Phương trình, bất phương trình mũ logarit chứa tham số m – bài tập có đáp án.

Bạn đang xem: Bất phương trình logarit chứa tham số

1. Bài toán 1. Tìm tham số m để $f\left( x;m \right)=0$ có nghiệm (hoặc có k nghiệm) trên miền D.

- Bước 1. Tách m ra khỏi biến số x và đưa về dạng $f\left( x \right)=P\left( m \right)$.

- Bước 2. Khảo sát sự biến thiên của hàm số $f\left( x \right)$ trên D.

- Bước 3. Dựa vào bảng biến thiên để xác định giá trị tham số $P\left( m \right)$ để đường thẳng $y=P\left( m \right)$ nằm ngang cắt đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$.

Một số kiến thức quan trọng để giải quyết bài toán 1

Hàm số $y=f\left( x \right)$ có giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất trên D thì giá trị $P\left( m \right)$ cần tìm để phương trình có nghiệm thỏa mãn $\underset{x\in D}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right)\le P\left( m \right)\le \underset{x\in D}{\mathop{\max }}\,f\left( x \right)$

Nếu bài toán yêu cầu tìm tham số để phương trình có k nghiệm phân biệt, ta chỉ cần dựa vào bảng biến thiên để xác định sao cho đường thẳng $y=P\left( m \right)$ nằm ngang cắt đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ tại k điểm phân biệt.

Nếu đổi biến, nói cách khác là đặt ẩn phụ thì ta cần tìm điều kiện cho biến mới và biện luận mối tương quan số nghiệm giữa biến cũ và biến mới.

Nếu đề bài yêu cầu tìm tham số m để phương trình bậc hai theo mũ hoặc lôgarit có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ thỏa mãn ${{\text{x}}_{1}}+{{x}_{2}}=a$ hoặc ${{x}_{1}}{{x}_{2}}=b$, ta có thể sử dụng định lý Vi-ét sau khi lấy mũ hoặc lôgarit hai vế hợp lí.

2. Bài toán 2. Tìm tham số m để $f\left( x;m \right)\ge 0$ hoặc $f\left( x;m \right)\le 0$ có nghiệm trên D.

- Bước 1. Tách m ra khỏi biến số x và đưa về dạng $f\left( x \right)\ge P\left( m \right)$ hoặc $f\left( x \right)\le P\left( m \right)$

- Bước 2. Khảo sát sự biến thiên của hàm số $f\left( x \right)$ trên D.

- Bước 3. Dựa vào bảng biến thiên để xác định giá trị của tham số $P\left( m \right)$ để bất phương trình có nghiệm:

* $P\left( m \right)\le f\left( x \right)$ có nghiệm trên D $\Leftrightarrow P\left( m \right)\le \underset{x\in D}{\mathop{\max }}\,f\left( x \right)$.

* $P\left( m \right)\ge f\left( x \right)$ có nghiệm trên D $\Leftrightarrow P\left( m \right)\ge \underset{x\in D}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right)$.

Một số kiến thức quan trọng để giải quyết bài toán 2

– Bất phương trình $P\left( m \right)\le f\left( x \right)$ nghiệm đúng $\forall x\in D\Leftrightarrow P\left( m \right)\le \underset{x\in D}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right)$.

– Bất phương trình $P\left( m \right)\ge f\left( x \right)$ nghiệm đúng $\forall x\in D\Leftrightarrow P\left( m \right)\ge \underset{x\in D}{\mathop{\max }}\,f\left( x \right)$.

– Nếu $f\left( x;m \right)\ge 0;\forall x\in \mathbb{R}$ hoặc $f\left( x;m \right)\le 0;\forall x\in \mathbb{R}$ với $f\left( x;m \right)$ là tam thức bậc hai, ta sẽ sử dụng dấu của tam thức bậc hai.

