Bài viết hướng dẫn phương thức giải một số trong những bài toán minh chứng đẳng thức vectơ, đó là dạng toán thường chạm mặt trong lịch trình Hình học 10 chương 1.
Bạn đang xem: Chứng minh đẳng thức vectơ
Phương pháp giải toán:Để minh chứng một đẳng thức vectơ ta chú ý:1) Sử dụng:+ nguyên tắc $3$ điểm: $overrightarrow AB + overrightarrow BC = overrightarrow AC $, $overrightarrow AC – overrightarrow AB = overrightarrow BC $ với đa số $A$, $B$, $C.$+ nguyên tắc hình bình hành: $overrightarrow AB + overrightarrow AD = overrightarrow AC $ cùng với $ABCD$ là hình bình hành.+ quy tắc trung điểm: $overrightarrow MA + overrightarrow MB = 2overrightarrow MI $ cùng với $I$ là trung điểm của $AB.$+ phép tắc trọng tâm: $overrightarrow GA + overrightarrow GB + overrightarrow GC = vec 0$ cùng với $G$ là trọng tâm tam giác $ABC.$+ những tính chất của các phép toán.2) triển khai các phép biến đổi theo một trong các hướng sau:+ đổi khác vế này thành vế tê của đẳng thức (thông thường là xuất phát điểm từ vế phức tạp biến đổi rút gọn để đưa về vế đơn giản hơn).+ biến đổi đẳng thức cần chứng tỏ về tương đương với một đẳng thức luôn đúng.+ khởi đầu từ một đẳng thức luôn luôn đúng để thay đổi về đẳng thức cần chứng minh.
Bài toán 1: mang lại $4$ điểm $A$, $B$, $C$, $D$. Chứng minh rằng:a) $overrightarrow AB + overrightarrow CD = overrightarrow AD + overrightarrow CB .$b) $overrightarrow AB – overrightarrow CD = overrightarrow AC – overrightarrow BD .$
a)Cách 1: đổi khác vế trái (VT) ta có:$VT = overrightarrow AB + overrightarrow CD $ $ = (overrightarrow AD + overrightarrow DB ) + (overrightarrow CB + overrightarrow BD )$ $ = overrightarrow AD + overrightarrow CB + overrightarrow DB + overrightarrow BD $ $ = overrightarrow AD + overrightarrow CB + vec 0$ $ = overrightarrow AD + overrightarrow CB = VP.$Nhận xét: áp dụng cách giải này, ta cần để ý khi thay đổi các số hạng của một vế cần nhiệt tình phân tích làm xuất hiện các số hạng có ở vế mặt kia. Ví dụ điển hình số hạng ở vế trái là $overrightarrow AB $ nhưng lại vế phải có chứa $overrightarrow AD $ bắt buộc ta viết $overrightarrow AB = overrightarrow AD + overrightarrow DB .$Cách 2: Ta có: $overrightarrow AB + overrightarrow CD = overrightarrow AD + overrightarrow CB $ $(1)$ $ Leftrightarrow overrightarrow AB – overrightarrow AD = overrightarrow CB – overrightarrow CD $ $ Leftrightarrow overrightarrow DB = overrightarrow DB $ $(2).$Ta bao gồm $(2)$ luôn luôn đúng vậy $(1)$ được chứng minh.
Xem thêm: Ý Nghĩa Của Các Ngón Tay Là Gì? Những Lưu Ý Khi Đeo Nhẫn Ý Nghĩa Ngón Tay Đeo Nhẫn Theo Phong Thủy
Cách 3: Ta có: $overrightarrow AB + overrightarrow BC + overrightarrow CD + overrightarrow DA = vec 0.$Suy ra: $overrightarrow AB + overrightarrow CD = – overrightarrow DA – overrightarrow BC .$Do đó: $overrightarrow AB + overrightarrow CD = overrightarrow AD + overrightarrow CB .$b) Ta có: $VT = overrightarrow AB – overrightarrow CD $ $ = (overrightarrow AC + overrightarrow CB ) – (overrightarrow CB + overrightarrow BD )$ $ = overrightarrow AC – overrightarrow BD + overrightarrow CB – overrightarrow CB $ $ = overrightarrow AC – overrightarrow BD = VP.$Tương trường đoản cú ta cũng có các cách minh chứng khác đến câu b.
