Phương trình, bất phương trình nón logarit đựng tham số m – bài xích tập bao gồm đáp án.
Bạn đang xem: Bất phương trình logarit chứa tham số
1. Bài toán 1. Search tham số m để $fleft( x;m ight)=0$ tất cả nghiệm (hoặc có k nghiệm) trên miền D.
| - cách 1. tách m thoát ra khỏi biến số x và đem về dạng $fleft( x
ight)=Pleft( m
ight)$. - bước 2. điều tra sự biến chuyển thiên của hàm số $fleft( x ight)$ trên D. - cách 3. phụ thuộc bảng biến thiên để khẳng định giá trị thông số $Pleft( m ight)$ để đường thẳng $y=Pleft( m ight)$ ở ngang cắt đồ thị hàm số $y=fleft( x ight)$. |
Hàm số $y=fleft( x ight)$ có mức giá trị bé dại nhất với giá trị lớn số 1 trên D thì giá trị $Pleft( m ight)$ đề xuất tìm nhằm phương trình bao gồm nghiệm vừa lòng $undersetxin Dmathopmin ,fleft( x ight)le Pleft( m ight)le undersetxin Dmathopmax ,fleft( x ight)$
Nếu việc yêu cầu tìm tham số để phương trình có k nghiệm phân biệt, ta chỉ việc dựa vào bảng trở nên thiên để xác định sao cho đường trực tiếp $y=Pleft( m ight)$ ở ngang giảm đồ thị hàm số $y=fleft( x ight)$ tại k điểm phân biệt.
Nếu thay đổi biến, nói theo cách khác là để ẩn phụ thì ta bắt buộc tìm đk cho biến new và biện luận mối đối sánh số nghiệm giữa biến chuyển cũ và biến đổi mới.
Nếu đề bài xích yêu ước tìm tham số m để phương trình bậc nhì theo nón hoặc lôgarit có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ thỏa mãn $ extx_1+x_2=a$ hoặc $x_1x_2=b$, ta hoàn toàn có thể sử dụng định lý Vi-ét sau khi lấy mũ hoặc lôgarit nhì vế phù hợp lí.
2. Vấn đề 2. Kiếm tìm tham số m để $fleft( x;m ight)ge 0$ hoặc $fleft( x;m ight)le 0$ bao gồm nghiệm trên D.
| - bước 1. tách bóc m ra khỏi biến số x và mang đến dạng $fleft( x
ight)ge Pleft( m
ight)$ hoặc $fleft( x
ight)le Pleft( m
ight)$ - cách 2. khảo sát sự thay đổi thiên của hàm số $fleft( x ight)$ bên trên D. - cách 3. phụ thuộc vào bảng đổi thay thiên để xác định giá trị của tham số $Pleft( m ight)$ để bất phương trình gồm nghiệm: * $Pleft( m ight)le fleft( x ight)$ tất cả nghiệm bên trên D $Leftrightarrow Pleft( m ight)le undersetxin Dmathopmax ,fleft( x ight)$. * $Pleft( m ight)ge fleft( x ight)$ tất cả nghiệm bên trên D $Leftrightarrow Pleft( m ight)ge undersetxin Dmathopmin ,fleft( x ight)$. |
– Bất phương trình $Pleft( m ight)le fleft( x ight)$ nghiệm đúng $forall xin DLeftrightarrow Pleft( m ight)le undersetxin Dmathopmin ,fleft( x ight)$.
– Bất phương trình $Pleft( m ight)ge fleft( x ight)$ nghiệm đúng $forall xin DLeftrightarrow Pleft( m ight)ge undersetxin Dmathopmax ,fleft( x ight)$.
– trường hợp $fleft( x;m ight)ge 0;forall xin mathbbR$ hoặc $fleft( x;m ight)le 0;forall xin mathbbR$ cùng với $fleft( x;m ight)$ là tam thức bậc hai, ta sẽ thực hiện dấu của tam thức bậc hai.