3. Một số phương pháp áp dụng trong bài toán

a) Phương pháp đặt ẩn phụ: Đặt $t={{a}^{u\left( x \right)}}$ hoặc $t={{\log }_{a}}u\left( x \right)$, tùy theo điều kiện của x ta sẽ tìm được miền xác định của biến t.

b) Phương pháp hàm số: Đưa phương trình (bất phương trình) về dạng $f\left( u \right)=f\left( v \right)$ với $f\left( t \right)$là hàm số đơn điệu và đại diện cho hai vế của phương trình. Khi đó $f\left( u \right)=f\left( v \right)\Leftrightarrow u=v$.

c) Dấu của tam thức bậc hai: Xét hàm số $f\left( x \right)=a{{x}^{2}}+bx+c$ có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$

– Ta có $\Delta ={{b}^{2}}-4\text{a}c$ và định lý Vi-ét: $\left\{ \begin{array} {} {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\frac{b}{a} \\ {} {{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{c}{a} \\ \end{array} \right.$.

– Phương trình $f\left( x \right)=0$ có hai nghiệm dương phân biệt $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} \Delta >0 \\ {} {{x}_{1}}+{{x}_{2}}>0 \\ {} {{x}_{1}}{{x}_{2}}>0 \\ \end{array} \right.$.

– Phương trình $f\left( x \right)=0$ có hai nghiệm trái dấu $\Leftrightarrow ac0;\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} a>0 \\ {} \Delta

Bài tập trắc nghiệm tìm m để phương trình, bất phương trình mũ logarit có đáp án

Ví dụ 1: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình ${{2}^{{{x}^{2}}-2\text{x}}}={{m}^{2}}-m+1$ có nghiệm thuộc đoạn $\left< 0;2 \right>$?

A. 2 B. 3 C. 0 D. 1

Lời giải

Xét $u\left( x \right)={{x}^{2}}-2\text{x}$ trên $\left< 0;2 \right>$, có ${u}"\left( x \right)=2\text{x}-2;{u}"\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=1$.

Tính $u\left( 0 \right)=0;u\left( 1 \right)=-1;u\left( 2 \right)=0\xrightarrow{{}}-1\le u\left( x \right)\le 0\Leftrightarrow \frac{1}{2}\le {{2}^{{{x}^{2}}-2\text{x}}}\le 1$.

Do đó, phương trình đã cho có nghiệm $\Leftrightarrow \frac{1}{2}\le {{m}^{2}}-m+1\le 1\Leftrightarrow 0\le m\le 1$.

Kết hợp với $m\in \mathbb{Z}\xrightarrow{{}}$ có 2 giá trị nguyên m cần tìm. Chọn A.

Ví dụ 2: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc $\left< -10;10 \right>$ để phương trình ${{4}^{x+1}}-{{2}^{x+2}}+m=0$ có nghiệm?

A. 3 B. 12 C. 7 D. 15

Lời giải

Ta có ${{4}^{x+1}}-{{2}^{x+2}}+m=0\Leftrightarrow {{\left( {{2}^{x+1}} \right)}^{2}}-{{2.2}^{x+1}}+m=0$ (1)

Đặt $t={{2}^{x+1}}>0$. Phương trình (1) trở thành ${{t}^{2}}-2t+m=0\Leftrightarrow {{t}^{2}}-2t=-m$ (2)

Để phương trình (1) có nghiệm $\Leftrightarrow $ phương trình (2) có nghiệm $t>0$.

Cách 1. Xét hàm $f\left( t \right)={{t}^{2}}-2t$ với $t>0$.

Đạo hàm và lập bảng biến thiên, ta kết luận được $-m\ge -1\Leftrightarrow m\le 1$. Chọn C.

Cách 2. Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow $ phương trình (2) có hai nghiệm ${{t}_{1}},{{t}_{2}}$ thỏa mãn $\left< \begin{array} {} 00 \\ {} S>0 \\ \end{array} \right. \\ {} P\le 0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left< \begin{array} {} 0Ví dụ 3: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình ${{4}^{x}}+{{2}^{x}}+4={{3}^{m}}\left( {{2}^{x}}+1 \right)$ có hai nghiệm phân biệt.

