Chuyên đề phương trình nghiệm nguyên là một trong những siêng đề bồi dưỡng học sinh giỏi ở cấp 2 giành riêng cho học sinh khá giỏi.

Bạn đang xem: Chuyên đề phương trình nghiệm nguyên

Ở bài viết này, Gia sư Tiến Bộ phân tách sẻ với những em một số phương pháp thường dùng để giải kiếm tìm nghiệm nguyên của phương trình.

Các phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên:

* Chú ý: Tùy từng bài xích mà những em áp dụng một hay kết hợp nhiều phương pháp để giải bài toán PT nghiệm nguyên.

1. Sử dụng tính chẵn lẻ để giải PT nghiệm nguyên

Ví dụ 1: Tìm x, y nguyên tố thoả mãn: y2 – 2x2 = 1

Hướng dẫn:

Ta có y2 – 2x2 = 1 ⇒ y2 = 2x2 +1 ⇒ y là số lẻ

Đặt y = 2k + 1 (với k nguyên).Ta bao gồm (2k + 1)2 = 2x2 + 1

⇔ x2 = 2 k2 + 2k ⇒ x chẵn , cơ mà x nguyên tố ⇒ x = 2, y = 3

Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:(2x + 5y + 1)(2|x| + y + x2 + x) = 105

Hướng dẫn:

Ta có: (2x + 5y + 1)(2|x| + y + x2 + x) = 105

Ta thấy 105 lẻ ⇒ 2x + 5y + 1 lẻ ⇒ 5y chẵn ⇒ y chẵn

2|x|+ y + x2 + x = 2|x|+ y + x(x+ 1) lẻ

có x(x+ 1) chẵn, y chẵn ⇒ 2|x|lẻ ⇒ 2|x|= 1 ⇒ x = 0

Thay x = 0 vào phương trình ta được

(5y + 1) ( y + 1) = 105 ⇔ 5y2 + 6y – 104 = 0

⇒ y = 4 hoặc y =

*
( loại)

Thử lại ta có x = 0; y = 4 là nghiệm của phương trình

2. Dùng biện pháp phân tích để giải PT nghiệm nguyên

Thực chất là biến đổi phương trình về dạng:

g1 (x1, x2,…., xn­) h (x1, x2,…., xn­) = a

Ví dụ 3: Tìm nghiệm nguyên của phương trình:x4 + 4x3+ 6x2+ 4x = y2

Hướng dẫn: Ta có: x4 + 4x3+ 6x2+ 4x = y2 ⇔ x4 +4x3+6x2+4x +1- y2=1

⇔ (x+1)4 – y2 = 1 ⇔ <(x+1)2 –y> <(x+1)2+y>= 1

*
hoặc
*

*

⇒ y = 0 ⇒ (x+1)2 = 1 ⇔x+1 = ±1 ⇒ x = 0 hoặc x = -2

Vậy ( x, y ) = ( 0, 0 ); ( – 2, 0 )

3. Cần sử dụng phương pháp cực hạn để giải PT nghiệm nguyên

Sử dụng đối với 1 số bài toán vai trò của các ẩn bình đẳng như nhau:

Ví dụ 4: kiếm tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:

5 ( x + y + z + t ) + 10 = 2 xyzt

Hướng dẫn:

Ta giả sử x ≥ y ≥ z ≥ t ≥ 1

Ta có: 5 ( x + y + z + t ) + 10 = 2 xyzt

*
hoặc
*

* Với

*
ta có
*
xyz

*

Nếu

*
tất cả
*

*
hoặc
*

Ta được nghiệm ( 35; 3; 1; 1); (9; 5; 1; 1) và những hoán vị của chúng

Với

*
phương trình không có nghiệm nguyên

* Với

*
thì
*

*

Do x≥ y≥z ≥ 2 cần 8x – 5 ≥ 8y – 5 ≥ 11

⇒ (8x – 5) (8y – 5) = 265 vô nghiệm

vậy nghiệm của phương trình là bộ (x, y, z)

= ( 35; 3; 1; 1); (9; 5; 1; 1) và những hoán vị

4. Phương pháp loại trừ để giải PT nghiệm nguyên

Khẳng định nghiệm rồi loại trừ các giá trị còn lại của ẩn.

