Chuyên đề bất đẳng thức côsi

Bạn đang xem: Chuyên đề bất đẳng thức côsi


Bạn vẫn xem trước 20 trang chủng loại tài liệu Chuyên đề Bất đẳng thức Côsi, để tải tài liệu cội về máy bạn click vào nút tải về ở trên


Xem thêm: Top 12 Đề Kiểm Tra Cuối Học Kì 1 Lớp 2 5 Đề Thi Cuối Kì 1 Lớp 2 Năm 2021

Mục lục TrangI.Hệ thống những kiến thức cơ phiên bản về bất đẳng thức Côsi 3II. Những kĩ thuật chính1. Phương pháp chứng minh thẳng 42. Kĩ thuật cần sử dụng hoán vị vòng 63. Phương thức cân bởi tổng 74. Cách thức cân bởi tích 95. Cách thức thêm hạng tử và chọn điểm rơi Côsi 106. Kĩ thuật nhân nghịch hòn đảo 15 7.Kĩ thuật Côsi ngược dấu 16 III các bài tập tinh lọc 18I.Hệ thống những kiến thức cơ phiên bản về bất đẳng thức CôsiBất đẳng thức Côsi (BĐT Côsi) được nhà toán học fan Pháp Augustin Louis Cauchy gửi ra, nó bao gồm dạng sau:Dạng tổng quát: mang đến a1,a2,an là các số ko âm thì: Đẳng thức xảy ra khi a1 = a2 = = anChúng ta thường áp dụng cho bộ hai số hoặc bộ tía số, rõ ràng là:Với 2 số:Cho a ≥ 0, b ≥ 0 Đẳng thức xảy ra khi a = bHệ quả1:Hai số dương có tổng không đổi,tích của bọn chúng lớn nhất khi 2 số bằngnhau.Hệ quả2:Hai số dương gồm tích không đổi,tổng của chúng nhỏ nhất khi 2 số bằngnhauVới 3 số:Cho a ≥ 0, b ≥ 0 ;c ≥ 0 ta luôn luôn cóĐẳng thức xẩy ra khi a = b = c Khi sử dụng BĐT Côsi ta phải chú ý điều kiện để vận dụng bất đẳng thức là các số a, b, c là mọi số ko âm. Một điều rất quan trọng đặc biệt là phải nhấn mạnh cho học sinh là vết bằng xảy ra khi nào, điều đó rất quan trọng đặc biệt để sử dụng kĩ thuật thăng bằng tổng và cân bằng tích sau này.Để cho các em học viên dễ nhớ các thầy cô nhấn mạnh và trình làng thế nào là trung bình cộng và trung bình nhân, bởi vì vậy ta thấy các bất đẳng thức Côsi đều phải có dạng chung là mức độ vừa phải cộng lớn hơn trung bình nhân.II.Các kĩ thuật bao gồm 1. Thực hiện trực tiếp bất đẳng thức Côsi. Mục đích chính của lớp bài bác tập này là giúp học sinh làm quen và tất cả hứng thú đầu tiên khi sử dụng bất đẳng thức côsi.Bài tập 1. Chứng minh rằng (1)Phân tích: Ta đã minh chứng được bài tập này bằng phương pháp biến đổi tương đương, sau đây là một phương pháp làm khác:Giải: vày a>0 cùng b>0 buộc phải vì vậy áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có: vết bằng xảy ra khi các bài tập mà các thầy gia sư cho học sinh vận dụng tương tự hoàn toàn có thể là:Tiếp tục cách tân và phát triển áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:Bài tập 2: chứng minh rằng: (2)Phân tích: có không ít cách giải bài tập trên:Cách 1: là nhân ra ngơi nghỉ vế trái tiếp đến áp dụng bất đẳng thức Côsi mang đến a/b và b/a. Biện pháp 2: Qui đồng rồi đem đến (a+b)2 ≥ 4ab, khai căn nhằm trở về bất đẳng thức Côsi v.v...Tuy nhiên các phép chuyển đổi đó là dài ta rất có thể làm như sau:Giải: do a > 0, b > 0 nên vận dụng bất đẳng thức Côsi ta