A. ${{\log }_{4}}3\le mLời giải

Đặt $t={{2}^{x}}>0\Leftrightarrow {{4}^{x}}={{\left( {{2}^{x}} \right)}^{2}}={{t}^{2}}$ và $a={{3}^{m}}$ nên phương trình đã cho trở thành:

${{t}^{2}}+t+4=a\left( t+1 \right)\Leftrightarrow {{t}^{2}}-\left( a-1 \right)t+4-a=0$ (*).

Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow $ (*) có hai nghiệm dương phân biệt ${{t}_{1}},{{t}_{2}}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} \Delta >0 \\ {} S={{t}_{1}}+{{t}_{2}}>0 \\ {} P={{t}_{1}}{{t}_{2}}>0 \\ \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} {{\left( a-1 \right)}^{2}}-4\left( 4-a \right)>0 \\ {} a-1>0;4-a>0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} {{a}^{2}}+2\text{a}-15>0 \\ {} 1Ví dụ 4: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m sao cho phương trình

${{25}^{x}}-m{{.5}^{x+1}}+7{{m}^{2}}-7=0$ có hai nghiệm phân biệt. Hỏi S có bao nhiêu phần tử?

A. 7 B. 1 C. 2 D. 3Lời giải

Ta có ${{25}^{x}}-m{{.5}^{x+1}}+7{{m}^{2}}-7=0\Leftrightarrow {{\left( {{5}^{x}} \right)}^{2}}-5m{{.5}^{x}}+7{{m}^{2}}-7=0$

Đặt $t={{5}^{x}}>0$ nên phương trình trở thành: ${{t}^{2}}-5mt+7{{m}^{2}}-7=0$ (*).

Với mỗi nghiệm $t>0$ của phương trình (*) sẽ tương ứng với một nghiệm x của phương trình ban đầu. Do đó, yêu cầu bài toán tương đương phương trình (*) có hai nghiệm dương phân biệt.

Khi đó $\left\{ \begin{array} {} \Delta >0 \\ {} S>0 \\ {} P>0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} 25{{m}^{2}}-4\left( 7{{m}^{2}}-7 \right)>0 \\ {} 5m>0;7{{m}^{2}}-7>0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} 28-3{{m}^{2}}>0 \\ {} m>0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow 1Ví dụ 5: Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để phương trình ${{4}^{x}}-2m{{.2}^{x}}+2m=0$ có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ thỏa mãn ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=3$.

A. 2 B. 3 C. 0 D. 1Lời giải

Đặt $t={{2}^{x}}>0$ nên phương trình đã cho trở thành: ${{t}^{2}}-2mt+2m=0$ (*).

Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow $ (*) có hai nghiệm dương phân biệt ${{t}_{1}},{{t}_{2}}$.

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} \Delta >0 \\ {} S={{t}_{1}}+{{t}_{2}}>0 \\ {} P={{t}_{1}}{{t}_{2}}>0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} 4{{m}^{2}}-8m>0 \\ {} 2m>0 \\ {} 2m>0 \\ \end{array} \right. {} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} \left< \begin{array} {} m>2 \\ {} m2 \\ \end{array} \right. \\ {} m>0 \\ \end{array} \right.$.

Ta có ${{t}_{1}}{{t}_{2}}={{2}^{{{x}_{1}}}}{{.2}^{{{x}_{2}}}}={{2}^{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}}={{2}^{3}}=8=2m$ suy ra $m=4$ (thỏa mãn điều kiện).

Vậy $m=4$ là giá trị duy nhất cần tìm. Chọn D.

Ví dụ 6: Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m để phương trình ${{6}^{x}}+\left( 3-m \right){{2}^{x}}-m=0$ có nghiệm thuộc khoảng $\left( 0;1 \right)$.

