Phương trình, bất phương trình mũ logarit chứa tham số m – bài tập có đáp án.
Bạn đang xem: Bất phương trình logarit chứa tham số
1. Bài toán 1. Tìm tham số m để $f\left( x;m \right)=0$ có nghiệm (hoặc có k nghiệm) trên miền D.
| - Bước 1. Tách m ra khỏi biến số x và đưa về dạng $f\left( x \right)=P\left( m \right)$. - Bước 2. Khảo sát sự biến thiên của hàm số $f\left( x \right)$ trên D. - Bước 3. Dựa vào bảng biến thiên để xác định giá trị tham số $P\left( m \right)$ để đường thẳng $y=P\left( m \right)$ nằm ngang cắt đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$. |
Hàm số $y=f\left( x \right)$ có giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất trên D thì giá trị $P\left( m \right)$ cần tìm để phương trình có nghiệm thỏa mãn $\underset{x\in D}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right)\le P\left( m \right)\le \underset{x\in D}{\mathop{\max }}\,f\left( x \right)$
Nếu bài toán yêu cầu tìm tham số để phương trình có k nghiệm phân biệt, ta chỉ cần dựa vào bảng biến thiên để xác định sao cho đường thẳng $y=P\left( m \right)$ nằm ngang cắt đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ tại k điểm phân biệt.
Nếu đổi biến, nói cách khác là đặt ẩn phụ thì ta cần tìm điều kiện cho biến mới và biện luận mối tương quan số nghiệm giữa biến cũ và biến mới.
Nếu đề bài yêu cầu tìm tham số m để phương trình bậc hai theo mũ hoặc lôgarit có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ thỏa mãn ${{\text{x}}_{1}}+{{x}_{2}}=a$ hoặc ${{x}_{1}}{{x}_{2}}=b$, ta có thể sử dụng định lý Vi-ét sau khi lấy mũ hoặc lôgarit hai vế hợp lí.
2. Bài toán 2. Tìm tham số m để $f\left( x;m \right)\ge 0$ hoặc $f\left( x;m \right)\le 0$ có nghiệm trên D.
| - Bước 1. Tách m ra khỏi biến số x và đưa về dạng $f\left( x \right)\ge P\left( m \right)$ hoặc $f\left( x \right)\le P\left( m \right)$ - Bước 2. Khảo sát sự biến thiên của hàm số $f\left( x \right)$ trên D. - Bước 3. Dựa vào bảng biến thiên để xác định giá trị của tham số $P\left( m \right)$ để bất phương trình có nghiệm: * $P\left( m \right)\le f\left( x \right)$ có nghiệm trên D $\Leftrightarrow P\left( m \right)\le \underset{x\in D}{\mathop{\max }}\,f\left( x \right)$. * $P\left( m \right)\ge f\left( x \right)$ có nghiệm trên D $\Leftrightarrow P\left( m \right)\ge \underset{x\in D}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right)$. |
– Bất phương trình $P\left( m \right)\le f\left( x \right)$ nghiệm đúng $\forall x\in D\Leftrightarrow P\left( m \right)\le \underset{x\in D}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right)$.
– Bất phương trình $P\left( m \right)\ge f\left( x \right)$ nghiệm đúng $\forall x\in D\Leftrightarrow P\left( m \right)\ge \underset{x\in D}{\mathop{\max }}\,f\left( x \right)$.
– Nếu $f\left( x;m \right)\ge 0;\forall x\in \mathbb{R}$ hoặc $f\left( x;m \right)\le 0;\forall x\in \mathbb{R}$ với $f\left( x;m \right)$ là tam thức bậc hai, ta sẽ sử dụng dấu của tam thức bậc hai.
