b) Tia FA là tia phân giác của góc BFM .
c) BE . DN = EN . BD
Hướng dẫn giải:
a) Dễ
b) Chứng minh tương tự bài 2 ta có góc F2 = F3
Ta chứng minh tiếp F4 + F3 = F2 + F1. Vậy F4 = F1 = F5 => FA là tia phân giác của góc BFM .
c) FA là tia phân giác của góc BFM nên FD là phân giác của góc CFI
FE là phân giác của tam giác BFN nên BF/FN = BE/EN
FD là phân giác của góc ngoài của tam giác BFN nên BF/FN = BD/ND
Vậy BE/EN = BD/ND => BE . DN = EN . BD
Bài số 4:
Cho tam giác ABC vuông ở A và một điểm D nằm giữa A và B . Đường tròn đường kính BD cắt BC tại E . Các đường thẳng CD , AE lần lượt cắt đường tròn tại các điểm thứ hai F , G . Chứng minh :
a) Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EBD .
b) Tứ giác ADEC và AFBC nội tiếp được trong một đường tròn .
c) AC song song với FG .
d) Các đường thẳng AC , DE và BF đồng quy .
Bài số 5
a) dễ
b) CM là phân giác của ∠BCS∠BCS Tứ giác CSDM nội tiếp ⇒ góc SCM= góc ADM Tứ giác CDAB nội tiếp ⇒góc BCM= góc ADM ⇒góc BCM=góc SCM ⇒CM là tia phân giác góc BCS
c) TA/TD=TC/TB Xét tam giác BCT AC và TN là 2 đường cao cắt nhau tại M ⇒ BM vuông góc với CT mà CD vuông góc với MB ⇒C, D, T thẳng hàng dễ dàng cm được ΔTCA∼ΔTBD ⇒ đpcm
Bài số 7
Câu 1) Dễ
Câu 2) E nằm trên đường trung trực của AC nên chứng minh được: góc AEH = CEH = BEK
Chứng minh được hai tam giác đồng dạng: AEH và BEK => góc BKE vuông
=> AHEK nội tiếp
Câu 3) Kẻ đường kính AI => tam giác ABI vuông tại B, theo pytago ta có
Bài số 9 (Theo yêu cầu của bạn Dark)
Cho tam giác ABC không cân, đường cao AH, nội tiếp trong đường tròn tâm O. Gọi E, F thứ tự là hình chiếu của B, C lên đường kính AD của đường tròn (O) và M, N thứ tự là trung điểm của BC, AB. Chứng minh:
a) Bốn điểm A, B, H, E cùng nằm trên đường tròn tâm N và HE// CD.
b) M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác HEF
a) Bốn điểm A, B, H, E cùng nằm trên đường tròn tâm N (dễ nhé)
HE // CD (Vì Góc FCB = góc EBC cùng bằng góc HAO)
b) ABHE nội tiếp => góc EHC = góc BAE mà góc BAE = góc BCD nên góc EHC = góc BCD
=> HE // CD
Mà AC vuông góc với CD nên HE vuôn góc với AC, lại có MN //AC vậy MN vuông góc với HE
Ta chứng minh được EN = HN (cùng bằng nửa AB). Tam giác HNE cân tại N, NM là đường cao nên cũng là đường trung trực => ME = MH (1)
Ta cũng chứng minh được HF // BD (vì AHFC nội tiếp => góc CHF =góc FAC = góc CBD)
Gọi I là trung điểm của AC. Chứng minh tương tự ta có IM //AB nên vuôn góc với BD và HF,
Tam giác HIF cân tại I. IM là đường trung trực của HF => MH = MF (2)
(1),(2) => đpcm
Bài số 11 (Theo yêu cầu của bạn Thảo Chi)
a) SAOB, SAEO nội tiếp => 5 điểm S, A, E, O, B cùng thuộc một đường tròn
b) Nếu SA = AO thì tam giác SAO, SBO vuông cân tại A và B => SAOB là hình vuông.