Bài toán 2: mang đến tam giác $ABC$ với $G$ là giữa trung tâm tam giác $ABC.$a) chứng minh rằng: $overrightarrow MA + overrightarrow MB + overrightarrow MC = 3overrightarrow MG .$b) tìm kiếm tập đúng theo điểm $M$ làm sao cho $overrightarrow MA + overrightarrow MB + overrightarrow MC = 0.$
a) Ta có: $overrightarrow MA + overrightarrow MB + overrightarrow MC $ $ = (overrightarrow MG + overrightarrow GA ) + (overrightarrow MG + overrightarrow GB ) + (overrightarrow MG + overrightarrow GC )$ $ = 3overrightarrow MG + (overrightarrow GA + overrightarrow GB + overrightarrow GC )$ $ = 3overrightarrow MG + vec 0$ $ = 3overrightarrow MG .$b) vày $overrightarrow MA + overrightarrow MB + overrightarrow MC = vec 0.$$3overrightarrow MG = vec 0$ tốt $overrightarrow MG = vec 0$ vì thế $M equiv G.$Suy ra tập hòa hợp $M$ thỏa mãn nhu cầu $overrightarrow MA + overrightarrow MB + overrightarrow MC = vec O$ là $ G .$
Bài toán 3: mang đến tam giác $ABC$ gồm $D$, $E$, $F$ lần lượt là trung điểm của những cạnh $BC$, $CA$, $AB$. Chứng tỏ rằng:a) $overrightarrow AD + overrightarrow BE + overrightarrow CF = vec 0.$b) với tất cả điểm $M$ ta gồm $overrightarrow MA + overrightarrow MB + overrightarrow MC = overrightarrow MD + overrightarrow ME + overrightarrow MF .$
Vì $D$ là trung điểm của $BC$ nên $overrightarrow AB + overrightarrow AC = 2overrightarrow AD .$Suy ra $overrightarrow AD = frac12(overrightarrow AB + overrightarrow AC ).$Tương trường đoản cú $overrightarrow BE = frac12(overrightarrow BA + overrightarrow BC )$, $overrightarrow CF = frac12(overrightarrow CA + overrightarrow CB ).$Do đó: $overrightarrow AD + overrightarrow BE + overrightarrow CF $ $ = frac12(overrightarrow AB + overrightarrow AC + overrightarrow BA + overrightarrow BC + overrightarrow CA + overrightarrow CB )$ $ = frac12left< (overrightarrow AB + overrightarrow BA ) + (overrightarrow AC + overrightarrow CA ) + (overrightarrow BC + overrightarrow CB ) ight>$ $ = frac12(vec 0 + vec 0 + vec 0) = vec 0.$Cách khác: hotline $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$, khi đó ta có:$overrightarrow AD = – frac32overrightarrow GA $, $overrightarrow BE = – frac32overrightarrow GB $, $overrightarrow CF = – frac32overrightarrow GC .$Suy ra: $overrightarrow AD + overrightarrow BE + overrightarrow CF $ $ = – frac32(overrightarrow GA + overrightarrow GB + overrightarrow GC )$ $ = – frac32.vec 0 = vec 0.b.$b) với đa số điểm $M$ ta có:$overrightarrow MA + overrightarrow MB = 2overrightarrow MF .$$overrightarrow MB + overrightarrow MC = 2overrightarrow MD .$$overrightarrow MC + overrightarrow MA = 2overrightarrow ME .$Suy ra $2(overrightarrow MA + overrightarrow MB + overrightarrow MC )$ $ = 2(overrightarrow MF + overrightarrow MD + overrightarrow ME ).$Vậy $overrightarrow MA + overrightarrow MB + overrightarrow MC $ $ = overrightarrow MD + overrightarrow ME + overrightarrow MF .$