3. Một số phương pháp áp dụng trong bài toán
| a) Phương pháp đặt ẩn phụ: Đặt $t={{a}^{u\left( x \right)}}$ hoặc $t={{\log }_{a}}u\left( x \right)$, tùy theo điều kiện của x ta sẽ tìm được miền xác định của biến t. b) Phương pháp hàm số: Đưa phương trình (bất phương trình) về dạng $f\left( u \right)=f\left( v \right)$ với $f\left( t \right)$là hàm số đơn điệu và đại diện cho hai vế của phương trình. Khi đó $f\left( u \right)=f\left( v \right)\Leftrightarrow u=v$. c) Dấu của tam thức bậc hai: Xét hàm số $f\left( x \right)=a{{x}^{2}}+bx+c$ có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ – Ta có $\Delta ={{b}^{2}}-4\text{a}c$ và định lý Vi-ét: $\left\{ \begin{array} {} {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\frac{b}{a} \\ {} {{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{c}{a} \\ \end{array} \right.$. – Phương trình $f\left( x \right)=0$ có hai nghiệm dương phân biệt $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} \Delta >0 \\ {} {{x}_{1}}+{{x}_{2}}>0 \\ {} {{x}_{1}}{{x}_{2}}>0 \\ \end{array} \right.$. – Phương trình $f\left( x \right)=0$ có hai nghiệm trái dấu $\Leftrightarrow ac0;\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} a>0 \\ {} \Delta |
Bài tập trắc nghiệm tìm m để phương trình, bất phương trình mũ logarit có đáp án
| Ví dụ 1: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình ${{2}^{{{x}^{2}}-2\text{x}}}={{m}^{2}}-m+1$ có nghiệm thuộc đoạn $\left< 0;2 \right>$? A. 2 B. 3 C. 0 D. 1 |
Xét $u\left( x \right)={{x}^{2}}-2\text{x}$ trên $\left< 0;2 \right>$, có ${u}"\left( x \right)=2\text{x}-2;{u}"\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=1$.
Tính $u\left( 0 \right)=0;u\left( 1 \right)=-1;u\left( 2 \right)=0\xrightarrow{{}}-1\le u\left( x \right)\le 0\Leftrightarrow \frac{1}{2}\le {{2}^{{{x}^{2}}-2\text{x}}}\le 1$.
Do đó, phương trình đã cho có nghiệm $\Leftrightarrow \frac{1}{2}\le {{m}^{2}}-m+1\le 1\Leftrightarrow 0\le m\le 1$.
Kết hợp với $m\in \mathbb{Z}\xrightarrow{{}}$ có 2 giá trị nguyên m cần tìm. Chọn A.
| Ví dụ 2: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc $\left< -10;10 \right>$ để phương trình ${{4}^{x+1}}-{{2}^{x+2}}+m=0$ có nghiệm? A. 3 B. 12 C. 7 D. 15 |
Ta có ${{4}^{x+1}}-{{2}^{x+2}}+m=0\Leftrightarrow {{\left( {{2}^{x+1}} \right)}^{2}}-{{2.2}^{x+1}}+m=0$ (1)
Đặt $t={{2}^{x+1}}>0$. Phương trình (1) trở thành ${{t}^{2}}-2t+m=0\Leftrightarrow {{t}^{2}}-2t=-m$ (2)
Để phương trình (1) có nghiệm $\Leftrightarrow $ phương trình (2) có nghiệm $t>0$.
Cách 1. Xét hàm $f\left( t \right)={{t}^{2}}-2t$ với $t>0$.
Đạo hàm và lập bảng biến thiên, ta kết luận được $-m\ge -1\Leftrightarrow m\le 1$. Chọn C.
Cách 2. Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow $ phương trình (2) có hai nghiệm ${{t}_{1}},{{t}_{2}}$ thỏa mãn $\left< \begin{array} {} 00 \\ {} S>0 \\ \end{array} \right. \\ {} P\le 0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left< \begin{array} {} 0
A. ${{\log }_{4}}3\le mLời giải
Đặt $t={{2}^{x}}>0\Leftrightarrow {{4}^{x}}={{\left( {{2}^{x}} \right)}^{2}}={{t}^{2}}$ và $a={{3}^{m}}$ nên phương trình đã cho trở thành:
${{t}^{2}}+t+4=a\left( t+1 \right)\Leftrightarrow {{t}^{2}}-\left( a-1 \right)t+4-a=0$ (*).
Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow $ (*) có hai nghiệm dương phân biệt ${{t}_{1}},{{t}_{2}}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} \Delta >0 \\ {} S={{t}_{1}}+{{t}_{2}}>0 \\ {} P={{t}_{1}}{{t}_{2}}>0 \\ \end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} {{\left( a-1 \right)}^{2}}-4\left( 4-a \right)>0 \\ {} a-1>0;4-a>0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} {{a}^{2}}+2\text{a}-15>0 \\ {} 1
${{25}^{x}}-m{{.5}^{x+1}}+7{{m}^{2}}-7=0$ có hai nghiệm phân biệt. Hỏi S có bao nhiêu phần tử?
A. 7 B. 1 C. 2 D. 3
Ta có ${{25}^{x}}-m{{.5}^{x+1}}+7{{m}^{2}}-7=0\Leftrightarrow {{\left( {{5}^{x}} \right)}^{2}}-5m{{.5}^{x}}+7{{m}^{2}}-7=0$
Đặt $t={{5}^{x}}>0$ nên phương trình trở thành: ${{t}^{2}}-5mt+7{{m}^{2}}-7=0$ (*).
Với mỗi nghiệm $t>0$ của phương trình (*) sẽ tương ứng với một nghiệm x của phương trình ban đầu. Do đó, yêu cầu bài toán tương đương phương trình (*) có hai nghiệm dương phân biệt.
Khi đó $\left\{ \begin{array} {} \Delta >0 \\ {} S>0 \\ {} P>0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} 25{{m}^{2}}-4\left( 7{{m}^{2}}-7 \right)>0 \\ {} 5m>0;7{{m}^{2}}-7>0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} 28-3{{m}^{2}}>0 \\ {} m>0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow 1
A. 2 B. 3 C. 0 D. 1
Đặt $t={{2}^{x}}>0$ nên phương trình đã cho trở thành: ${{t}^{2}}-2mt+2m=0$ (*).
Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow $ (*) có hai nghiệm dương phân biệt ${{t}_{1}},{{t}_{2}}$.
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} \Delta >0 \\ {} S={{t}_{1}}+{{t}_{2}}>0 \\ {} P={{t}_{1}}{{t}_{2}}>0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} 4{{m}^{2}}-8m>0 \\ {} 2m>0 \\ {} 2m>0 \\ \end{array} \right. {} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} \left< \begin{array} {} m>2 \\ {} m2 \\ \end{array} \right. \\ {} m>0 \\ \end{array} \right.$.
Ta có ${{t}_{1}}{{t}_{2}}={{2}^{{{x}_{1}}}}{{.2}^{{{x}_{2}}}}={{2}^{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}}={{2}^{3}}=8=2m$ suy ra $m=4$ (thỏa mãn điều kiện).
Vậy $m=4$ là giá trị duy nhất cần tìm. Chọn D.
| Ví dụ 6: Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m để phương trình ${{6}^{x}}+\left( 3-m \right){{2}^{x}}-m=0$ có nghiệm thuộc khoảng $\left( 0;1 \right)$. A. $\left< 3;4 \right>$ B. $\left< 2;4 \right>$ C. $\left( 2;4 \right)$ D. $\left( 3;4 \right)$ |
Ta có ${{6}^{x}}+\left( 3-m \right){{2}^{x}}-m=0\Leftrightarrow {{6}^{x}}+{{3.2}^{x}}=\left( {{2}^{x}}+1 \right).m\Leftrightarrow m=\frac{{{6}^{x}}+{{3.2}^{x}}}{{{2}^{x}}+1}=\frac{{{3}^{x}}+3}{{{2}^{-x}}+1}$
Xét hàm số $f\left( x \right)=\frac{{{3}^{x}}+3}{{{2}^{-x}}+1}$ trên $\left( 0;1 \right)$, có ${f}"\left( x \right)=\frac{{{3}^{x}}.\ln 3\left( {{2}^{-x}}+1 \right)+\left( {{3}^{x}}+3 \right){{.2}^{-x}}\ln 2}{{{\left( {{2}^{-x}}+1 \right)}^{2}}}>0$