c) Chứng minh hai tam giác SAC và SDA đồng dạng => AC/DA = SA/SD (1)
Chứng minh hai tam giác SBC và SDB đồng dạng => BD/BC = SD/SB (2)
Nhân vế với vế (1) và (2) ta có (AC.BD)(DA.BC) = 1 => AC.BD = BC.DA (*)
Chứng minh hai tam giác đồng dạng ACE và ABD (góc ACE = Góc ABD, góc AEC = góc ADB cùng bằng góc ABS) => AC/AB = CE/BD => AC.BD = AB.CE (3)
Chứng minh hai tam giác ACB và AED đồng dạng (g-g) => CB/ED = AB/AD
=>CB.AD = AB.ED (4)
Từ (3),(4) => AC.BD + CB.AD = AB(CE + ED) = AB.CD (**)
Từ (*) và (**) => AC.BD = BC.DA = AB.CD/2
Bài tập 12 (Bạn trangks2004 hỏi)
Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB. Kẻ tiếp tuyến Bx và lấy hai điểm C và D thuộc nửa đường tròn. Các tia AC và AD cắt Bx lần lượt ở E, F (F ở giữa B và E).
a) Chứng minh AC. AE không đổi.
b) Chứng minh góc ABD = góc DFB
c) Chứng minh rằng CEFD là tứ giác nội tiếp.
a) Tam giác ABE vuông tại B, đường cao BC => AC.AE = AB2 không đổi.
b) góc ABD = góc DFB (1) vì cùng phụ với góc DBF
c) ACDB nội tiếp => góc ABD = góc DCE (2)
từ (1) và (2) => góc DFB = góc DCE => CEFD là tứ giác nội tiếp.
Bài tập 13 (Theo đề nghị của bạn Quý)
Trên đường thẳng d lấy ba điểm A,B,C theo thứ tự đó. Trên nửa mặt phẳng bờ d kẻ hai tia Ax, By cùng vuông góc với d. Trên tia Ax lấy I. Tia vuông góc với CI tại C cắt đường thẳng By tại K. Đường tròn đường kính IC cắt IK tại P.
a) Chứng minh tứ giác CBPK nội tiếp được đường tròn .
b) Chứng minh AI.BK = AC.CB
a) Hai góc KPC và KBC vuông => CBPK nội tiếp được đường tròn .
b) Chứng minh hai tam giác IAC và CBK đồng dạng (g-g) => AC/BK = IA/BC => AC.BC = IA.BK
Bài số 14: (Theo yêu cầu của bạn Linh Le)
Cho tam giác ABC vuông tại A. Kẻ đường cao AH, vẽ đường tròn đường kính AH, đường tròn này cắt AB tại E, cắt AC tại F.
a) Chứng minh AEHF là hình chữ nhật.
b) Chứng minh: BEFC là tứ giác nội tiếp .
c) Chứng minh: AB.AE = AC.AF
d) Gọi M là là giao điểm của CE và BF. Hãy so sánh diện tích của tứ giác AEMF và diện tích của tam giác BMC.
a) b) dễ
c) Chứng minh AB.AE = AH2 = AC.AF
d) Ta sẽ so sánh diện tích 2 tam giác ABF và BEC
Gọi diện tích tam giác ABC là S. Ta có:
S(ABF)/S = AF/AC
S(BEC)/S = BE/AB
Hai tam giác BEH và BAC đồng dạng => BE/AB = EH/AC => BE.AC = AB.EH
=> BE.AC = AB.AF => AF/AC = BE/AB
Vậy S(ABF) = S(BEC) => S(AEMF) = S(BMC)
Bài số 18: (Theo yêu cầu của bạn Kuju)
Cho đường tròn (O; R), từ một điểm A trên (O) kẻ tiếp tuyến d với (O). Trên đường thẳng d lấy điểm M bất kì ( M khác A) kẻ cát tuyến MNP và gọi K là trung điểm của NP, kẻ tiếp tuyến MB (B là tiếp điểm). Kẻ AC vg MB, BD vg MA, gọi H là giao điểm của AC và BD, I là giao điểm của OM và AB.
a) Chứng minh tứ giác AMBO nội tiếp.
b) Chứng minh năm điểm O, K, A, M, B cùng nằm trên một đường tròn .
c) Chứng minh OM = R2; OI. IM = IA2.
d) Chứng minh OAHB là hình thoi.
e) Chứng minh ba điểm O, H, M thẳng hàng.
f) Tìm quỹ tích của điểm H khi M di chuyển trên đường thẳng d.