Bài toán 4: mang đến tam giác $ABC$ cùng $G$, $H$, $O$ lần lượt là trọng tâm, trực tâm, trung ương đường tròn ngoại tiếp của tam giác. Gọi $D$ là điểm đối xứng của $A$ qua $O$. Minh chứng rằng:a) $overrightarrow HB + overrightarrow HC = overrightarrow HD .$b) $overrightarrow HA + overrightarrow HB + overrightarrow HC = 2overrightarrow HO .$c) $overrightarrow HA – overrightarrow HB – overrightarrow HC = 2overrightarrow OA .$d) $overrightarrow OA + overrightarrow OB + overrightarrow OC = overrightarrow OH .$e) $overrightarrow OH = 3overrightarrow OG .$
a) Ta có: $widehat ABD = widehat ACD = 1v$ (góc nội tiếp chắn nữa mặt đường tròn).Suy ra $BD ot AB.$Mặc khác $CH ot AB$ (vì $H$ là trực tâm).Do vậy $BD//CH.$Tương tự ta tất cả $CD//BH.$Từ đó suy ra $HBDC$ là hình bình hành.Do kia $overrightarrow HB + overrightarrow HC = overrightarrow HD .$b) $overrightarrow HA + overrightarrow HB + overrightarrow HC $ $ = overrightarrow HA + (overrightarrow HB + overrightarrow HC )$ $ = overrightarrow HA + overrightarrow HD = 2overrightarrow HO .$c) $overrightarrow HA – overrightarrow HB – overrightarrow HC $ $ = overrightarrow HA – (overrightarrow HB + overrightarrow HC )$ $ = overrightarrow HA – overrightarrow HD $ $ = overrightarrow DA = 2overrightarrow OA .$d) $overrightarrow OA + overrightarrow OB + overrightarrow OC $ $ = (overrightarrow OH + overrightarrow HA ) + (overrightarrow OH + overrightarrow HB ) + (overrightarrow OH + overrightarrow HC )$ $ = 3overrightarrow OH + (overrightarrow HA + overrightarrow HB + overrightarrow HC )$ $ = 3overrightarrow OH + 2overrightarrow HO $ $ = 3overrightarrow OH – 2overrightarrow OH = overrightarrow OH .$e) $overrightarrow OH = overrightarrow OA + overrightarrow OB + overrightarrow OC = 3overrightarrow OG .$
a) Ta có $VT = (overrightarrow OA + overrightarrow OB ) + (overrightarrow OC + overrightarrow OD )$ $ = 2overrightarrow OE + 2overrightarrow OF $ $ = 2(overrightarrow OE + overrightarrow OF )$ $ = overrightarrow 0 = VP.$b) Ta có: $VT = (overrightarrow MO + overrightarrow OA ) + (overrightarrow MO + overrightarrow OB )$ $ + (overrightarrow MO + overrightarrow OC ) + (overrightarrow MO + overrightarrow OD )$ $ = 4overrightarrow MO + (overrightarrow OA + overrightarrow OB + overrightarrow OC + overrightarrow OD )$ $ = 4overrightarrow MO + overrightarrow 0 $ $ = 4overrightarrow MO = VP.$
Bài toán 6: mang đến tam giác $ABC$ với tam giác $A_1B_1C_1.$ gọi $G$, $G_1$ lần lượt là giữa trung tâm tam giác $ABC$ cùng tam giác $A_1B_1C_1.$ minh chứng rằng: $overrightarrow AA_1 + overrightarrow BB_1 + overrightarrow CC_1 = 3widehat GG_1.$