Suy ra hàm số $f\left( x \right)$ đồng biến trên ℝ, do đó $f\left( 0 \right)
A. 12 B. 8 C. 3 D. 17
Ta có ${{3}^{2{{\text{x}}^{2}}-3\text{x}+m}}+9={{3}^{{{x}^{2}}-x+2}}+{{3}^{{{x}^{2}}-2\text{x}+m}}\Leftrightarrow \left( {{3}^{2{{\text{x}}^{2}}-3\text{x}+m}}-{{3}^{{{x}^{2}}-2\text{x}+m}} \right)+\left( 9-{{3}^{{{x}^{2}}-2\text{x}+m}} \right)=0$
$\Leftrightarrow {{3}^{{{x}^{2}}-x}}.\left( {{3}^{{{x}^{2}}-2\text{x}+m}}-9 \right)-\left( {{3}^{{{x}^{2}}-2\text{x}+m}}-9 \right)=0\Leftrightarrow \left( {{3}^{{{x}^{2}}-x}}-1 \right)\left( {{3}^{{{x}^{2}}-2\text{x}+m}}-9 \right)=0\Leftrightarrow \left< \begin{array} {} {{3}^{{{x}^{2}}-x}}=1 \\ {} {{3}^{{{x}^{2}}-2\text{x}+m}}=9 \\ \end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \left< \begin{array} {} {{x}^{2}}-x=0 \\ {} {{x}^{2}}-2\text{x}+m=2 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left< \begin{array} {} x=0;x=1 \\ {} g\left( x \right)={{x}^{2}}-2\text{x}+m-2=0 \\ \end{array} \right.$
Để phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow g\left( x \right)=0$ có 2 nghiệm phân biệt khác 0, 1.
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} {\Delta }">0 \\ {} g\left( 0 \right)\ne 0 \\ {} g\left( 1 \right)\ne 0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} {{\left( -1 \right)}^{2}}-\left( m-2 \right)>0 \\ {} m-2\ne 0 \\ {} m-3\ne 0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} m
A. 3 B. 1 C. 0 D. 2
Ta có ${{9}^{{{x}^{2}}}}-{{2.3}^{{{x}^{2}}+1}}+3m-1=0\Leftrightarrow {{\left( {{3}^{{{x}^{2}}}} \right)}^{2}}-{{6.3}^{{{x}^{2}}}}+3m-1=0$ (*)
Vì ${{x}^{2}}\ge 0\Leftrightarrow {{3}^{{{x}^{2}}}}\ge {{3}^{0}}=1$. Đặt $t={{3}^{{{x}^{2}}}}\ge 1$ nên phương trình (*) $\Leftrightarrow f\left( t \right)={{t}^{2}}-6t+3m-1=0$
Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow f\left( t \right)=0$ có nghiệm bằng 1; nghiệm còn lại khác 1.
$\Leftrightarrow f\left( 1 \right)=0\Leftrightarrow {{1}^{2}}-6.1+3m-1=0\Leftrightarrow 3m-6=0\Leftrightarrow m=2$. Chọn B.
| Ví dụ 9: Cho phương trình ${{25}^{1+\sqrt{1-{{x}^{2}}}}}-\left( m+2 \right){{5}^{1+\sqrt{1-{{x}^{2}}}}}+2m+1=0$ với m là tham số thực. Số nguyên dương m bé nhất để phương trình có nghiệm là A. $m=2$ B. $m=8$ C. $m=4$ D. $m=6$ |
Điều kiện: $-1\le x\le 1$.
Xét $u\left( x \right)=1+\sqrt{1-{{x}^{2}}}$, có ${u}"\left( x \right)=-\frac{x}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}};{u}"\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=0\xrightarrow{{}}\left\{ \begin{array} {} \underset{\left< -1;1 \right>}{\mathop{\max }}\,u\left( x \right)=2 \\ {} \underset{\left< -1;1 \right>}{\mathop{\min }}\,u\left( x \right)=1 \\ \end{array} \right.$.