Ví dụ 5: tìm nghiệm nguyên dương của phương trình

1! + 2! + … + x! = y2

Hướng dẫn:

Với x ≥ 5 thì x! tất cả tận cùng là 0 với 1! + 2! + 3! + 4! tất cả tận cùng là 3

Þ 1! + 2! + … + x! có tận thuộc là 3, ko là số thiết yếu phương (loại)

Vậy x Ví dụ 6: tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình: y2 + y = x4 + x3 + x2 + x

Hướng dẫn:

Ta tất cả : y2 + y = x4 + x3 + x2 + x ⇔ 4 y2+4y+1=4 x4 + 4 x3 + 4x2 + 4x+1

⇒ (2x2 + x ) 2 – (2y + 1)2 = (3x + 1) (x +1)

hay (2x2 + x + 1) 2 – (2y+ 1)2 = x(x-2)

Ta thấy:

Nếu x> 0 hoặc x 0

Nếu x > 2 hoặc x 0

⇒ Nếu x>2 hoặc x2 + x) 2 2 + x + 1) 2 (loại)

⇒ -1 ≤ x ≤ 2 ⇒ x = 0, 1, -1, 2

Xét x = 2 ⇒ y2 + y =30 ⇒ y = 5 hoặc y= -6

Xét x= 1 ⇒ y2 + y = 4 (loại)

Xét x = 0 ⇒ y2 + y = 0 ⇒ y (y + 1) = 0 ⇒ y = 0 hoặc y = -1

Xét x = -1 ⇒ y2 + y = 0 ⇒ y = 0 hoặc y= -1

Vậy nghệm nguyên của phương trình là:

(x,y) = (2, 5); (2, -6); (0, 0); (0, -1); (-1;0); (-1, -1)

5. Sử dụng chia hết và tất cả dư để giải PT nghiệm nguyên

Ví dụ 7: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x2 – 2y2 = 5

Hướng dẫn:

*

và x2 phân chia cho 5 có những số dư 1 hoặc 4

y2 chia cho 5 có những số dư 1 hoặc 4 ⇒ 2y2 phân chia cho 5 dư 2 hoặc 3

⇒ x2 – 2 y2 phân chia cho 5 dư ±1 hoặc ±2 (loại)

Vậy phương trình x2 – 2y2 = 5 vô nghiệm.

Ví dụ 8: search x, y là số tự nhiên thoả mãn

x2 + 3y= 3026

Hướng dẫn:

Xét y = 0 ⇒ x2 + 30 = 3026 ⇒ x2 = 3025

mà xº ∈ N ⇒ x = 55

Xét y > 0 ⇒ 3y phân chia hết cho 3, x2 phân tách cho 3 dư 0 hoặc 1

⇒ x2 + 3ychia mang lại 3 dư 0 hoặc 1

mà 3026 phân chia cho 3 dư 2 (loại)

Vậy nghiệm (x,y) = (55,0)

6. Sử dụng tính chất của số nguyên tố để giải PT nghiệm nguyên

Ví dụ 9: Tìm x, y, z nguyên tố thoả mãn: xy + 1 = z

Hướng dẫn:

Ta gồm x, y nguyên tố cùng xy + 1 = z ⇒ z > 3

Mà z nguyên tố ⇒ z lẻ ⇒ xy chẵn ⇒ x chẵn ⇒ x = 2

Xét y = 2 ⇒ 22 + 1 = 5 là nguyên tố ⇒ z = 5 (thoả mãn)

Xét y> 2 ⇒ y = 2k + 1 (k ∈ N) ⇒ 22k+1 + 1 = z ⇒ 2. 4k + 1 = z

Có 4 chia cho 3 dư 1 ⇒ (2.4k+1) phân chia hết mang lại 3 ⇒ z chia hết mang đến 3 không thỏa mãn (loại)

Vậy x = 2, y = 2, z = 5 thoả mãn

7. Đưa về dạng tổng để giải PT nghiệm nguyên

Ví dụ 10: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x2 + y2 – x – y = 8

Hướng dẫn:

Ta bao gồm x2 + y2 –x – y = 8 ⇒ 4 x2 + 4 y2 – 4 x –4y = 32

⇔ (4x2 – 4x +1) + (4y2 – 4y + 1) = 34 ⇔ (2x – 1)2 + (2y – 1)2 = 34

Bằng phương pháp thử chọn ta thấy 34 chỉ gồm duy nhất 1 dạng phân tích thành tổng của 2 số chính phương 32 cùng 52

Do đó ta tất cả

*
hoặc
*

Giải ra ta được (x,y) = (2,3); (2,-2); (-1, -2); (-1, 3) và các hoán vị của nó.

