Phân tích nhiều thức thành nhân tử là kiến thức và kỹ năng cơ sở cho các bài học về nhân chia 1-1 thức, nhiều thức quan trọng trong các biểu thức phân số gồm chứa trở nên trong công tác toán 8 và cả những lớp sau này.
Bạn đang xem: Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
Chính vì vậy, mà việc nắm vững những cách phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung, đội hạng tử, hay phương thức dùng hằng đẳng thức là vấn đề rất cần thiết. Bài viết dưới đây sẽ tổng vừa lòng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử và vận dụng giải những dạng bài bác tập này.
I. Các phương pháp phân tích nhiều thức thành nhân tử
1. Phân tích nhiều thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung
* Phương pháp:
- Tìm nhân tử tầm thường là những 1-1 thức, đa thức có mặt trong toàn bộ các hạng tử.
- so với mỗi hạng tử thành tựu của nhân tử phổ biến và một nhân tử khác.
- Viết nhân tử chung ra ngoài dấu ngoặc, viết những nhân tử còn sót lại của mỗi hạng tử vào trong dấu ngoặc (và cả vết của chúng).
* Ví dụ. phân tích các đa thức sau thành nhân tử.
a) 15x3 - 5x2 + 10x = 5x.(3x2) + 5x.(-x) + 5x.(2) = 5x(3x2 - x + 2)
b) 28x2y2 - 21xy2 + 14x2y = 7xy.(4xy) + 7xy.(-3y) + 7xy.(2x) = 7xy(4xy - 3y + 2x)
2. Phân tích đa thức thành nhân tử với cách thức dùng hằng đẳng thức
* Phương pháp:
- biến đổi đa thức chúng ta đầu về dạng thân quen của hằng đẳng thức, kế tiếp sử dụng hằng đẳng thức để triển khai xuất hiên nhân tử chung.
- Cần chú ý đến việc vận dụng linh hoạt những hằng đẳng thức đáng nhớ:
♦ (A+B)2= A2+2AB+B2
♦ (A–B)2= A2– 2AB+ B2
♦ A2–B2= (A-B)(A+B)
♦ (A+B)3= A3+3A2B +3AB2+B3
♦ (A – B)3= A3- 3A2B+ 3AB2- B3
♦ A3+ B3= (A+B)(A2- AB +B2)
♦ A3- B3= (A- B)(A2+ AB+ B2)
♦ (A+B+C)2= A2+ B2+C2+2 AB+ 2AC+ 2BC
* Chú ý: a+b= -(-a-b) ; (a+b)2= (-a-b)2 ; (a-b)2= (b-a)2 ; (a+b)3= -(-a-b)3 ; (a-b)3=-(-a+b)3
* Ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.
a) 9x2 – 4 = (3x)2 – 22 = ( 3x– 2)(3x + 2)
b) 8 – 27x3y6 = 23 – (3xy2)3 = (2 – 3xy2)(4 + 6xy2 + 9x2y4)
c) 25x4 – 10x2y + y2 = (5x2 – y)2
3. Bí quyết phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm những hạng tử
* Phương pháp:
- phối kết hợp các hạng tử thích hợp thành từng nhóm.
- Áp dụng tiếp tục các cách thức đặt nhân tử phổ biến hoặc dùng hằng đẳng thức.
* Ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a) 2x3 – 3x2 + 2x – 3 = ( 2x3 + 2x) – (3x2 + 3)
= 2x(x2 + 1) – 3( x2 + 1) = ( x2 + 1)( 2x – 3)
b) x2 – 2xy + y2 – 16 = (x – y)2 - 42 = ( x – y – 4)( x –y + 4)
4. Cách thêm bớt 1 hạng tử hoặc bóc tách hạng tử nhằm phân tích đa thức thành nhân tử
* Phương pháp:
- vận dụng thêm giảm hạng tử linh hoạt để lấy về team hạng tử chung hoặc dùng hằng đẳng thức
* Ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a) x4 + 4 = x4 + (4x2 - 4x2) + 4 = x4 + 4x2 + 4 - 4x2 = (x2+2)2 - 4x2
= (x2+2-2x)(x2+2+2x)
b) x4 + 1 = x4 + 2x2 - 2x2 + 1 = x4 + 2x2 + 1 - 2x2 = (x2+1)2 - 2x2 = (x2+1)2 - (x√2)2
= (x2+1-x√2)(x2+1+x√2)
c) 3x2 + 8x + 4 = 3x2 + 8x + 16 - 12 = (3x2 – 12) + (8x + 16) = 3(x2 - 4) + 8(x+2)
=3(x-2)(x+2) + 8(x+2) =(x + 2)<3(x-2)+8> =(x + 2)(3x + 2)
hoặc: 3x2 + 8x + 4 = 4x2 - x2 + 8x + 4 = (4x2 + 8x + 4) – x2 = (2x + 2)2 – x2
= (2x + 2 – x)(2x + 2 + x) = (x + 2)(3x + 2)
5. Phối vừa lòng nhiều cách thức để phân tích nhiều thức thành nhân tử
* Phương pháp: Sử dụng các phương thức trên theo trang bị tự ưu tiên.