A. $\left< 3;4 \right>$ B. $\left< 2;4 \right>$ C. $\left( 2;4 \right)$ D. $\left( 3;4 \right)$

Lời giải

Ta có ${{6}^{x}}+\left( 3-m \right){{2}^{x}}-m=0\Leftrightarrow {{6}^{x}}+{{3.2}^{x}}=\left( {{2}^{x}}+1 \right).m\Leftrightarrow m=\frac{{{6}^{x}}+{{3.2}^{x}}}{{{2}^{x}}+1}=\frac{{{3}^{x}}+3}{{{2}^{-x}}+1}$

Xét hàm số $f\left( x \right)=\frac{{{3}^{x}}+3}{{{2}^{-x}}+1}$ trên $\left( 0;1 \right)$, có ${f}"\left( x \right)=\frac{{{3}^{x}}.\ln 3\left( {{2}^{-x}}+1 \right)+\left( {{3}^{x}}+3 \right){{.2}^{-x}}\ln 2}{{{\left( {{2}^{-x}}+1 \right)}^{2}}}>0$

Suy ra hàm số $f\left( x \right)$ đồng biến trên ℝ, do đó $f\left( 0 \right)Ví dụ 7: Cho phương trình ${{3}^{2{{\text{x}}^{2}}-3\text{x}+m}}+9={{3}^{{{x}^{2}}-x+2}}+{{3}^{{{x}^{2}}-2\text{x}+m}}$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc $\left< -10;10 \right>$ để phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt?

A. 12 B. 8 C. 3 D. 17Lời giải

Ta có ${{3}^{2{{\text{x}}^{2}}-3\text{x}+m}}+9={{3}^{{{x}^{2}}-x+2}}+{{3}^{{{x}^{2}}-2\text{x}+m}}\Leftrightarrow \left( {{3}^{2{{\text{x}}^{2}}-3\text{x}+m}}-{{3}^{{{x}^{2}}-2\text{x}+m}} \right)+\left( 9-{{3}^{{{x}^{2}}-2\text{x}+m}} \right)=0$

$\Leftrightarrow {{3}^{{{x}^{2}}-x}}.\left( {{3}^{{{x}^{2}}-2\text{x}+m}}-9 \right)-\left( {{3}^{{{x}^{2}}-2\text{x}+m}}-9 \right)=0\Leftrightarrow \left( {{3}^{{{x}^{2}}-x}}-1 \right)\left( {{3}^{{{x}^{2}}-2\text{x}+m}}-9 \right)=0\Leftrightarrow \left< \begin{array} {} {{3}^{{{x}^{2}}-x}}=1 \\ {} {{3}^{{{x}^{2}}-2\text{x}+m}}=9 \\ \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left< \begin{array} {} {{x}^{2}}-x=0 \\ {} {{x}^{2}}-2\text{x}+m=2 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left< \begin{array} {} x=0;x=1 \\ {} g\left( x \right)={{x}^{2}}-2\text{x}+m-2=0 \\ \end{array} \right.$

Để phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow g\left( x \right)=0$ có 2 nghiệm phân biệt khác 0, 1.

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} {\Delta }">0 \\ {} g\left( 0 \right)\ne 0 \\ {} g\left( 1 \right)\ne 0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} {{\left( -1 \right)}^{2}}-\left( m-2 \right)>0 \\ {} m-2\ne 0 \\ {} m-3\ne 0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} mVí dụ 8: Có bao nhiêu giá của tham số thực m để phương trình ${{9}^{{{x}^{2}}}}-{{2.3}^{{{x}^{2}}+1}}+3m-1=0$ có đúng 3 nghiệm phân biệt?

