Để làm cho được các bài tập về số chính phương thì trước hết các em cần nắm rõ được tư tưởng và tính chất. Sau đó mới bắt tay vào làm bài xích tập.
Bạn đang xem: Bài tập về số chính phương lớp 9
Để làm cho được các bài tập về số thiết yếu phương thì trước hết các em cần nắm vững được quan niệm và tính chất. Sau đó mới hợp tác vào làm bài tập.
Ôn tập lại lý thuyết về số chủ yếu phương:
I- ĐỊNH NGHĨA: Số thiết yếu phương là số bằng bình phương đúng của một số nguyên.
II- TÍNH CHẤT:
1- Số thiết yếu phương chỉ rất có thể có chữ số tận cùng bởi 0, 1, 4, 5, 6, 9; không thể tất cả chữ tận cùng bằng 2, 3, 7, 8.
2- Khi đối chiếu ra thừa số nguyên tố, số thiết yếu phương chỉ chứa những thừa số thành phần với số mũ chẵn.
3- Số thiết yếu phương chỉ rất có thể có một trong các hai dạng 4n hoặc 4n+1. Không tồn tại số chính phương nào gồm dạng 4n + 2 hoặc 4n + 3 (n N).
4- Số chủ yếu phương chỉ rất có thể có một trong hai dạng 3n hoặc 3n +1. Không tồn tại số bao gồm phương nào bao gồm dạng 3n + 2 (n N).
5- Số thiết yếu phương tận cùng bởi 1, 4 hoặc 9 thì chữ số hàng trăm là chữ số chẵn.
Số thiết yếu phương tận cùng bằng 5 thì chữ số hàng trăm là 2.
Số bao gồm phương tận cùng bằng 6 thì chữ số hàng trăm là chữ số lẻ.
6- Số chủ yếu phương phân tách hết đến 2 thì chia hết mang lại 4.
Số thiết yếu phương phân chia hết đến 3 thì phân tách hết mang lại 9
Số thiết yếu phương phân tách hết cho 5 thì chia hết mang đến 25
Số thiết yếu phương phân tách hết mang đến 8 thì phân tách hết mang lại 16.
III- MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG.
A- Dạng 1: CHỨNG MINH MỘT SỐ LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG.
Bài 1: Chứng minh rằng rất nhiều số nguyên x, y thì:
A= (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 là số chủ yếu phương.
Giải : Ta gồm A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4
= ( x2+5xy+4y2)(x2+5xy+6y2)+y4
Đặt x2+5xy+5y2=t(t∈Z) thì
A = (t−y2)(t+y2)+y4=t2−y4+y4=t2=(x2+5xy+5y2)2
Vì x, y, z ∈ Z nên x2∈Z,5xy∈Z,5y2∈Z⇒x2+5xy+5y2∈Z
Vậy A là số bao gồm phương.
Bài 2: chứng minh tích của 4 số tự nhiên tiếp tục cộng 1 luôn là số chủ yếu phương.
Giải : Gọi 4 số trường đoản cú nhiên, thường xuyên đó là n, n+1, n+2, n+3 (n Z). Ta có:
n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 = n . ( n + 3)(n + 1)(n + 2) + 1
= (n2+3n)(n2+3n+2)+1(∗)
Đặt n2+3n=t(t∈N) thì (*) = t(t + 2) + 1 = t2 + 2t + 1 = (t + 1)2
= (n2 + 3n + 1)2
Vì n ∈ N đề nghị n2 + 3n + 1 ∈ N. Vậy n(n + 1)(n + 2)(+ 3) + 1 là số chính phương.
Bài 3: cho S = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + …+ k(k + 1)(k + 2)
Chứng minh rằng 4S + một là số bao gồm phương.
Giải : Ta có: k(k + 1)(k + 2) = k (k + 1)(k + 2). 4= k(k + 1)(k + 2).
= k(k + 1)(k + 2)(k + 3) – k(k + 1)(k + 2)(k – 1)
=> 4S =1.2.3.4 – 0.1.2.3 + 2.3.4.5 – 1.2.3.4 + . . . + k(k + 1)(k + 2)(k + 3)
– k(k + 1)(k + 2)(k – 1) = k(k + 1)(k + 2)(k + 3)
=> 4S + 1 = k(k + 1)(k + 2)(k + 3) + 1
Theo công dụng bài 2 => k(k + 1)(k + 2)(k + 3) + 1 là số chính phương.
Bài 4: mang đến dãy số 49; 4489; 444889; 44448889; . . .