- phương thức đặt nhân tử chung.
- phương thức dùng hằng đẳng thức.
- phương thức nhóm các hạng tử.
* Ví dụ: Phân tích nhiều thức sau thành nhân tử
a) 3xy2 - 6xy + 3x
= 3x(y2 – 2y + 1) (đặt nhân tử chung)
= 3x(y – 1)2 (dùng hằng đẳng thức (A–B)2= A2– 2AB+ B2 trong bước này A là y B là 1)
b) 2x2 + 4x + 2 - 2y2
= 2((x2 + 2x +1) - y2) (đặt nhân tử chung)
= 2((x+1)2 - y2) (dùng hằng đẳng thức: (A+B)2= A2+2AB+B2) trong bước này A là x; B là 1)
= 2(x+1-y)(x+1+y) (dùng hằng đẳng thức: A2–B2= (A-B)(A+B) trong công đoạn này A là x+ 1 còn B là y)
II. áp dụng giải một vài dạng bài tập phân tích nhiều thức thành nhân tử
Bài 39 trang 19 skg toán 8 tập 1: Phân tích đa thức thành nhân tử
a) 3x - 6y;
b)
c) 14x2y – 21xy2 + 28x2y2;
d)
e) 10x(x - y) - 8y(y - x).
* giải mã bài 39 trang 19 skg toán 8 tập 1:
a) 3x - 6y = 3(x-2y)
b)
c) 14x2y – 21xy2 + 28x2y2 = 7xy.2x - 7xy.3y +7xy.4xy = 7xy(2x-3y+4xy)
d)
e) 10x(x - y) - 8y(y - x)
- Ta thấy: y - x = –(x – y) bắt buộc ta có:
10x(x - y) - 8y(y - x) =10x(x - y) - 8y<-(x - y)> =10x(x - y) + 8y(x - y) =2(x-y)(5x+4y)
Bài 40 trang 19 skg toán 8 tập 1: Tính giá trị của biểu thức
a) 15.91,5 + 150.0,85;
b) x(x - 1) - y(1 - x) tại x = 2001 với y = 1999.
* lời giải bài 40 trang 19 skg toán 8 tập 1:
- lưu ý: cùng với dạng bài tập này chúng ta cần phân tích hạng tử để mở ra nhân tử phổ biến rồi so sánh thành nhân tử trước lúc tính giá chỉ trị.
a) 15.91,5 + 150.0,85 =15.91,5 + 15.10.0,85 =15(91,5 + 10.0,85) =15(91,5 + 8,5) =15.100 =1500.
b) x(x - 1) - y(1 - x)
- Ta thấy: 1 - x = -(x - 1) nên ta có:
x(x - 1) - y(1 - x) =x(x-1)-y<-(x-1)> =x(x-1)+y(x-1) =(x-1)(x+y)
- Thay x = 2001 với y = 1999 ta được: (2001-1)(2001+1999) =2000.4000 =8000000
Bài 41 trang 19 skg toán 8 tập 1: Tìm x, biết:
a) 5x(x -2000) - x + 2000 = 0;
b) x3 – 13x = 0
* giải mã bài 41 trang 19 skg toán 8 tập 1:
a) 5x(x -2000) - x + 2000 = 0
⇔ 5x(x – 2000) – (x – 2000) = 0
⇔ (x – 2000).(5x – 1) = 0
⇔
- kết luận có 2 quý giá x vừa lòng là x = 2000 và x = 1/5.
b) x3 = 13x ⇔ x3 – 13x = 0 ⇔ x(x2 – 13) = 0
⇔
- Kết luận: Có cha giá trị của x vừa lòng là x = 0, x = √13 cùng x = –√13.
Bài 42 trang 19 skg toán 8 tập 1: minh chứng rằng 55n + 1 – 55n chia hết mang lại 54 (với n là số từ nhiên)
* Lời giải Bài 42 trang 19 skg toán 8 tập 1:
- Ta có: 55n + 1 – 55n = 55n.55 - 55n = 55n (55 - 1) = 55n.54
- bởi vì 54 phân tách hết đến 54 đề xuất 55n.54 luôn chia hết đến 54 với n là số tự nhiên.