có:Dấu bằng xảy ra khi a = b.Các bài xích tập tương tự hoàn toàn có thể dùng để củng cố1) (3) 2) i) (4)ii) (5) iii) (6)iv) (7)v) vi) hôm nay ta nên chăm chú cho học sinh là: từ những bất đẳng thức trên bằng những phép chuyển đổi tương đương ta hoàn toàn có thể suy ra một vài bất đẳng thức phụ hơi hữu ích: (2a) (2b) (2c) (2d)(3a)Mà nó rất có thể áp dụng để giải một vài bài xích tập cực nhọc rất 1-1 giản: 1)Với a + b + c ≥ 1, a, b, c > 0 CMR: (Đại học tập Bách khoa) (8) 2) ĐHKHTN - 2000: mang đến x, y, z > 0 cùng với . Tìm giá chỉ trị nhỏ nhất của biểu thức: (9)Giải: Vậy giá bán trị bé dại nhất của A là 3/2.2. Kĩ thuật cần sử dụng hoán vị vòng.Đây là 1 trong những kĩ thuật phổ biến khi sử dụng bất đẳng thức Côsi , rất dễ dàng và đơn giản và kết quả khi sử dụng và tạo rất nhiều hứng thú mang đến học sinh.Bài tập 3: minh chứng thì (9)Phân tích: Nếu vận dụng ngay bất đẳng thức Côsi đến 3 số hạng ta thấy khó rất có thể làm ngay được, bởi vậy ta đề nghị linh hoạt áp dụng cho từng cỗ hai số.Giải: vị a > 0, b > 0, c > 0 nên áp dụng bất đẳng thức Côsi cho các cặp:đpcmDấu bằng xảy ra khi a = b = c. Bài xích tập 4: Cho bố số ko âm a,b,c. Bệnh minh: .Giải: Theo Bất đẳng thức Cosi ta có: ;Tương tự ta cũng có: cộng vế cùng với vế của các bất đẳng thức bên trên ta suy ra điều phải chứng minh. Vết bằng xẩy ra khi a = b = c.Ta thấy rằng phương pháp này áp dụng có tác dụng rất tốt cho một lớp những bài tập sau:1)2) 3) 4) .Ngoài ra nhằm tránh nhàm chán các thầy cô tất cả thể bổ sung cập nhật thêm một loạt những bài tập khác ở mức độ cạnh tranh hơn:1) chứng minh rằng: a4 + b4 + c4 ≥ abc(a + b + c)2) chứng minh rằng : ( khối D-2004)3) giả dụ x, y z là những số dương thỏa mãn xyz = 1 thì 4) : 3. Phương thức cân bởi tổng cách thức này xuất phát từ một dìm xét thâm thúy trong sách giáo khoa, tức là khi “ nếu như hai số dương gồm tích không thay đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi và chỉ còn khi chúng bằng nhau”. Mở rộng một cách thoải mái và tự nhiên thì để chứng tỏ tổng S= S1 + S2+ ... + Sn m , ta chuyển đổi S = A1+A2+...+An là các số không âm mà có tích A1A2...An = C ko đổi, tiếp đến ta áp dụng bất đẳng thức Côsi.Bài tập 5:Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất của f(x) = x + khi x > 1Giải: vận dụng bất đẳng thức Côsi đến hai số x - 1 > 0 cùng > 0 ta gồm . Vậy f(x) đạt giá chỉ trị nhỏ dại nhất là 3 lúc x = 2.Bài tập 6. Minh chứng rằng trường hợp x > -1 thì Phân tích: Nếu áp dụng ngay bất đẳng thức Côsi thì ta thấy không ra kết quả, nhưng mà nếu bóc tách 2x thành x+1+x+1-2 thì bao gồm ngay điều yêu cầu chứng minh.Bài tập 7. Chứng minh rằng nếu như x ≥ 0 thì .Phân tích: biến hóa vế trái thành một tổng của các số hạng tất cả tích ko đổi, vày vậy cần phân tích x thành 3 số hạng là (x+3)/3Giải: Bất đẳng thức đã cho tương đương . Vận dụng bất đẳng thức Côsi mang đến 4 số dương gồm tía số và ta có điều buộc phải chứng minh.Dấu bằng xẩy ra khi x=0Bài tập 8 mang lại . Chứng minh: .Giải: Phân tích: biến đổi vế trái thành một tổng của những số hạng có tích không đổi, vày vậy buộc phải phân tích 2x thành 3 số hạng là (4x-4y);(2y+3);(2y+3) và thêm giảm 6Ta có: Từ kia suy ra đpcm. Lốt bằng xẩy ra khi: .