– dãy số bên trên được xây dựng bằng cách thêm số 48 vào giữa các chữ số đứng trước và thua cuộc nó. Chứng tỏ rằng toàn bộ các số của dãy trên hầu hết là số bao gồm phương.
<=4.frac10^n-19.10^n+8.frac10^n-19+1>
<=frac4.10^2n-4.10^n+8.10^n-8+99=frac4.10^2n+4.10^n+19>
<=left( frac2.10^n+13 ight)^2>
Các bài tương tự:
Chứng minh rằng số sau đó là số thiết yếu phương.
Kết quả:
Bài 5: chứng tỏ rằng tổng những bình phương của 5 số từ bỏ nhiên tiếp tục không thể là một trong những chính phương.
Gọi 5 số tự nhiên tiếp tục đó là n – 2, n – 1, n +1, n + 2 ( n N, n >2).
Ta tất cả (n – 2)2 + ( n – 1)2 + n2 + (n + 1)2 + (n + 2)2 = 5 . (n2 + 2)
Vì n2 không thể tận cùng vì 3 hoặc 8 cho nên n2 + 2 cần yếu chia hết mang lại 5
=> 5. (n2 + 2) ko là số bao gồm phương tuyệt A ko là số chủ yếu phương.
Bài 6: chứng tỏ rằng số gồm dạng n6 – n4 + 2n3 + 2n2 trong đó n N với n >1
không đề xuất là số chính phương.
n6 – n 4 + 2n3 + 2n2 = n2. (n4 – n2 + 2n +2) = n2.
= n2<(n+1)(n3 – n2 + 2)> = n2(n + 1) . <(n3 + 1) – (n2 – 1)>
= n2(n + 1)2 . (n2 – 2n + 2)
Với nN, n > 1 thì n2 – 2n + 2 = ( n -1)2 + 1 > ( n – 1)2
Và n2 – 2n + 2 = n2 – 2(n – 1) 2
Vậy (n – 1)2 2 – 2n + 2 2 => n2 – 2n + 2 chưa phải là một số chính phương.
Bài 7: mang lại 5 số chính phương bất kỳ có chữ số hàng chục khác biệt còn chữ số hàng đơn vị chức năng đều là 6. Minh chứng rằng tổng các chữ số hàng chục của 5 số thiết yếu phương kia là một vài chính phương.
Ta biết một vài chính phương bao gồm chữ số hàng đơn vị chức năng là 6 thì chữ số hàng chục của nó là số lẻ. Do vậy chữ số hàng trăm của 5 số thiết yếu phương đó là 1,3,5,7,9 khi đó tổng của chúng bằng 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 52 là số bao gồm phương.
Bài 8: chứng minh rằng tổng bình phương của 2 số lẻ bất kỳ không buộc phải là số thiết yếu phương.
a với b lẻ buộc phải a = 2k + 1, b= 2m + 1 (Với k, m N).
=> a2 + b2 = (2k + 1)2 + ( 2m + 1)2 = 4k2 + 4k + 1 + 4m2 + 4m + 1
= 4 (k2 + k + m2 + m) + 2
=> a2 + b2 cần thiết là số chính phương.
Bài 9: chứng minh rằng nếu p là tích của n (với n > 1) số nguyên tố đầu tiên
thì phường – 1 và p. + 1 tất yêu là những số chính phương.
Vì phường là tích của n số nguyên tố đầu tiên nên p⋮2 và p. Không thể phân tách hết đến 4 (1)
a- mang sử p. + 1 là số chủ yếu phương. Đặt p + 1 = m2 ( m N).
Vì phường chẵn nên phường + 1 lẻ => m2 lẻ => m lẻ.
Đặt m = 2k + 1 (k N). Ta tất cả m2 = 4k2 + 4k + 1 => p. + 1 = 4k2 + 4k + 1
=> phường = 4k2 + 4k = 4k (k + 1) ⋮ 4 xích míc với (1).
=> phường + 1 chưa phải là số bao gồm phương.
b- p = 2.3.5… là số chia hết mang đến 3 => phường – 1 tất cả dạng 3k + 2.
=> p – 1 không là số thiết yếu phương.
Xem thêm: Những Người Tuổi Tỵ Với Tuổi Mùi Có Hợp Nhau Không ? Tuổi Tỵ Và Tuổi Mùi Có Hợp Nhau Không
Vậy nếu phường là tích n (n >1) số nguyên tố trước tiên thì p – 1 và phường + 1 ko là số chủ yếu phương.