Đặt $t={{5}^{1+\sqrt{1-{{x}^{2}}}}}\Rightarrow t\in \left< 5;25 \right>$ nên phương trình $\Leftrightarrow {{t}^{2}}-\left( m+2 \right)t+2m+1=0\Leftrightarrow m=\frac{{{t}^{2}}-2t+1}{t-2}$.
Do đó phương trình đã có nghiệm $\Leftrightarrow \underset{\left< 5;25 \right>}{\mathop{\min f\left( t \right)}}\,\le m\le \underset{\left< 5;25 \right>}{\mathop{\max f\left( t \right)}}\,\overset{{}}{\longleftrightarrow}\frac{16}{3}\le m\le \frac{576}{23}$.
Suy ra số nguyên dương m lớn nhất là $m=6$. Chọn D.
Cách CASIO. Cô lập m ta được $m=\frac{{{25}^{1+\sqrt{1-{{x}^{2}}}}}-{{2.5}^{1+\sqrt{1-{{x}^{2}}}}}+1}{{{5}^{1+\sqrt{1-{{x}^{2}}}}}-2}$.
Đặt $f\left( x \right)=\frac{{{25}^{1+\sqrt{1-{{x}^{2}}}}}-{{2.5}^{1+\sqrt{1-{{x}^{2}}}}}+1}{{{5}^{1+\sqrt{1-{{x}^{2}}}}}-2}$. Khi đó phương trình $\Leftrightarrow f\left( x \right)=m$.
Sử dụng MODE7 khảo sát hàm $f\left( x \right)$ với thiết lập Start $-1$, End 1, Step 0, 2.
Quan sát bảng giá trị ta thấy $f\left( x \right)\ge f\left( 5 \right)=\frac{16}{3}$ hay $m\ge f\left( 5 \right)=\frac{16}{3}$.
Vậy m nguyên dương bé nhất là 6.
| Ví dụ 10: Cho phương trình $\left( m+1 \right){{16}^{x}}-2\left( 2m-3 \right){{4}^{x}}+6m+5=0$ với m là tham số thực. Tập tất cả các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm trái dấu có dạng $\left( a;b \right)$. Tính $P=ab$. A. $P=4$ B. $P=-4$ C. $P=-\frac{3}{2}$ D. $P=\frac{5}{6}$ |
Đặt $t={{4}^{x}}>0$. Phương trình trở thành $\underbrace{\left( m+1 \right){{t}^{2}}-2\left( 2m-3 \right)t+6m+5}_{f\left( t \right)}=0$ (*).
Phương trình đã cho có hai nghiệm ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ thỏa mãn ${{x}_{1}}0 \\ \end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} m+1\ne 0 \\ {} \left( m+1 \right)\left( 3m+12 \right)0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow -4
${{2}^{{{x}^{2}}+m\text{x}}}-{{2}^{2{{\text{x}}^{2}}+2m\text{x}+m}}={{x}^{2}}+m\text{x}+m$ có hai nghiệm thực phân biệt?
A. 9 B. 6 C. 16 D. 13
Ta có ${{2}^{{{x}^{2}}+m\text{x}}}-{{2}^{2{{\text{x}}^{2}}+2m\text{x}+m}}={{x}^{2}}+m\text{x}+m\Leftrightarrow {{2}^{{{x}^{2}}+m\text{x}}}-{{2}^{2{{\text{x}}^{2}}+2m\text{x}+m}}=2{{\text{x}}^{2}}+2m\text{x}+m-\left( {{x}^{2}}+m\text{x} \right)$
$\Leftrightarrow {{2}^{{{x}^{2}}+m\text{x}}}+{{x}^{2}}+m\text{x}={{2}^{2{{\text{x}}^{2}}+2m\text{x}+m}}+2{{\text{x}}^{2}}+2m\text{x}+m\Leftrightarrow f\left( {{x}^{2}}+m\text{x} \right)=f\left( 2{{\text{x}}^{2}}+2m\text{x}+m \right)$ (*).
Xét hàm số $f\left( t \right)={{2}^{t}}+t$ trên $\left( -\infty ;+\infty \right)$, có ${f}"\left( t \right)={{2}^{t}}.\ln 2+1>0;\forall x\in \mathbb{R}$.