Để luyện tập ta hoàn toàn có thể cho các em vận dụng những bài giống như sau:1) Tìm giá trị bé dại nhất của biểu thức phường = với x > 02) chứng tỏ rằng nếu nếu x > - 3 thì 3) chứng tỏ rằng ví như a > b > 0 thì a + 4) Tìm giá bán trị nhỏ nhất của biểu thức Q = x + y biết x > 0, y > 0 thoả mãn: hướng dẫn: trường đoản cú biểu thức ta gồm y = thế nên Q = 5) Tìm giá trị bé dại nhất của biểu thức R = cùng với a > 0, b > 0Hd: R = tiếp nối dùng bất đẳng thức Côsi. Các thầy cô cố gắng đặt cho học sinh cho học sinh thắc mắc là vì sao lại làm cho như vậy?6) chứng minh rằng 4. Cách thức cân bởi tích.Từ một hệ quả đặc biệt trong sách giáo khoa: “ nếu như hai số dương có tổng không thay đổi thì tích của bọn chúng lớn nhất lúc và chỉ khi chúng bởi nhau”.Mở rộng lớn ta có: để chứng tỏ một biểu thức bao gồm dạng P= P1P2...Pn M ta phân tích p. = B1B2...Bn là các số ko âm nhưng tổng B1 + B2+ ... + Bn = C là một vài không đổi.Bài tập 9. Mang đến a > 0, b > 0 và a + b = 1 chứng minh rằng ab2 ≤ .Phân tích: ta cần tách biểu thức ab2 thành một tích tất cả tổng không đổi cơ mà tổng đó chắc chắn phải tương quan đến a + b = 1.Giải: ab2 = cơ mà theo bất đẳng thức Côsi mang lại 3 số dương là a, b/2,b/2 ta có: đpcm.Dấu bằng xẩy ra khi a = 1/3; b = 2/3.Bài tập 10: đến hai số thực ko âm x,y thoả mãn điều kiện . Tìm GTLN của biểu thức: .Giải: Theo BĐT Cosi ta cú: . ( vị ).Vậy khi .Các bài xích tập tương tự như mà những thầy cô rất có thể vận dụng cho học viên là:Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 1) y = 4x3 - 3x2 với 0 ≤ x ≤ 4/32) y = (3 - x) (4 - y) (2x + 3y) với 0 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 43) y = (2 + x) (4 - x2) với 0 ≤ x ≤ 44) y = x (1 - x2) với 0 ≤ x ≤ 15) y = 5. Cách thức thêm hạng tử và chọn điểm rơi CôsiĐây là cách thức rất hấp dẫn học sinh, bằng cách thêm những số hạng tương xứng và sử dụng khéo léo bất đẳng thức Côsi ta rất có thể đạt những tác dụng không ngờ!Bài tập 11. Chứng tỏ thì Phân tích: trước hết ta nhận biết nếu áp dụng ngay bất đẳng thức Cô mê mẩn thì cũng ko ra được kết quả, kỹ năng vòng cũng không xử lý được. Hiện nay ta review dấu bằng xẩy ra khi nào, dễ nhận thấy đó là lúc a = b = c khi ấy a2/b =a vày vậy ta thêm b vào phần tử đại diện a2/b nhằm có minh chứng sau:Chứng minh: áp dụng bất đẳng thức Cô si cho các số dương thì ta có:Tuy nhiên thắc mắc đặt ra là vì sao lại thêm hạng tử b mang lại a2/b? giả sử cần thêm cho a2/b số hạng m. Sử dụng bất đẳng thức Côsi ta có: a2/b + m ≤2. Vậy m cần được chọn