3. Một số cách thức áp dụng trong bài bác toán
| a) phương thức đặt ẩn phụ: Đặt $t=a^uleft( x
ight)$ hoặc $t=log _auleft( x
ight)$, tùy theo điều kiện của x ta sẽ tìm kiếm được miền xác minh của biến hóa t. b) phương pháp hàm số: Đưa phương trình (bất phương trình) về dạng $fleft( u ight)=fleft( v ight)$ với $fleft( t ight)$là hàm số 1-1 điệu và đại diện cho nhị vế của phương trình. Lúc ấy $fleft( u ight)=fleft( v ight)Leftrightarrow u=v$. c) dấu của tam thức bậc hai: Xét hàm số $fleft( x ight)=ax^2+bx+c$ gồm hai nghiệm minh bạch $x_1,x_2$ – Ta gồm $Delta =b^2-4 extac$ và định lý Vi-ét: $left{ eginarray x_1+x_2=-fracba \ x_1x_2=fracca \ endarray ight.$. – Phương trình $fleft( x ight)=0$ gồm hai nghiệm dương phân minh $Leftrightarrow left{ eginarray Delta >0 \ x_1+x_2>0 \ x_1x_2>0 \ endarray ight.$. – Phương trình $fleft( x ight)=0$ có hai nghiệm trái vết $Leftrightarrow ac0;forall xin mathbbRLeftrightarrow left{ eginarray a>0 \ Delta |
Bài tập trắc nghiệm kiếm tìm m để phương trình, bất phương trình mũ logarit tất cả đáp án
| Ví dụ 1: tất cả bao nhiêu quý hiếm nguyên của tham số m nhằm phương trình $2^x^2-2 extx=m^2-m+1$ bao gồm nghiệm ở trong đoạn $left< 0;2
ight>$? A. 2 B. 3 C. 0 D. 1 |
Xét $uleft( x ight)=x^2-2 extx$ trên $left< 0;2 ight>$, gồm $u"left( x ight)=2 extx-2;u"left( x ight)=0Leftrightarrow x=1$.
Tính $uleft( 0 ight)=0;uleft( 1 ight)=-1;uleft( 2 ight)=0xrightarrow-1le uleft( x ight)le 0Leftrightarrow frac12le 2^x^2-2 extxle 1$.
Do đó, phương trình sẽ cho có nghiệm $Leftrightarrow frac12le m^2-m+1le 1Leftrightarrow 0le mle 1$.
Kết hợp với $min mathbbZxrightarrow$ gồm 2 quý giá nguyên m bắt buộc tìm. Chọn A.
| Ví dụ 2: tất cả bao nhiêu quý giá nguyên của m nằm trong $left< -10;10
ight>$ nhằm phương trình $4^x+1-2^x+2+m=0$ bao gồm nghiệm? A. 3 B. 12 C. 7 D. 15 |
Ta tất cả $4^x+1-2^x+2+m=0Leftrightarrow left( 2^x+1 ight)^2-2.2^x+1+m=0$ (1)
Đặt $t=2^x+1>0$. Phương trình (1) biến $t^2-2t+m=0Leftrightarrow t^2-2t=-m$ (2)
Để phương trình (1) gồm nghiệm $Leftrightarrow $ phương trình (2) tất cả nghiệm $t>0$.
Cách 1. Xét hàm $fleft( t ight)=t^2-2t$ cùng với $t>0$.
Đạo hàm với lập bảng đổi thay thiên, ta tóm lại được $-mge -1Leftrightarrow mle 1$. Chọn C.
Cách 2. yêu cầu việc $Leftrightarrow $ phương trình (2) tất cả hai nghiệm $t_1,t_2$ vừa lòng $left< eginarray 00 \ S>0 \ endarray ight. \ Ple 0 \ endarray ight.Leftrightarrow left< eginarray 0
A. $log _43le mLời giải
Đặt $t=2^x>0Leftrightarrow 4^x=left( 2^x ight)^2=t^2$ và $a=3^m$ phải phương trình đã đến trở thành:
$t^2+t+4=aleft( t+1 ight)Leftrightarrow t^2-left( a-1 ight)t+4-a=0$ (*).