A. 3 B. 1 C. 0 D. 2Lời giải

Ta có ${{9}^{{{x}^{2}}}}-{{2.3}^{{{x}^{2}}+1}}+3m-1=0\Leftrightarrow {{\left( {{3}^{{{x}^{2}}}} \right)}^{2}}-{{6.3}^{{{x}^{2}}}}+3m-1=0$ (*)

Vì ${{x}^{2}}\ge 0\Leftrightarrow {{3}^{{{x}^{2}}}}\ge {{3}^{0}}=1$. Đặt $t={{3}^{{{x}^{2}}}}\ge 1$ nên phương trình (*) $\Leftrightarrow f\left( t \right)={{t}^{2}}-6t+3m-1=0$

Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow f\left( t \right)=0$ có nghiệm bằng 1; nghiệm còn lại khác 1.

$\Leftrightarrow f\left( 1 \right)=0\Leftrightarrow {{1}^{2}}-6.1+3m-1=0\Leftrightarrow 3m-6=0\Leftrightarrow m=2$. Chọn B.

Ví dụ 9: Cho phương trình ${{25}^{1+\sqrt{1-{{x}^{2}}}}}-\left( m+2 \right){{5}^{1+\sqrt{1-{{x}^{2}}}}}+2m+1=0$ với m là tham số thực. Số nguyên dương m bé nhất để phương trình có nghiệm là

A. $m=2$ B. $m=8$ C. $m=4$ D. $m=6$

Lời giải

Điều kiện: $-1\le x\le 1$.

Xét $u\left( x \right)=1+\sqrt{1-{{x}^{2}}}$, có ${u}"\left( x \right)=-\frac{x}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}};{u}"\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=0\xrightarrow{{}}\left\{ \begin{array} {} \underset{\left< -1;1 \right>}{\mathop{\max }}\,u\left( x \right)=2 \\ {} \underset{\left< -1;1 \right>}{\mathop{\min }}\,u\left( x \right)=1 \\ \end{array} \right.$.

Đặt $t={{5}^{1+\sqrt{1-{{x}^{2}}}}}\Rightarrow t\in \left< 5;25 \right>$ nên phương trình $\Leftrightarrow {{t}^{2}}-\left( m+2 \right)t+2m+1=0\Leftrightarrow m=\frac{{{t}^{2}}-2t+1}{t-2}$.

Do đó phương trình đã có nghiệm $\Leftrightarrow \underset{\left< 5;25 \right>}{\mathop{\min f\left( t \right)}}\,\le m\le \underset{\left< 5;25 \right>}{\mathop{\max f\left( t \right)}}\,\overset{{}}{\longleftrightarrow}\frac{16}{3}\le m\le \frac{576}{23}$.

Suy ra số nguyên dương m lớn nhất là $m=6$. Chọn D.

Cách CASIO. Cô lập m ta được $m=\frac{{{25}^{1+\sqrt{1-{{x}^{2}}}}}-{{2.5}^{1+\sqrt{1-{{x}^{2}}}}}+1}{{{5}^{1+\sqrt{1-{{x}^{2}}}}}-2}$.

Đặt $f\left( x \right)=\frac{{{25}^{1+\sqrt{1-{{x}^{2}}}}}-{{2.5}^{1+\sqrt{1-{{x}^{2}}}}}+1}{{{5}^{1+\sqrt{1-{{x}^{2}}}}}-2}$. Khi đó phương trình $\Leftrightarrow f\left( x \right)=m$.

Sử dụng MODE7 khảo sát hàm $f\left( x \right)$ với thiết lập Start $-1$, End 1, Step 0, 2.

Quan sát bảng giá trị ta thấy $f\left( x \right)\ge f\left( 5 \right)=\frac{16}{3}$ hay $m\ge f\left( 5 \right)=\frac{16}{3}$.

Vậy m nguyên dương bé nhất là 6.

Ví dụ 10: Cho phương trình $\left( m+1 \right){{16}^{x}}-2\left( 2m-3 \right){{4}^{x}}+6m+5=0$ với m là tham số thực. Tập tất cả các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm trái dấu có dạng $\left( a;b \right)$. Tính $P=ab$.