⇒ Vậy 55n + 1 – 55n chia hết cho 54.
Bài 43 trang trăng tròn skg toán 8 tập 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) x2 + 6x + 9; b) 10x – 25 – x2
c) ; d)
* giải thuật bài 43 trang đôi mươi skg toán 8 tập 1:
a) x2 + 6x + 9 = (x)2 + 2.(x).(3) + (3)2 = (x+3)2
b) 10x – 25 – x2 = –(–10x + 25 + x2) = –(x2 - 10x + 25)
= –<(x)2 – 2.(5).(x) + (5)2> = –(x–5)2
c)
d)
Bài 44 trang đôi mươi skg toán 8 tập 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) ; b) (a + b)3 – (a – b)3
c) (a + b)3 + (a – b)3 ;
d) 8x3 + 12x2y + 6xy2 + y3
e) - x3 + 9x2 – 27x + 27.
* giải mã bài 44 trang đôi mươi skg toán 8 tập 1:
a)
b) (a + b)3 – (a – b)3
= <(a + b) – (a – b)> . <(a + b)2 + (a + b).(a – b) + (a – b)2>
= (a + b – a + b) . (a2 + 2ab + b2 + a2 – b2+ a2 – 2ab + b2)
= 2b.(3a2+ b2)
c) (a + b)3 + (a – b)3
= <(a + b) + (a – b)> . <(a + b)2 – (a + b)(a –b) + (a – b)2>
= <(a + b) + (a – b)> . <(a2 + 2ab + b2) – (a2 – b2) + (a2 – 2ab + b2)>
= (a + b + a – b) . (a2 + 2ab + b2 – a2 + b2 + a2 – 2ab + b2)
= 2a.(a2 + 3b2)
d) 8x3 + 12x2y + 6xy2 + y3 = (2x)3 + 3.(2x)2.y + 3.2x.y2 + y3 = (2x + y)3
e) –x3 + 9x2 – 27x + 27= (–x)3 + 3.(–x)2.3 + 3.(–x).32 + 33 = (–x + 3)3 = (3 – x)3
Bài 45 trang trăng tròn skg toán 8 tập 1: Tìm x, biết:
a) 2 - 25x2 = 0
b)
* lời giải bài 45 trang đôi mươi skg toán 8 tập 1:
a) 2 - 25x2 = 0
- Kết luận: vậy bao gồm 2 nghiệm thoả là x = -√2/5 và x= √2/5.
b)
- Kết luận: vậy có 1 nghiệm thoả là x=1/2.
Bài 46 trang 21 skg toán 8 tập 1: Tính nhanh
a) 732 - 272 ; b) 372 - 132 ; c) 20022 - 22
* giải mã bài 46 trang 21 skg toán 8 tập 1:
a) 732 – 272 = (73 + 27)(73 – 27) = 100.46 = 4600
b) 372 – 132 = (37 + 13)(37 – 13) = 50.24 = 100.12 = 1200
c) 20022 – 22 = (2002 + 2)(2002 – 2) = 2004 .2000 = 4008000
Bài 47 trang 22 skg toán 8 tập 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a) x2 –xy + x – y
b) xz + yz – 5(x + y)
c) 3x2 – 3xy – 5x + 5y
* giải thuật bài 47 trang 22 skg toán 8 tập 1:
a) x2 – xy + x – y
+) Cách 1: Nhóm nhị hạng tử sản phẩm 1 và thứ 2, hạng tử đồ vật 3 cùng thứ 4
x2 – xy + x – y = (x2 – xy) + (x – y) = x(x – y) + (x – y)= (x – y)(x + 1)
+) phương pháp 2: Nhóm hạng tử trang bị 1 với thứ 3 ; hạng tử thứ hai và thiết bị 4
x2 – xy + x – y = (x2 + x) – (xy + y)= x.(x + 1) – y.(x + 1) = (x + 1)(x – y)
b) xz + yz – 5(x + y) = (xz + yz) – 5(x + y) = z(x + y) – 5(x + y) = (x + y)(z – 5)
c) 3x2 – 3xy – 5x + 5y
+) Cách 1: Nhóm nhì hạng tử đầu tiên với nhau và hai hạng tử cuối cùng với nhau:
3x2 – 3xy – 5x + 5y = (3x2 – 3xy) – (5x – 5y) = 3x(x – y) – 5(x – y) = (x – y)(3x – 5)
+) bí quyết 2: Nhóm hạng tử lần đầu tiên với hạng tử đồ vật 3; hạng tử thứ 2 với hạng tử sản phẩm 4:
3x2 – 3xy – 5x + 5y = (3x2 – 5x) – (3xy – 5y) = x(3x – 5) – y(3x – 5)= (3x – 5)(x – y).