Suy ra $f\left( t \right)$ là hàm số đồng biến trên $\left( -\infty ;+\infty \right)$ nên (*) $\Leftrightarrow {{x}^{2}}+m\text{x}=2{{\text{x}}^{2}}+2m\text{x}+m$
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}+m\text{x}+m=0$ có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow \Delta ={{m}^{2}}-4m>0\Leftrightarrow \left< \begin{array} {} m>4 \\ {} m
A. 9 B. 18 C. 11 D. 15
PT $\Leftrightarrow {{e}^{m.\sin x-\cos x}}+m.\sin x-\cos x={{e}^{2-2\cos x}}+2-2\cos x\Leftrightarrow f\left( m.\sin x-\cos x \right)=f\left( 2-2\cos x \right)$
Với $f\left( t \right)={{e}^{t}}+t$ là hàm số đồng biến trên $\left( -\infty ;+\infty \right)$ nên ta được $m.\sin x-\cos x=2-2\cos x$
$\Leftrightarrow m.\sin x+\cos x=2$ có nghiệm khi ${{m}^{2}}+{{1}^{2}}\ge {{2}^{2}}\Leftrightarrow {{m}^{2}}\ge 3\Leftrightarrow \left< \begin{array} {} m\ge \sqrt{3} \\ {} m\le -\sqrt{3} \\ \end{array} \right.$.
Kết hợp với $m\in \mathbb{Z}$ và $m\in \left< -10;10 \right>\xrightarrow{{}}$ có 9 + 9 = 18 giá trị nguyên cần tìm. Chọn B.
| Ví dụ 13: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực m nhỏ hơn 10 sao cho phương trình $\sqrt{m+\sqrt{m+{{e}^{x}}}}={{e}^{x}}$ có nghiệm thực? A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 |
Ta có $\sqrt{m+\sqrt{m+{{e}^{x}}}}={{e}^{x}}\Leftrightarrow m+\sqrt{m+{{e}^{x}}}={{\left( {{e}^{x}} \right)}^{2}}\Leftrightarrow {{\left( \sqrt{m+{{e}^{x}}} \right)}^{2}}+\sqrt{m+{{e}^{x}}}={{\left( {{e}^{x}} \right)}^{2}}+{{e}^{x}}$ (*).
Xét hàm số $f\left( t \right)={{t}^{2}}+t$ trên $\left( 0;+\infty \right)$, có ${f}"\left( t \right)=2t+1>0;\forall t>0$
Suy ra $f\left( t \right)$ là hàm số đồng biến trên $\left( 0;+\infty \right)$ nên (*) $\Leftrightarrow f\left( \sqrt{m+{{e}^{x}}} \right)=f\left( {{e}^{x}} \right)$
$\Leftrightarrow \sqrt{m+{{e}^{x}}}={{e}^{x}}\Leftrightarrow m+{{e}^{x}}={{\left( {{e}^{x}} \right)}^{2}}\Leftrightarrow m={{\left( {{e}^{x}} \right)}^{2}}-{{e}^{x}}\xrightarrow{a={{e}^{x}}>0}m=g\left( a \right)={{a}^{2}}-a$.
Xét hàm số $g\left( a \right)={{a}^{2}}-a$ trên $\left( 0;+\infty \right)$, có ${g}"\left( a \right)=2\text{a}-1;{g}"\left( a \right)=0\Leftrightarrow a=\frac{1}{2}$.
Dựa vào BBT, ta thấy $m=g\left( a \right)$ có nghiệm thực dương $\Leftrightarrow m\ge g\left( \frac{1}{2} \right)=-\frac{1}{4}$.
Kết hợp với $m\in \mathbb{Z}$ và $m
A. $0Lời giải
Đặt $t=\sqrt<4>{{{e}^{2\text{x}}}+1}$, vì ${{e}^{2\text{x}}}>0\xrightarrow{{}}t>1$. Suy ra ${{t}^{4}}={{e}^{2\text{x}}}+1\Leftrightarrow {{\left( {{e}^{\frac{x}{2}}} \right)}^{4}}={{t}^{4}}-1\Leftrightarrow {{e}^{\frac{x}{2}}}=\sqrt<4>{{{t}^{4}}-1}$.