A. $P=4$ B. $P=-4$ C. $P=-\frac{3}{2}$ D. $P=\frac{5}{6}$

Lời giải

Đặt $t={{4}^{x}}>0$. Phương trình trở thành $\underbrace{\left( m+1 \right){{t}^{2}}-2\left( 2m-3 \right)t+6m+5}_{f\left( t \right)}=0$ (*).

Phương trình đã cho có hai nghiệm ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ thỏa mãn ${{x}_{1}}0 \\ \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} m+1\ne 0 \\ {} \left( m+1 \right)\left( 3m+12 \right)0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow -4Ví dụ 11: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m\in \left< -10;10 \right>$ để phương trình

${{2}^{{{x}^{2}}+m\text{x}}}-{{2}^{2{{\text{x}}^{2}}+2m\text{x}+m}}={{x}^{2}}+m\text{x}+m$ có hai nghiệm thực phân biệt?

A. 9 B. 6 C. 16 D. 13Lời giải

Ta có ${{2}^{{{x}^{2}}+m\text{x}}}-{{2}^{2{{\text{x}}^{2}}+2m\text{x}+m}}={{x}^{2}}+m\text{x}+m\Leftrightarrow {{2}^{{{x}^{2}}+m\text{x}}}-{{2}^{2{{\text{x}}^{2}}+2m\text{x}+m}}=2{{\text{x}}^{2}}+2m\text{x}+m-\left( {{x}^{2}}+m\text{x} \right)$

$\Leftrightarrow {{2}^{{{x}^{2}}+m\text{x}}}+{{x}^{2}}+m\text{x}={{2}^{2{{\text{x}}^{2}}+2m\text{x}+m}}+2{{\text{x}}^{2}}+2m\text{x}+m\Leftrightarrow f\left( {{x}^{2}}+m\text{x} \right)=f\left( 2{{\text{x}}^{2}}+2m\text{x}+m \right)$ (*).

Xét hàm số $f\left( t \right)={{2}^{t}}+t$ trên $\left( -\infty ;+\infty \right)$, có ${f}"\left( t \right)={{2}^{t}}.\ln 2+1>0;\forall x\in \mathbb{R}$.

Suy ra $f\left( t \right)$ là hàm số đồng biến trên $\left( -\infty ;+\infty \right)$ nên (*) $\Leftrightarrow {{x}^{2}}+m\text{x}=2{{\text{x}}^{2}}+2m\text{x}+m$

$\Leftrightarrow {{x}^{2}}+m\text{x}+m=0$ có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow \Delta ={{m}^{2}}-4m>0\Leftrightarrow \left< \begin{array} {} m>4 \\ {} mVí dụ 12: Cho phương trình ${{e}^{m.\sin x-\cos x}}-{{e}^{2\left( 1-\cos x \right)}}=2-\cos x-m.\sin x$với m là tham số thực. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m\in \left< -10;10 \right>$ để phương trình đã cho có nghiệm?

A. 9 B. 18 C. 11 D. 15Lời giải

PT $\Leftrightarrow {{e}^{m.\sin x-\cos x}}+m.\sin x-\cos x={{e}^{2-2\cos x}}+2-2\cos x\Leftrightarrow f\left( m.\sin x-\cos x \right)=f\left( 2-2\cos x \right)$

Với $f\left( t \right)={{e}^{t}}+t$ là hàm số đồng biến trên $\left( -\infty ;+\infty \right)$ nên ta được $m.\sin x-\cos x=2-2\cos x$

$\Leftrightarrow m.\sin x+\cos x=2$ có nghiệm khi ${{m}^{2}}+{{1}^{2}}\ge {{2}^{2}}\Leftrightarrow {{m}^{2}}\ge 3\Leftrightarrow \left< \begin{array} {} m\ge \sqrt{3} \\ {} m\le -\sqrt{3} \\ \end{array} \right.$.