Yêu cầu việc $Leftrightarrow $ (*) gồm hai nghiệm dương tách biệt $t_1,t_2Leftrightarrow left{ eginarray Delta >0 \ S=t_1+t_2>0 \ P=t_1t_2>0 \ endarray ight.$
$Leftrightarrow left{ eginarray left( a-1 ight)^2-4left( 4-a ight)>0 \ a-1>0;4-a>0 \ endarray ight.Leftrightarrow left{ eginarray a^2+2 exta-15>0 \ 1
$25^x-m.5^x+1+7m^2-7=0$ gồm hai nghiệm phân biệt. Hỏi S có bao nhiêu phần tử?
A. 7 B. 1 C. 2 D. 3
Ta bao gồm $25^x-m.5^x+1+7m^2-7=0Leftrightarrow left( 5^x ight)^2-5m.5^x+7m^2-7=0$
Đặt $t=5^x>0$ bắt buộc phương trình trở thành: $t^2-5mt+7m^2-7=0$ (*).
Với mỗi nghiệm $t>0$ của phương trình (*) sẽ khớp ứng với một nghiệm x của phương trình ban đầu. Bởi đó, yêu thương cầu bài bác toán tương tự phương trình (*) có hai nghiệm dương phân biệt.
Khi kia $left{ eginarray Delta >0 \ S>0 \ P>0 \ endarray ight.Leftrightarrow left{ eginarray 25m^2-4left( 7m^2-7 ight)>0 \ 5m>0;7m^2-7>0 \ endarray ight.Leftrightarrow left{ eginarray 28-3m^2>0 \ m>0 \ endarray ight.Leftrightarrow 1
A. 2 B. 3 C. 0 D. 1
Đặt $t=2^x>0$ đề xuất phương trình đã mang lại trở thành: $t^2-2mt+2m=0$ (*).
Phương trình đã cho bao gồm hai nghiệm sáng tỏ $Leftrightarrow $ (*) gồm hai nghiệm dương tách biệt $t_1,t_2$.
$Leftrightarrow left{ eginarray Delta >0 \ S=t_1+t_2>0 \ P=t_1t_2>0 \ endarray ight.Leftrightarrow left{ eginarray 4m^2-8m>0 \ 2m>0 \ 2m>0 \ endarray ight. Leftrightarrow left{ eginarray left< eginarray m>2 \ mét vuông \ endarray ight. \ m>0 \ endarray ight.$.
Ta có $t_1t_2=2^x_1.2^x_2=2^x_1+x_2=2^3=8=2m$ suy ra $m=4$ (thỏa mãn điều kiện).
Vậy $m=4$ là cực hiếm duy nhất nên tìm. Chọn D.
| Ví dụ 6: kiếm tìm tập hợp tất cả các cực hiếm của thông số thực m nhằm phương trình $6^x+left( 3-m
ight)2^x-m=0$ bao gồm nghiệm thuộc khoảng tầm $left( 0;1
ight)$. A. $left< 3;4 ight>$ B. $left< 2;4 ight>$ C. $left( 2;4 ight)$ D. $left( 3;4 ight)$ |
Ta có $6^x+left( 3-m ight)2^x-m=0Leftrightarrow 6^x+3.2^x=left( 2^x+1 ight).mLeftrightarrow m=frac6^x+3.2^x2^x+1=frac3^x+32^-x+1$
Xét hàm số $fleft( x ight)=frac3^x+32^-x+1$ bên trên $left( 0;1 ight)$, bao gồm $f"left( x ight)=frac3^x.ln 3left( 2^-x+1 ight)+left( 3^x+3 ight).2^-xln 2left( 2^-x+1 ight)^2>0$
Suy ra hàm số $fleft( x ight)$ đồng đổi thay trên ℝ, vì thế $fleft( 0 ight)
A. 12 B. 8 C. 3 D. 17
Ta có $3^2 extx^2-3 extx+m+9=3^x^2-x+2+3^x^2-2 extx+mLeftrightarrow left( 3^2 extx^2-3 extx+m-3^x^2-2 extx+m ight)+left( 9-3^x^2-2 extx+m ight)=0$
$Leftrightarrow 3^x^2-x.left( 3^x^2-2 extx+m-9 ight)-left( 3^x^2-2 extx+m-9 ight)=0Leftrightarrow left( 3^x^2-x-1 ight)left( 3^x^2-2 extx+m-9 ight)=0Leftrightarrow left< eginarray 3^x^2-x=1 \ 3^x^2-2 extx+m=9 \ endarray ight.$
$Leftrightarrow left< eginarray x^2-x=0 \ x^2-2 extx+m=2 \ endarray ight.Leftrightarrow left< eginarray x=0;x=1 \ gleft( x ight)=x^2-2 extx+m-2=0 \ endarray ight.$
Để phương trình sẽ cho gồm 4 nghiệm rành mạch $Leftrightarrow gleft( x ight)=0$ bao gồm 2 nghiệm phân biệt khác 0, 1.