sao cho:1. Có thể triệt tiêu được b, hay là mất mẫu số vì vế trái của bđt không tồn tại mẫu2. Khi vết bằng xảy ra thì a2/b = m = a = b = c.Rõ ràng m chỉ có thể bằng b được thôi. Bài tập sau đang làm phân minh hơn:Bài tập12. Minh chứng rằng thì Phân tích: Ta cần thêm cho một trong những m thoả mãn:1. Rút gọn gàng được chủng loại số (b+c) sau thời điểm áp dụng bđt Côsi (+m ≥)2. Dấu bằng của bất đẳng thức Côsi xảy ra được tức thị = m với a= b = csuy ra cùng để tính ỏ thì . Dễ thấy khi cố gắng a=b=c thì ỏ =4.Chứng minh: áp dụng bất đẳng thức Cô si cho những số dương thì ta có:Dấu bằng xẩy ra khi a = b = c.Tuy nhiên thêm hạng tử nào cho hợp lí thì tùy theo bài cùng ví dụ cụ thể Bài tập 13: chứng tỏ rằng với x,y,z > 0: Phân tích: ta thấy rằng cùng với hạng tử x3/ y có thể có nhị hướng sau: biện pháp 1: hs đã thêm x3/y +xy ≥ 2x2 ; y3/z +zy ≥ 2y2 ; z3/x +xz ≥ 2z2; sau đó chứng tỏ x2 + y2 + z2 ≥ xy + yz + zx, cộng những bất đẳng thức ta có điều buộc phải chứng minh.Cách 2: cộng lại ta gồm điều đề nghị chứng minh. Bài xích tập 14: chứng minh rằng với a, b, c>0 ta tất cả Giải: áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có: ≥ 3,Cộng vế cùng với vế suy ra điều phai bệnh minh. Bài tập 15: CMR ví như x, y, z là những số dương thỏa mãn xyz = 1 ta cóx3 + y3 +z3 ³ x + y + zPhân tích: lốt bằng xảy ra khi x = y = z = 1, bởi vậy ta sẽ chế tạo x3 hai số hạng là 1,1 để áp dụng bất đẳng thức Côsi vừa lòng lí.Hướng dẫn: x3 + 1 +1 ≥ 3x; y3 + 1 +1 ≥ 3y; z3 + 1 +1 ≥ 3z; 2(x3 + y3 +z3 ) ≥ 6Theo thống kê thì có tầm khoảng 80% học viên sẽ áp dụng cách 1 để làm. Bài xích tập 16 cho 3 số thực dương a,b,c. Chứng minh: Giải: Theo BĐT Cosi ta cú: . Tương tự ta cũng cú: . Cộng cỏc vế của cỏc BĐ đó lại rồi dễ dàng và đơn giản ta sẽ được BĐT cần chứng minh. Dấu bằng xẩy ra khi a = b = c.Các bài bác tập sau cũng vận dụng tương tự:1) Đề QGHN 2000: đến a + b + c = 0. CMR 8a + 8b + 8c ≥ 2a + 2b + 2c phía dẫn. Đặt x = 2a ; y = 2b ;z = 2c thì x,y,z dương với xyz = 1.2) ĐHQGHN: cho a, b, c là những số dương. CMR:Hướng dẫn: giống như cho 3) :Hướng dẫn: chứng minh bất đẳng thức phụ: 4) với abc = 1 a, b, c > 0 CMR: với xyz = 1, x, y, z > 0 CMR: thì6) Tính giá trị bé dại nhất của biểu thức sau: cùng với a,b,c là những số thực nhất trí abc = 1; a, b, c> 0.7) với x,y,z > 0: 8)CMR: 8x-y + 8y-z + 8z- x ≥ 4x-y + 4y-z + 4z-xSau phía trên ta tham khảo hai ví dụ khôn cùng lí thú cho bài xích tập 17: trường hợp a, b, c dương và abc=1 thìPhân tích: ta sẽ thêm vào cho những hạng tử gì? chắc hẳn rằng là tất cả với ỏ là một số dương nào đó. Vấn đề ỏ bởi bao nhiêu, ta chỉ cần để ý là dấu bằng xẩy ra khi a=b=c=1; lúc đó sẽ mang đến ta ỏ =4. Vị vậy ta có chứng minh sau:Điều cần chứng minh. Bài bác tập 18:Tìm giá bán trị bé dại nhất của phường = cùng với a, b là các số dương thoả mãn điều kiện ab = 1.Hướng dẫn: vết bằng xảy