Ta tất cả $VT = left( overrightarrow AG + overrightarrow GG_1 + overrightarrow G_1A_1 ight)$ $ + left( overrightarrow BG + overrightarrow GG_1 + overrightarrow G_1B_1 ight)$ $ + left( overrightarrow CG + overrightarrow GG_1 + overrightarrow G_1C_1 ight)$ $ = 3overrightarrow GG_1 + (Aoverrightarrow G + overrightarrow BG + overrightarrow CG )$ $ + left( overrightarrow G_1A_1 + overrightarrow G_1B_1 + overrightarrow G_1C_1 ight)$ $ = 3overrightarrow GG_1 + overrightarrow 0 + overrightarrow 0 $ $ = 3overrightarrow GG_1 = VP.$
Bài toán 7: cho tam giác $ABC.$ call $M$ là trung điểm của $AB$ với $N$ là vấn đề trên cạnh $AC$ sao để cho $NC = 2NA.$ call $K$ là trung điểm của $MN.$a) minh chứng rằng: $overrightarrow AK = frac14overrightarrow AB + frac16overrightarrow AC .$b) gọi $D$ là trung điểm của $BC.$ chứng tỏ rằng: $overrightarrow KD = frac14overrightarrow AB + frac13overrightarrow AC .$
a) Ta có: $overrightarrow AK = frac12(overrightarrow AM + overrightarrow AN )$ (vì $K$ là trung điểm của $MN$) $ = frac12left( frac12overrightarrow AB + frac13overrightarrow AC ight)$ $ = frac14overrightarrow AB + frac16overrightarrow AC .$b) Ta có: $overrightarrow KD = frac12(overrightarrow KB + overrightarrow KC )$ $ = frac12(overrightarrow KA + overrightarrow AB + overrightarrow KA + overrightarrow AC )$ $ = overrightarrow KA + frac12overrightarrow AB + frac12overrightarrow AC $ $ = – overrightarrow AK + frac12overrightarrow AB + frac12overrightarrow AC $ $ = – frac14overrightarrow AB – frac16overrightarrow AC + frac12overrightarrow AB + frac12overrightarrow AC $ $ = frac14overrightarrow AB + frac13overrightarrow AC .$
Bài toán 8: mang đến hai điểm $A$ với $B$, $M$ là điểm trên con đường thẳng $AB$ làm thế nào để cho $noverrightarrow AM = moverrightarrow MB $. Chứng minh rằng cùng với điểm $O$ bất kì, ta có: $overrightarrow OM = fracnm + noverrightarrow OA + fracmm + noverrightarrow OB .$
Ta có $noverrightarrow AM = moverrightarrow MB .$Suy ra $n(overrightarrow OM – overrightarrow OA ) = m(overrightarrow OB – overrightarrow OM ).$Do đó $(m + n)overrightarrow OM = noverrightarrow OA + moverrightarrow OB .$Như vậy $overrightarrow OM = fracnm + noverrightarrow OA + fracmm + noverrightarrow OB .$
Bài toán 9: cho tam giác $ABC.$ trên cạnh $AB$, $AC$ lấy các điểm $M$, $N$ sao để cho $fracMAMB = a$, $fracNANC = b.$ hai đường thẳng $CM$ với $BN$ cắt nhau tại $I.$ chứng minh rằng $overrightarrow AI = aoverrightarrow IB + boverrightarrow IC .$
Dựng $Ax$ song song $BN$ giảm $CM$ trên $E.$Dựng $Ay$ tuy vậy song $CM$ cắt $BN$ trên $F.$Khi kia ta gồm $overrightarrow AI = overrightarrow AE + overrightarrow AF .$Mặc khác $Delta MAE$ đồng dạng $Delta MBI.$Nên $fracAEIB = fracMAMB = a.$Suy ra $overrightarrow AE = aoverrightarrow IB .$Tương từ bỏ $Delta NAF$ đồng dạng $Delta NCI$ cần $overrightarrow AF = boverrightarrow CI .$Từ kia suy ra $overrightarrow AI = aoverrightarrow IB + boverrightarrow IC .$