$Leftrightarrow left{ eginarray Delta ">0 \ gleft( 0 ight) e 0 \ gleft( 1 ight) e 0 \ endarray ight.Leftrightarrow left{ eginarray left( -1 ight)^2-left( m-2 ight)>0 \ m-2 e 0 \ m-3 e 0 \ endarray ight.Leftrightarrow left{ eginarray m
A. 3 B. 1 C. 0 D. 2
Ta gồm $9^x^2-2.3^x^2+1+3m-1=0Leftrightarrow left( 3^x^2 ight)^2-6.3^x^2+3m-1=0$ (*)
Vì $x^2ge 0Leftrightarrow 3^x^2ge 3^0=1$. Đặt $t=3^x^2ge 1$ buộc phải phương trình (*) $Leftrightarrow fleft( t ight)=t^2-6t+3m-1=0$
Yêu cầu bài toán $Leftrightarrow fleft( t ight)=0$ tất cả nghiệm bởi 1; nghiệm còn lại khác 1.
$Leftrightarrow fleft( 1 ight)=0Leftrightarrow 1^2-6.1+3m-1=0Leftrightarrow 3m-6=0Leftrightarrow m=2$. Chọn B.
| Ví dụ 9: đến phương trình $25^1+sqrt1-x^2-left( m+2
ight)5^1+sqrt1-x^2+2m+1=0$ cùng với m là tham số thực. Số nguyên dương m nhỏ xíu nhất nhằm phương trình bao gồm nghiệm là A. $m=2$ B. $m=8$ C. $m=4$ D. $m=6$ |
Điều kiện: $-1le xle 1$.
Xét $uleft( x ight)=1+sqrt1-x^2$, có $u"left( x ight)=-fracxsqrt1-x^2;u"left( x ight)=0Leftrightarrow x=0xrightarrowleft{ eginarray undersetleft< -1;1 ight>mathopmax ,uleft( x ight)=2 \ undersetleft< -1;1 ight>mathopmin ,uleft( x ight)=1 \ endarray ight.$.
Đặt $t=5^1+sqrt1-x^2Rightarrow tin left< 5;25 ight>$ cần phương trình $Leftrightarrow t^2-left( m+2 ight)t+2m+1=0Leftrightarrow m=fract^2-2t+1t-2$.
Do đó phương trình đã tất cả nghiệm $Leftrightarrow undersetleft< 5;25 ight>mathopmin fleft( t ight),le mle undersetleft< 5;25 ight>mathopmax fleft( t ight),oversetlongleftrightarrowfrac163le mle frac57623$.
Suy ra số nguyên dương m lớn số 1 là $m=6$. Chọn D.
Cách CASIO. xa lánh m ta được $m=frac25^1+sqrt1-x^2-2.5^1+sqrt1-x^2+15^1+sqrt1-x^2-2$.
Đặt $fleft( x ight)=frac25^1+sqrt1-x^2-2.5^1+sqrt1-x^2+15^1+sqrt1-x^2-2$. Khi ấy phương trình $Leftrightarrow fleft( x ight)=m$.
Sử dụng MODE7 điều tra hàm $fleft( x ight)$ với cấu hình thiết lập Start $-1$, end 1, Step 0, 2.
Quan sát báo giá trị ta thấy $fleft( x ight)ge fleft( 5 ight)=frac163$ giỏi $mge fleft( 5 ight)=frac163$.