ra khi a = b = 1, vậy ta phải thêm vào cho số hạng . Để tính ỏ ta thấy cho a = b =1 thì ỏ =4. Nhưng như vậy ta thấy chỉ mở ra vì vậy ta thêm 1/2 để được chứng minh sau:. MinP = 16. Kinh nghiệm thêm nghịch đảoĐây là 1 trong những kĩ thuật mà nếu không nhắc và áp dụng sẽ là một thiếu sót rất cao trong việc áp dụng và chứng tỏ bất đẳng thức Côsi. Bài xích tập 19: Tìm giá bán trị nhỏ tuổi nhất của p = với x, y là các số dương thỏa mãn x+y=1.Giải: Ta sẽ làm bài bác tập này bởi Côsi tuy thế ta cũng nỗ lực thể có tác dụng như sau:P = lốt bằng xẩy ra khi x+y=1 với 3x2 = 2y2Khi bài tập 20: minh chứng bất đẳng thức Nesbit: giả dụ a, b, c là các số dương thì (1)HD: Thêm 3 vào nhị vế của bất đẳng thức ta lộ diện (2)Đặt:Khi kia x,y,z là những số dương với (3)áp dụng Côsi: đến 3 số x,y,z ta có: đến 3 số: ta có:Nhân vế cùng với vế 2 bất đẳng thức suy ra điều phải chứng minh.7.Kĩ thuật Co-si ngược dấu: bài tập 21: đến a,b,c là 3 số dương toại nguyện a + b + c = 3 . CMR:Phần khủng những học sinh giải bài toán này như sau : Quy đồng mẫu mã số, BĐT cần minh chứng tương đương với:. Nỗ lực a + b + c = 3, ta gồm thể chứng minh bất đẳng thức nhờ vào Côsi :.Tương trường đoản cú với nhì hoán vị..tương trường đoản cú với 2 hoán vị. (Cô-si mang lại 6 số).Bất đẳng thức cuối cùng đúng là do .Lời giải 2:Sử dụng kỹ năng Co-si ngược dấu:BĐT cần minh chứng (do a+b+c = 3) Do tương tự như với 2 hoán vị ta có:.Mặt khác dấu bằng xảy ra a=b=c=1Lời giải 2 trình bày ngắn gọn và dễ dàng nắm bắt hơn.Mở rộng tựa như ta bao gồm bai toán 2.Bài tập 22:Cho a,b,c dương thoả mãn:a+b+c=3.Chứng minh rằng: (1)Lời giải:Ta có: nhưng .Tương từ bỏ với 2 hoạn ta có:Cộng vế cùng với vế các bất đẳng thức đó ta đươc:Do đó lốt bằng xẩy ra khi a=b=c=1III những bài tập lựa chọn lọcCuối thuộc tôi xin đề xuất một lớp những bài tập tìm hiểu thêm để các thày cô nâng cấp kĩ năng giải bài cho những em:1.Cho x, y, z > 0 cm: 2. Mang đến a, b, c > 0 chứng tỏ rằng:3. đến a, b, c > 0 với a + b + c = 3 CMR: 4. Mang đến x + y = 1, x, y > 0 Tìm giá bán trị nhỏ dại nhất của biểu thức: 5. CMR a, b > 0 ta gồm . HD 6. ĐH BKHN - 2000:Cho a + b ≥ 0. Minh chứng Cho tam giác ABC. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:6. Thi vào lớp 10 Tổng phù hợp - ĐHQG:x, y > 0, x2 + y2 = 1. CMR 7. Siêng TT - ĐHSP:Cho a, b, c là 3 số thực với abc = 1. CMR HD: ; tiếp đến sử dụng a3+b3≥ab(a+b)8. Tìm giá trị nhỏ dại nhất của biểu thức: cùng với a, b là số dương với thoả mãn a + b = 1HD: cần sử dụng bất đẳng thức Côsi 2 lần.9. đến tam giác ABC cùng với AB = c, BC = a, CA = b. Hotline S là diện tích s tam giác ABC và M, N, p là những số thực thế nào cho m + n, n + p, p + m phần đông là số dương. CMR: 10.Chứng minh rằng:a) b) c) x > 0, y > 0, x + y = 1. CM: 11. Giả sử x, y là những số dương bằng lòng x + y = . Tìm giá trị của x, y để phường = ( x4+ 1) ( y4+ 