Khi đó phương trình đã cho trở thành $m+\sqrt<4>{{{t}^{4}}-1}=t\Leftrightarrow m=t-\sqrt<4>{{{t}^{4}}-1}$ (*)
Xét hàm số $f\left( t \right)=t-\sqrt<4>{{{t}^{4}}-1}$ trên $\left( 1;+\infty \right)$, có ${f}"\left( t \right)=1-\frac{{{t}^{3}}}{\sqrt<4>{{{\left( {{t}^{4}}-1 \right)}^{3}}}}1$
Suy ra hàm số $f\left( t \right)$ nghịch biến trên khoảng $\left( 1;+\infty \right)$.
A. 8 B. 5 C. 6 D. 7
Ta có ${{\left( \frac{2}{e} \right)}^{{{x}^{2}}+2m\text{x}+1}}\le {{\left( \frac{e}{2} \right)}^{2\text{x}-3m}}\Leftrightarrow {{\left( \frac{2}{e} \right)}^{{{x}^{2}}+2m\text{x}+1}}\le {{\left( \frac{2}{e} \right)}^{3m-2\text{x}}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}+2m\text{x}+1\ge 3m-2\text{x}$
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}+2\left( m+1 \right)x-3m+1\ge 0;\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} a=1>0 \\ {} {\Delta }"={{\left( m+1 \right)}^{2}}-\left( 1-3m \right)\le 0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow -5\le m\le 0$.
Kết hợp với $m\in \mathbb{Z}\xrightarrow{{}}$ có 6 giá trị nguyên m cần tìm. Chọn C.
| Ví dụ 16: Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m\in \left< -10;10 \right>$ để bất phương trình ${{9}^{x}}-m{{.3}^{x}}-m+3>0$ nghiệm đúng với mọi $x\in \mathbb{R}$? A. 12 B. 20 C. 8 D. 4 |
Đặt $t={{3}^{x}}>0$ thì bất phương trình trở thành: ${{t}^{2}}-mt-m+3>0,\forall t>0$
$\Leftrightarrow m\left( t+1 \right)0 \\ {} {{t}^{2}}+2t-3=0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow t=1$.
${{3}^{2\text{x}+1}}-\left( m+3 \right){{.3}^{x}}-2\left( m+3 \right)>0$ có nghiệm?
A. 10 B. 5 C. 19 D. 13
Đặt $t={{3}^{x}}>0$ thì bất phương trình trở thành: $3{{t}^{2}}-\left( m+3 \right)t-2m-6\frac{3{{t}^{2}}-3t-6}{t+2}=f\left( t \right)$.
Xét hàm số $f\left( t \right)=\frac{3{{t}^{2}}-3t-6}{t+2}$ trên $\left( 0;+\infty \right)$, có ${f}"\left( t \right)=\frac{3{{t}^{2}}+12t}{{{\left( t+2 \right)}^{2}}}>0;\forall t>0$.
Suy ra $f\left( t \right)$ là hàm số đồng biến trên $\left( 0;+\infty \right)\Leftrightarrow \min f\left( t \right)=-3$.
Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow m>\underset{\left( 0;+\infty \right)}{\mathop{\min }}\,f\left( t \right)=-3$.
Kết hợp với $m\in \mathbb{Z}$ và $m\in \left< -10;10 \right>\xrightarrow{{}}$ có 13 giá trị nguyên cần tìm. Chọn D.
| Ví dụ 18: Cho bất phương trình $m{{.3}^{x+1}}+\left( 3m+2 \right){{\left( 4-\sqrt{7} \right)}^{x}}+{{\left( 4+\sqrt{7} \right)}^{x}}>0$, với m là tham số. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi $x A. $m>\frac{2+2\sqrt{3}}{3}$ B. $m>\frac{2-2\sqrt{3}}{3}$ C. |