Bài 48 trang 22 skg toán 8 tập 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a) x2 + 4x –y2 + 4
b) 3x2 + 6xy + 3y2 – 3z2
c) x2 – 2xy + y2 – z2 + 2zt – t2
* lời giải Bài 48 trang 22 skg toán 8 tập 1:
a) x2 + 4x – y2 + 4
= (x2 + 4x + 4) – y2
= (x + 2)2 – y2
= (x + 2 – y)(x + 2 + y)
b) 3x2 + 6xy + 3y2 – 3z2
= 3.(x2 + 2xy + y2 – z2)
= 3<(x2 + 2xy + y2) – z2>
= 3<(x + y)2 – z2>
= 3(x + y – z)(x + y + z)
c) x2 – 2xy + y2 – z2 + 2zt – t2 = (x2 – 2xy + y2) – (z2 – 2zt + t2) = (x – y)2 – (z – t)2 = <(x – y) – (z – t)><(x – y) + (z – t)> = (x – y – z + t)(x – y + z –t) Bài 50 trang 23 sgk toán 8 tập 1: Tìm x, biết: a) x(x – 2) + x – 2 = 0 b) 5x(x – 3) – x + 3 = 0 * lời giải bài 50 trang 23 sgk toán 8 tập 1: a) x(x – 2) + x – 2 = 0 ⇔ (x – 2)(x + 1) = 0 ⇔ 
- Kết luận: vậy x = – 1 hoặc x = 2.
b) 5x(x – 3) – x + 3 = 0
⇔ 5x(x – 3) – (x – 3) = 0
⇔ (x – 3)(5x – 1) = 0
⇔
- Kết luận: vậy x = 3 hoặc x = 1/5.
Bài 51 trang 24 sgk toán 8 tập 1: Phân tích những đa thức sau thành nhân tử:
a) x3 – 2x2 + x.
b) 2x2 + 4x + 2 – 2y2
c) 2xy – x2 – y2 + 16
* lời giải bài 51 trang 24 sgk toán 8 tập 1:
a) x3 – 2x2 + x
= x.x2 – x.2x + x.1
= x(x2 – 2x + 1)
= x(x – 1)2
b) 2x2 + 4x + 2 – 2y2
= 2.(x2 + 2x + 1 – y2)
= 2<(x2 + 2x + 1) – y2>
= 2<(x + 1)2 – y2>
= 2(x + 1 – y)(x + 1 + y)
c) 2xy – x2 – y2 + 16
= 16 – (x2 – 2xy + y2)
= 42 – (x – y)2
= <4 – (x – y)><4 + (x + y)>
= (4 – x + y)(4 + x – y).
Bài 52 trang 24 sgk toán 8 tập 1: Chứng minh rằng (5n + 2)2 – 4 phân tách hết đến 5 với tất cả số nguyên n.
* lời giải bài 52 trang 24 sgk toán 8 tập 1:
- Ta có: (5n + 2)2 – 4 = (5n + 2)2 – 22 = (5n + 2 – 2)(5n + 2 + 2)= 5n(5n + 4)
- vì chưng 5 ⋮ 5 bắt buộc 5n(5n + 4) ⋮ 5 ∀n ∈ Ζ.
Xem thêm: Zenly Là Gì Định Nghĩa Của Mã Zenly Là Gì, I Don'T Have Zenly
⇒ Vậy (5n + 2)2 – 4 luôn chia hết đến 5 với n ∈ Ζ
Bài 53 trang 24 sgk toán 8 tập 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) x2 – 3x + 2
b) x2 + x – 6
c) x2 + 5x + 6
(Gợi ý : Ta ko thể vận dụng ngay các phương pháp đã học để phân tích mà lại nếu tách hạng tử - 3x = - x – 2x thì ta gồm x2 – 3x + 2 = x2 – x – 2x + 2 với từ đó dễ dãi phân tích tiếp.
Cũng gồm thể tách bóc 2 = - 4 + 6, lúc ấy ta bao gồm x2 – 3x + 2 = x2 – 4 – 3x + 6, trường đoản cú đó thuận lợi phân tích tiếp)