1) đạt giá bán trị nhỏ tuổi nhất. HD. để t= xy thì x2 + y2 = 10 - 2t; x4 + y4 = 2t2 – 40t + 100 12.Cho tam giác ABC nội tiếp trong ( O; R ) bao gồm 3 góc nhọn với BC = a, AC = b, AB = c. Rước I bất kỳ ở phía vào tam giác ABC, điện thoại tư vấn x, y, z là khoảng cách từ điểm I đến các cạnh BC, AC, AB của tam giác.Chứng minh HD. Centimet ax + by + cz = 2S. Sử dụng bất đẳng thức Bunhia 13.Cho a, b, c là các số thực dương nhất trí abc = 1 CMR: HD tách: 14. đến a + b = 5, a, b > 0. Tìm giá bán trị nhỏ dại nhất 15. CMR trong số ấy x, y, z là hầu như số không âm hài lòng x + y + z = 2.Tìm giá trị nhỏ nhất của với a, b, c dương và thoả mãn a + b + c = 3HD: Bình phương nhì vế: , tương tự.17.CMR ví như a, b, c, d > 0 thì:a) b) HD: tương tự như cho câu b. 18. 19. Cho ba số dương x, y, z thoả x + y + z =1 . Bệnh minh: 20. Cho là những số dương với . Minh chứng rằng: (ĐH 2003)21. Mang đến là những số dương vừa lòng . Minh chứng rằng:(ĐH 2005)22. Minh chứng rằng với đa số x : (ĐH 2005)23. đến là những số dương vừa lòng . Chứng minh rằng:(ĐH 2005)24. Chứng minh rằng với đa số thì (ĐH 2005)25. Cho thỏa mãn nhu cầu . Chứng tỏ (ĐH 2005)26. Mang lại là ba số dương vừa lòng . Chứng minh rằng:(ĐH 2005)27. Cho vừa lòng . Chứng minh(ĐH 2006)28. Tỡm GTNN của hàm số (ĐH 2006)29. Chỉ ra rằng hai số dương thỏa mãn điều khiếu nại . Kiếm tìm GTNN của biểu thức (ĐH 2006)30.Ba số dương vừa lòng . Chứng minh rằng: (ĐH 2001)31 giả sử cùng là hai số dương cùng . Kiếm tìm GTNN của (ĐH 2001)32. Cho hai số thực thỏa mãn . Kiếm tìm GTLN của biểu thức (ĐH 2006)33. Chứng minh rằng giả dụ thì (ĐH 2006)III.Kết luậnTrên phía trên tôi đã giới thiệu một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức bởi việc thực hiện bất đẳng thức Côsi,kèm theo phân tích bài xích toán.Qua thực tiễn giảng dạy tôi thấy rằng để học sinh có kĩ năng chứng tỏ tốt bất đẳng thức thì trước hết bạn thầy đề xuất làm cho học viên hiểu được loại hay và đẹp của bất đẳng thức, đồng thời bởi vì dạy minh chứng bất đẳng thức là lĩnh vực khó nên các thầy cô cũng nên địa thế căn cứ vào sức của học viên để đưa ra những bài xích tập phù hợp. Theo kinh nghiệm tay nghề của tôi, ứng với tía mức độ dấn biết, thông tỏ và áp dụng thì đầu tiên khi nào cũng là những bài tập nhận biết và thông hiểu các kiến thức cơ bản, rất 1-1 giản. Tiếp nối dần nâng nấc độ bài tập lên. Cũng chính vì vậy để thực hiện tài liệu này tôi đã nỗ lực lựa chọn và bố trí ví dụ cho hợp lí, nhẹ nhàng, đơn giản và dễ dàng và vừa mức độ với học sinh của mình.Tuy nhiên đó là một nội dung khó và khiếp nghiệm đào tạo và giảng dạy của tôi còn tiêu giảm nên chắc chắn là còn thiếu thốn sót và không né khỏi một số sai lầm. Mong những thầy cô xem với đóng góp ý kiến để chuyên đề được hoàn thiện hơn.Xin thực tình cảm ơn chúng ta đồng nghiệp.Bắc ninh tháng 2 năm 2012Giáo viênLê Thị Hồng Thúy