Hướng dẫn:
a) Hai góc OAM và OBM vuông => AMBO nội tiếp.
b) AMBO và OKMB nội tiếp=> năm điểm O, K, A, M, B cùng nằm trên một đường tròn
c) Chứng minh M, H, I, O thẳng hàng và MI vuông góc với AB (vì OM và MH cùng vuông với AB) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông OAM, đường cao AI là ra.
d) AH//OB (cùng vuông với BM), AO//BH (cùng vuông với AM), OA = OB => OAHB là hình thoi.
e) Đã làm ở câu c
f) Lấy O’ đối xứng với O qua A. Ta chứng minh được góc OHO’ = 90 độ. OO’ cố định
=> quỹ tích của điểm H khi M di chuyển trên đường thẳng d là đường tròn (A; AO)
Bài tập 19 (Theo yêu cầu của bạn Hà Trang)
Cho 3 điểm A; B; C cố định thẳng hàng theo thứ tự. Vẽ đường tròn (O) bất kỳ đi qua B và C (BC không là đường kính của (O)). Kẻ các tiếp tuyến AE và AF với (O) (E; F là các tiếp điểm). Gọi I là trung điểm của BC; K là trung điểm của EF, giao điểm của FI với (O) là D. Chứng minh:
a) AE2 = AB.AC
b) Tứ giác AEOF nội tiếp
c) Năm điểm A; E; O; I; F cùng nằm trên một đường tròn.
d) ED song song với AC.
e) Khi (O) thay đổi tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OIK luôn thuộc một đường thẳng cố định.
Câu a,b,c cơ bản
d) Ta chứng minh được góc EDF = góc AEF = góc AIF => ED //AC
e) Gọi J là giao điểm của EF và AC, ta có OKJI nội tiếp nên đường tròn ngoại tiếp tam giác OIK chính là đường tròn ngoại tiếp tứ giác OKJI. Khi O thay đổi thì OK,OI, KJ chỉ có IJ không đổi vì EF, AC không đổi => Tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác OKJI luôn nằm trên đường trung trực cố định của IJ.
Chuyên đề tứ giác nội tiếp
Để chứng minh tứ giác nội tiếp được trong một đường tròn ta phải áp dụng linh hoạt các dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp, dưới đây là các phương pháp chứng minh cơ bản.
Phương pháp 1:Sử dụng tính chất: Nếu tổng số đo hai góc đối diện của một tứ giác nội tiếp bằng 1800 thì tứ giác đó nội tiếp được trong một đường tròn.
Phương pháp 2:Nếu tứ giác có một góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện thì tứ giác đó nội tiếp được trong một đường tròn (Phương pháp này có thể coi như là hệ quả của phương pháp 1)
Phương pháp 3:Nếu tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn đoạn thẳng nối hai đỉnh còn lại dưới một góc thì tứ giác đó nội tiếp được trong một đường tròn.
Phương pháp 4:Chứng minh 4 đỉnh của tứ giác cách đều 1 điểm cố định.
Xem thêm: Giải Bài Tập Tiếng Anh Lưu Hoằng Trí Lớp 7 Sách Cũ, Bài Tập Tiếng Anh 7
Nhận xét:
Đối với bài toán trên ta có thể hoàn toàn chứng minh theo các phương pháp khác. Nhìn chung, nếu ta chứng minh được một tứ giác nội tiếp bằng phương pháp này thì cũng có thể chứng minh được bằng phương pháp kia, điều quan trọng là cần hướng dẫn học sinh tìm ra phương pháp nào ngắn gọn, dễ hiểu nhất.
Qua các Bài tập mẫu về chứng minh tứ giác nội tiếp ở trên ta thấy trong rất nhiều trường hợp tứ giác cần chứng minh nội tiếp thuộc một trong hai dạng sau đây: