Bài viết trình bày lý thuyết cơ phiên bản về số phức và các phép toán trên tập số phức, những kiến thức trong bài viết được tham khảo từ SGK Giải tích 12.

Bạn đang xem: Các phép toán số phức

I. Số phứcSố $i$: Việc xây cất tập thích hợp số phức được đặt ra từ việc không ngừng mở rộng tập vừa lòng số thực làm sao cho mọi phương trình đa thức đều sở hữu nghiệm. Để giải quyết và xử lý vấn đề này, ta bổ sung vào tập số thực $R$ một vài mới, kí hiệu là $i$ và coi nó là một nghiệm của phương trình $x^2 + 1 = 0$, như vậy $i^2 = -1$.1. Định nghĩaMỗi biểu thức dạng $a + bi$, trong đó $a,b in R, i^2 = – 1$ được điện thoại tư vấn là một số phức.Đối với số phức $z = a + bi$, ta nói $a$ là phần thực, $b$ là phần ảo của $z.$Tập hợp những số phức kí hiệu là $C.$2. Số phức bằng nhauHai số phức đều bằng nhau nếu phần thực với phần ảo của chúng khớp ứng bằng nhau.$a + bi = c + di Leftrightarrow a = c.$Nhận xét:1. Trường đoản cú sự cân nhau của số phức, ta suy ra mỗi số phức được hoàn toàn được xác định bởi một cặp số thực. Đây là cơ sở bỏ phần 3: trình diễn hình học tập của số phức.2. Mỗi số thực $a$ được đồng nhất với số phức $a + 0i$, phải mỗi số thực cũng là một trong những phức. Bởi đó, tập số thực $R$ là tập con của tập số phức $C.$3. Số phức $0 + bi$ được điện thoại tư vấn là số thuần ảo với được viết đơn giản là $bi$.4. Số $i$ được điện thoại tư vấn là đơn vị chức năng ảo.3. Màn biểu diễn hình học của số phứcĐiểm trình diễn số phức $z = a + bi$ trên khía cạnh phẳng tọa độ là điểm $Mleft( a;b ight).$

*

4. Mô đun số phứcGiả sử số phức $z = a + bi$ được biểu diễn bởi điểm $Mleft( a;b ight)$ trên mặt phẳng tọa độ. Khi đó, độ lâu năm của vectơ $overrightarrow OM $ được điện thoại tư vấn là mô đun của số phức $z$ với được kí hiệu là $left| z ight|$. Vậy $left| z ight| = left| overrightarrow OM ight| = sqrt a^2 + b^2$.

*

5. Số phức liên hợpCho số phức $z = a + bi$. Ta gọi $z = a – bi$ là số phức liên hợp của $z$ cùng kí hiệu là $ar z = a – bi$.Chú ý:1. Tổng của một số phức cùng với số phức liên hợp của nó nó bằng hai lần phần thực của số phức đó.2. Tích của một trong những phức với số phức liên hợp của nó nó bởi bình phương tế bào đun của số phức đó.

Xem thêm: Tổng Hợp Các Công Thức Lượng Giác Lớp 10 Cần Nhớ, Please Wait

II. Các phép toán cùng với số phức1. Phép cùng và phép trừQuy tắc: Để cộng (trừ) hai số phức, ta cùng (trừ) hai phần thực với hai phần ảo của chúng.1. $left( a + bi ight) + left( c + di ight) = left( a + c ight) + left( b + d ight)i.$2. $left( a + bi ight) – left( c + di ight) = left( a – c ight) + left( b – d ight)i.$2. Phép nhân với phép chiaa. Phép nhânPhép nhân nhị số phức được triển khai theo quy tắc nhân nhiều thức rồi cụ $i^2 = – 1$ trong kết quả nhận được.$left( a + bi ight)left( c + di ight) = left( ac – bd ight) + left( ad + bc ight)i.$b. Phép chiaQuy tắc triển khai phép chia hai số phức: “Thực hiện tại phép phân chia $fracc + dia + bi$ là nhân cả tử và mẫu với số phức phối hợp của $a + bi$”.$fracc + dia + bi = fracleft( c + di ight)left( a – bi ight)a^2 – b^2i^2$ $ = fracac + bda^2 + b^2 + fracad – bca^2 + b^2i.$3. Phương trình bậc nhị với hệ số thựcCác căn bậc nhị của số thực $a Xét phương trình bậc hai $ax^2 + bx + c = 0$ với $a,b,c in R, a e 0$. Xét biệt số $Delta = b^2 – 4ac$, ta có:+ $Delta = 0$: Phương trình tất cả một nghiệm thực $x = – fracb2a$.+ $Delta > 0$: Phương trình có hai nghiệm thực biệt lập được khẳng định bởi phương pháp $x_1,2 = frac – b pm sqrt Delta 2a$.+ $Delta 1. Trường hợp xét trên tập số thực thì phương trình vô nghiệm.2. Giả dụ xét trên tập số phức thì phương trình có hai nghiệm phức được xác minh bởi công thức $x_1,2 = frac – b pm isqrt left 2a$.