Kết hợp với $m\in \mathbb{Z}$ và $m\in \left< -10;10 \right>\xrightarrow{{}}$ có 9 + 9 = 18 giá trị nguyên cần tìm. Chọn B.

Ví dụ 13: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực m nhỏ hơn 10 sao cho phương trình $\sqrt{m+\sqrt{m+{{e}^{x}}}}={{e}^{x}}$ có nghiệm thực?

A. 4 B. 6 C. 8 D. 10

Lời giải

Ta có $\sqrt{m+\sqrt{m+{{e}^{x}}}}={{e}^{x}}\Leftrightarrow m+\sqrt{m+{{e}^{x}}}={{\left( {{e}^{x}} \right)}^{2}}\Leftrightarrow {{\left( \sqrt{m+{{e}^{x}}} \right)}^{2}}+\sqrt{m+{{e}^{x}}}={{\left( {{e}^{x}} \right)}^{2}}+{{e}^{x}}$ (*).

Xét hàm số $f\left( t \right)={{t}^{2}}+t$ trên $\left( 0;+\infty \right)$, có ${f}"\left( t \right)=2t+1>0;\forall t>0$

Suy ra $f\left( t \right)$ là hàm số đồng biến trên $\left( 0;+\infty \right)$ nên (*) $\Leftrightarrow f\left( \sqrt{m+{{e}^{x}}} \right)=f\left( {{e}^{x}} \right)$

$\Leftrightarrow \sqrt{m+{{e}^{x}}}={{e}^{x}}\Leftrightarrow m+{{e}^{x}}={{\left( {{e}^{x}} \right)}^{2}}\Leftrightarrow m={{\left( {{e}^{x}} \right)}^{2}}-{{e}^{x}}\xrightarrow{a={{e}^{x}}>0}m=g\left( a \right)={{a}^{2}}-a$.

Xét hàm số $g\left( a \right)={{a}^{2}}-a$ trên $\left( 0;+\infty \right)$, có ${g}"\left( a \right)=2\text{a}-1;{g}"\left( a \right)=0\Leftrightarrow a=\frac{1}{2}$.

Dựa vào BBT, ta thấy $m=g\left( a \right)$ có nghiệm thực dương $\Leftrightarrow m\ge g\left( \frac{1}{2} \right)=-\frac{1}{4}$.

Kết hợp với $m\in \mathbb{Z}$ và $mVí dụ 14: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình $m+{{e}^{\frac{x}{2}}}=\sqrt<4>{{{e}^{2\text{x}}}+1}$ có nghiệm?

A. $0Lời giải

Đặt $t=\sqrt<4>{{{e}^{2\text{x}}}+1}$, vì ${{e}^{2\text{x}}}>0\xrightarrow{{}}t>1$. Suy ra ${{t}^{4}}={{e}^{2\text{x}}}+1\Leftrightarrow {{\left( {{e}^{\frac{x}{2}}} \right)}^{4}}={{t}^{4}}-1\Leftrightarrow {{e}^{\frac{x}{2}}}=\sqrt<4>{{{t}^{4}}-1}$.

Khi đó phương trình đã cho trở thành $m+\sqrt<4>{{{t}^{4}}-1}=t\Leftrightarrow m=t-\sqrt<4>{{{t}^{4}}-1}$ (*)

Xét hàm số $f\left( t \right)=t-\sqrt<4>{{{t}^{4}}-1}$ trên $\left( 1;+\infty \right)$, có ${f}"\left( t \right)=1-\frac{{{t}^{3}}}{\sqrt<4>{{{\left( {{t}^{4}}-1 \right)}^{3}}}}1$

Suy ra hàm số $f\left( t \right)$ nghịch biến trên khoảng $\left( 1;+\infty \right)$.