Vậy m nguyên dương bé bỏng nhất là 6.
| Ví dụ 10: đến phương trình $left( m+1
ight)16^x-2left( 2m-3
ight)4^x+6m+5=0$ với m là tham số thực. Tập tất cả các quý hiếm của m để phương trình gồm hai nghiệm trái dấu gồm dạng $left( a;b
ight)$. Tính $P=ab$. A. $P=4$ B. $P=-4$ C. $P=-frac32$ D. $P=frac56$ |
Đặt $t=4^x>0$. Phương trình đổi thay $underbraceleft( m+1 ight)t^2-2left( 2m-3 ight)t+6m+5_fleft( t ight)=0$ (*).
Phương trình đang cho bao gồm hai nghiệm $x_1,x_2$ thỏa mãn nhu cầu $x_10 \ endarray ight.$
$Leftrightarrow left{ eginarray m+1 e 0 \ left( m+1 ight)left( 3m+12 ight)0 \ endarray ight.Leftrightarrow -4
$2^x^2+m extx-2^2 extx^2+2m extx+m=x^2+m extx+m$ gồm hai nghiệm thực phân biệt?
A. 9 B. 6 C. 16 D. 13
Ta gồm $2^x^2+m extx-2^2 extx^2+2m extx+m=x^2+m extx+mLeftrightarrow 2^x^2+m extx-2^2 extx^2+2m extx+m=2 extx^2+2m extx+m-left( x^2+m extx ight)$
$Leftrightarrow 2^x^2+m extx+x^2+m extx=2^2 extx^2+2m extx+m+2 extx^2+2m extx+mLeftrightarrow fleft( x^2+m extx ight)=fleft( 2 extx^2+2m extx+m ight)$ (*).
Xét hàm số $fleft( t ight)=2^t+t$ bên trên $left( -infty ;+infty ight)$, gồm $f"left( t ight)=2^t.ln 2+1>0;forall xin mathbbR$.
Suy ra $fleft( t ight)$ là hàm số đồng trở nên trên $left( -infty ;+infty ight)$ bắt buộc (*) $Leftrightarrow x^2+m extx=2 extx^2+2m extx+m$
$Leftrightarrow x^2+m extx+m=0$ bao gồm hai nghiệm rành mạch $Leftrightarrow Delta =m^2-4m>0Leftrightarrow left< eginarray m>4 \ m
A. 9 B. 18 C. 11 D. 15
PT $Leftrightarrow e^m.sin x-cos x+m.sin x-cos x=e^2-2cos x+2-2cos xLeftrightarrow fleft( m.sin x-cos x ight)=fleft( 2-2cos x ight)$
Với $fleft( t ight)=e^t+t$ là hàm số đồng vươn lên là trên $left( -infty ;+infty ight)$ đề xuất ta được $m.sin x-cos x=2-2cos x$
$Leftrightarrow m.sin x+cos x=2$ gồm nghiệm lúc $m^2+1^2ge 2^2Leftrightarrow m^2ge 3Leftrightarrow left< eginarray mge sqrt3 \ mle -sqrt3 \ endarray ight.$.
Kết hợp với $min mathbbZ$ và $min left< -10;10 ight>xrightarrow$ có 9 + 9 = 18 cực hiếm nguyên bắt buộc tìm. Chọn B.
| Ví dụ 13: tất cả bao nhiêu quý hiếm nguyên của tham số thực m nhỏ hơn 10 làm sao cho phương trình $sqrtm+sqrtm+e^x=e^x$ gồm nghiệm thực? A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 |
Ta bao gồm $sqrtm+sqrtm+e^x=e^xLeftrightarrow m+sqrtm+e^x=left( e^x ight)^2Leftrightarrow left( sqrtm+e^x ight)^2+sqrtm+e^x=left( e^x ight)^2+e^x$ (*).
Xét hàm số $fleft( t ight)=t^2+t$ trên $left( 0;+infty ight)$, bao gồm $f"left( t ight)=2t+1>0;forall t>0$
Suy ra $fleft( t ight)$ là hàm số đồng biến đổi trên $left( 0;+infty ight)$ cần (*) $Leftrightarrow fleft( sqrtm+e^x ight)=fleft( e^x ight)$
$Leftrightarrow sqrtm+e^x=e^xLeftrightarrow m+e^x=left( e^x ight)^2Leftrightarrow m=left( e^x ight)^2-e^xxrightarrowa=e^x>0m=gleft( a ight)=a^2-a$.