Ví dụ 11: search nghiệm nguyên của phương trình

x2 – 4xy + 5y2 = 169

Hướng dẫn: Ta gồm x2 – 4xy + 5y2 = 169 ⇔ (x – 2y)2 + y2 = 169

Ta thấy 169 = 02 + 132 = 52 + 122

*

Giải ra ta được (x, y) = (29, 12);(19, 12); (-19, -12); (22, 5); (-2, 5) ;(2, -5); (-22, -5); (26, 13); (-26, -13); (-13. 0); (13, 0)

8. Sử dụng phương pháp lùi vô hạn để giải PT nghiệm nguyên

Ví dụ 12: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x2 – 5y2 = 0

Hướng dẫn:

Giả sử x0, y0 là nghiệm của phương trình x2 – 5y2 = 0

ta bao gồm

*
đặt
*

Ta tất cả

*

*
dăt
*

Vây nếu (xo;yo) là nghiệm của phương trình đã đến thì

*
cũng là nghiệm của phương trình đã cho. Cứ tiếp tục lập luận như vậy
*
với k nguyên dương bất kỳ cũng là nghiệm của phương trình. Điều này xảy ra khi
*

Vậy phương trình bao gồm nghiệm duy nhất là x = y = 0.

Xem thêm: Những Câu Đố Vui...Cười Đau Bụng, Cười Đau Bụng Với Những Câu Đố Vui

Ví dụ 13: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x2 + y2 + z2 = x2 y2

Hướng dẫn:

Nếu x, y đều là số lẻ ⇒ x2 , y2 chia cho 4 đều dư 1

*

Đặt x = 2x1, y = 2y1, z = 2z1

Ta có x+ y+z= xy

lập luận tương tự ta có x+ y+ z= 16 xy

Quá trình này cứ tiếp tục ta thấy (x1, y1, z1 ) là nghiệm của phương trình thì

*
là nghiệm của phương trình với k nguyên dương

⇒x1 = y1 = z1 = 0

Vậy phương trình tất cả nghiệm là (0, 0, 0)

9. Sử dụng tính chất nghiệm của phương trình bậc 2 để giải PT nghiệm nguyên

Biến đổi phương trình về dạng phương trình bậc 2 của ẩn coi các ẩn không giống là tham số, sử dụng những tính chất về nghiệm của phương trình bậc 2 để xác định giá trị của tham số.

Ví dụ 14: Giải phương trình nghiệm nguyên: 3x2 + y2 + 4xy + 4x + 2y + 5 = 0

Hướng dẫn:

Ta tất cả PT: 3x2 + y2 + 4xy + 4x + 2y + 5 = 0

⇒ y2 + (4x + 2)y + 3 x2 + 4x + 5 = ) (*) coi x là tham số giải phương trình bậc 2 pt (*) ẩn y ta có

*

Do y nguyên, x nguyên

*
nguyên

*

⇒ (x- n) (x+ n) = 4 ⇒ x – n = x + n = ± 2 ⇒ x = ± 2

Vậy phương trình gồm nghiệm nguyên

(x, y) = (2; -5); (-2, 3)

Ví dụ 15: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x2 – (y+5)x + 5y + 2 = 0

Hướng dẫn:

Ta tất cả x2 – (y+5)x + 5y + 2 = 0 coi y là tham số ta tất cả phương trình bậc 2 ẩn x. Giả sử phương trình bậc 2 gồm 2 nghiệm x1, x2

Ta có:

*

*

⇒ 5 x1 + 5x2 – x1x2 = 23

⇔ (x1 -5) (x2 -5) = 2 nhưng mà 2 = 1.2 = (-1)(-2)

⇒ x1 + x2 = 13 hoặc x1 + x2 = 7 ⇒ y = 8 hoặc y = 2

thay vào phương trình ta tra cứu được các cặp số

(x,y ) = (7, 8); (6, 8); (4, 2); (3, 2); là nghiệm của phương trình

10. Cần sử dụng bất đẳng thức để giải PT nghiệm nguyên

Ví dụ 16: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x2 –xy + y2 = 3

Hướng dẫn:

Ta tất cả x2 –xy + y2 = 3 ⇔ (x- )2 = 3 –

Ta thấy (x-)2= 3 –≥ 0

⇒ -2≤ y≤ 2

⇒ y= ± 2; ±1; 0 cầm cố vào phương trình tìm kiếm x

Ta được những nghiệm nguyên của phương trình là :

(x, y) = (-1,-2), (1, 2); (-2, -1); (2,1) ;(-1,1) ;(1, -1)

Bài tập phương trình nghiệm nguyên bao gồm lời giải:

*