*
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy phương trình có nghiệm $0Ví dụ 15: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình ${{\left( \frac{2}{e} \right)}^{{{x}^{2}}+2m\text{x}+1}}\le {{\left( \frac{e}{2} \right)}^{2\text{x}-3m}}$ nghiệm đúng với mọi $x\in \mathbb{R}$?

A. 8 B. 5 C. 6 D. 7Lời giải

Ta có ${{\left( \frac{2}{e} \right)}^{{{x}^{2}}+2m\text{x}+1}}\le {{\left( \frac{e}{2} \right)}^{2\text{x}-3m}}\Leftrightarrow {{\left( \frac{2}{e} \right)}^{{{x}^{2}}+2m\text{x}+1}}\le {{\left( \frac{2}{e} \right)}^{3m-2\text{x}}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}+2m\text{x}+1\ge 3m-2\text{x}$

$\Leftrightarrow {{x}^{2}}+2\left( m+1 \right)x-3m+1\ge 0;\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} a=1>0 \\ {} {\Delta }"={{\left( m+1 \right)}^{2}}-\left( 1-3m \right)\le 0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow -5\le m\le 0$.

Kết hợp với $m\in \mathbb{Z}\xrightarrow{{}}$ có 6 giá trị nguyên m cần tìm. Chọn C.

Ví dụ 16: Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m\in \left< -10;10 \right>$ để bất phương trình ${{9}^{x}}-m{{.3}^{x}}-m+3>0$ nghiệm đúng với mọi $x\in \mathbb{R}$?

A. 12 B. 20 C. 8 D. 4

Lời giải

Đặt $t={{3}^{x}}>0$ thì bất phương trình trở thành: ${{t}^{2}}-mt-m+3>0,\forall t>0$

$\Leftrightarrow m\left( t+1 \right)0 \\ {} {{t}^{2}}+2t-3=0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow t=1$.

*
Từ BBT, suy ra $mVí dụ 17: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m\in \left< -10;10 \right>$ để bất phương trình

${{3}^{2\text{x}+1}}-\left( m+3 \right){{.3}^{x}}-2\left( m+3 \right)>0$ có nghiệm?

A. 10 B. 5 C. 19 D. 13Lời giải

Đặt $t={{3}^{x}}>0$ thì bất phương trình trở thành: $3{{t}^{2}}-\left( m+3 \right)t-2m-6\frac{3{{t}^{2}}-3t-6}{t+2}=f\left( t \right)$.

Xét hàm số $f\left( t \right)=\frac{3{{t}^{2}}-3t-6}{t+2}$ trên $\left( 0;+\infty \right)$, có ${f}"\left( t \right)=\frac{3{{t}^{2}}+12t}{{{\left( t+2 \right)}^{2}}}>0;\forall t>0$.

Suy ra $f\left( t \right)$ là hàm số đồng biến trên $\left( 0;+\infty \right)\Leftrightarrow \min f\left( t \right)=-3$.

Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow m>\underset{\left( 0;+\infty \right)}{\mathop{\min }}\,f\left( t \right)=-3$.

Kết hợp với $m\in \mathbb{Z}$ và $m\in \left< -10;10 \right>\xrightarrow{{}}$ có 13 giá trị nguyên cần tìm. Chọn D.

Ví dụ 18: Cho bất phương trình $m{{.3}^{x+1}}+\left( 3m+2 \right){{\left( 4-\sqrt{7} \right)}^{x}}+{{\left( 4+\sqrt{7} \right)}^{x}}>0$, với m là tham số. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi $x

A. $m>\frac{2+2\sqrt{3}}{3}$ B. $m>\frac{2-2\sqrt{3}}{3}$ C.

Xem thêm: Soạn Bài Chữa Lỗi Về Chủ Ngữ Và Vị Ngữ Tiếp Theo ) (Chi Tiết)

$m\ge \frac{2-2\sqrt{3}}{3}$ D. $m>-\frac{2-2\sqrt{3}}{3}$

Lời giải