Xét hàm số $gleft( a ight)=a^2-a$ bên trên $left( 0;+infty ight)$, có $g"left( a ight)=2 exta-1;g"left( a ight)=0Leftrightarrow a=frac12$.
Dựa vào BBT, ta thấy $m=gleft( a ight)$ gồm nghiệm thực dương $Leftrightarrow mge gleft( frac12 ight)=-frac14$.
Kết phù hợp với $min mathbbZ$ với $m
A. $0Lời giải
Đặt $t=sqrt<4>e^2 extx+1$, bởi vì $e^2 extx>0xrightarrowt>1$. Suy ra $t^4=e^2 extx+1Leftrightarrow left( e^fracx2 ight)^4=t^4-1Leftrightarrow e^fracx2=sqrt<4>t^4-1$.
Khi kia phương trình đang cho biến $m+sqrt<4>t^4-1=tLeftrightarrow m=t-sqrt<4>t^4-1$ (*)
Xét hàm số $fleft( t ight)=t-sqrt<4>t^4-1$ trên $left( 1;+infty ight)$, có $f"left( t ight)=1-fract^3sqrt<4>left( t^4-1 ight)^31$
Suy ra hàm số $fleft( t ight)$ nghịch đổi mới trên khoảng chừng $left( 1;+infty ight)$.
A. 8 B. 5 C. 6 D. 7
Ta có $left( frac2e ight)^x^2+2m extx+1le left( frace2 ight)^2 extx-3mLeftrightarrow left( frac2e ight)^x^2+2m extx+1le left( frac2e ight)^3m-2 extxLeftrightarrow x^2+2m extx+1ge 3m-2 extx$
$Leftrightarrow x^2+2left( m+1 ight)x-3m+1ge 0;forall xin mathbbRLeftrightarrow left{ eginarray a=1>0 \ Delta "=left( m+1 ight)^2-left( 1-3m ight)le 0 \ endarray ight.Leftrightarrow -5le mle 0$.
Kết hợp với $min mathbbZxrightarrow$ gồm 6 quý giá nguyên m bắt buộc tìm. Chọn C.
| Ví dụ 16: tất cả bao nhiêu quý giá nguyên của $min left< -10;10
ight>$ nhằm bất phương trình $9^x-m.3^x-m+3>0$ nghiệm đúng với đa số $xin mathbbR$? A. 12 B. đôi mươi C. 8 D. 4 |
Đặt $t=3^x>0$ thì bất phương trình trở thành: $t^2-mt-m+3>0,forall t>0$
$Leftrightarrow mleft( t+1 ight)0 \ t^2+2t-3=0 \ endarray ight.Leftrightarrow t=1$.
$3^2 extx+1-left( m+3 ight).3^x-2left( m+3 ight)>0$ gồm nghiệm?
A. 10 B. 5 C. 19 D. 13
Đặt $t=3^x>0$ thì bất phương trình trở thành: $3t^2-left( m+3 ight)t-2m-6frac3t^2-3t-6t+2=fleft( t ight)$.
Xét hàm số $fleft( t ight)=frac3t^2-3t-6t+2$ trên $left( 0;+infty ight)$, có $f"left( t ight)=frac3t^2+12tleft( t+2 ight)^2>0;forall t>0$.
Suy ra $fleft( t ight)$ là hàm số đồng phát triển thành trên $left( 0;+infty ight)Leftrightarrow min fleft( t ight)=-3$.
Yêu cầu việc $Leftrightarrow m>undersetleft( 0;+infty ight)mathopmin ,fleft( t ight)=-3$.
Kết phù hợp với $min mathbbZ$ với $min left< -10;10 ight>xrightarrow$ tất cả 13 cực hiếm nguyên nên tìm. Chọn D.
| Ví dụ 18: mang lại bất phương trình $m.3^x+1+left( 3m+2
ight)left( 4-sqrt7
ight)^x+left( 4+sqrt7
ight)^x>0$, với m là tham số. Tìm toàn bộ các cực hiếm của tham số m nhằm bất phương trình đã cho nghiệm đúng với tất cả $x A. $m>frac2+2sqrt33$ B. $m>frac2-2sqrt33$ C. |