Lớp 12
chất hóa học 12 Sinh học tập 12 lịch sử dân tộc 12 Địa lí 12 GDCD 12 technology 12 Tin học tập 12
Lớp 11
chất hóa học 11 Sinh học tập 11 lịch sử dân tộc 11 Địa lí 11 GDCD 11 technology 11 Tin học tập 11
Lớp 10
hóa học 10 Sinh học 10 lịch sử 10 Địa lí 10 GDCD 10 technology 10 Tin học 10
Lớp 9
chất hóa học 9 Sinh học 9 lịch sử hào hùng 9 Địa lí 9 GDCD 9 technology 9 Tin học 9 Âm nhạc cùng mỹ thuật 9
chất hóa học 8 Sinh học 8 lịch sử 8 Địa lí 8 GDCD 8 technology 8 Tin học 8 Âm nhạc với mỹ thuật 8
Sinh học tập 7 lịch sử 7 Địa lí 7 Khoa học tự nhiên và thoải mái 7 lịch sử và Địa lí 7 GDCD 7 công nghệ 7 Tin học tập 7 Âm nhạc cùng mỹ thuật 7
lịch sử và Địa lí 6 GDCD 6 công nghệ 6 Tin học tập 6 HĐ trải nghiệm, hướng nghiệp 6 Âm nhạc 6 mỹ thuật 6
PHẦN ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH Chương 1: Hàm con số giác và phương trình lượng giác Chương 2: tổ hợp - tỷ lệ Chương 3: hàng số - cung cấp số cộng- cấp số nhân Chương 4: giới hạn Chương 5: Đạo hàm PHẦN HÌNH HỌC Chương 1: Phép dời hình cùng phép đồng dạng trong phương diện phẳng Chương 2: Đường thẳng cùng mặt phẳng trong ko gian. Quan lại hệ tuy nhiên song Chương 3: Vectơ trong không gian. Tình dục vuông góc trong không khí
40 bài xích tập trắc nghiệm cách thức quy nạp toán học mức độ dìm biết, thông hiểu, áp dụng và vận dụng cao
có tác dụng đề thiCâu hỏi 1 : cùng với (n in N*), ta xét các mệnh đề: P: (""7^n + 5) phân chia hết mang đến 2”; Q: “(7^n + 5) phân tách hết cho 3” cùng R: “(7^n + 5) phân tách hết đến 6”. Số phận đề đúng trong số mệnh đề trên là:
A 3B 0C 1D 2Lời giải bỏ ra tiết:
Bằng quy hấp thụ toán học tập ta minh chứng được (7^n + 5) chia hết mang lại 6.
Bạn đang xem: Bài tập quy nạp
Thật vậy, cùng với n = 1 ta có: (7^1 + 5 = 12,, vdots ,,6)
Giả sử mệnh đề đúng cùng với n = k, tức là (7^k + 5) phân chia hết mang đến 6, ta chứng tỏ mệnh đề cũng đúng với n = k + 1, tức là phải minh chứng (7^k + 1 + 5) phân chia hết mang lại 6.
Ta có: (7^k + 1 + 5 = 7left( 7^k + 5 ight) - 30)
Theo đưa thiết quy nạp ta tất cả (7^k + 5) phân chia hết cho 6, với 30 chia hết đến 6 đề nghị (7left( 7^k + 5 ight) - 30) cũng phân tách hết mang đến 6.
Do kia mệnh đề đúng cùng với n = k + 1.
Vậy (7^n + 5) bỏ ra hết mang lại 6 với tất cả (n in N*).
Mọi số phân tách hết mang lại 6 phần đông chia hết mang đến 2 và chia hết mang đến 3. Vì vậy cả 3 mệnh đề phần nhiều đúng.
Chọn A.
Đáp án - giải mã
Câu hỏi 2 : Biểu thức nào tiếp sau đây cho ta tập giá trị của tổng S = 1 – 2 + 3 – 4 + … - 2n + (2n + 1).
A 1B 0C 5D (n+1)Đáp án: D
Phương pháp giải:
Dự đoán bí quyết tổng S sau đó chứng minh công thức vừa dự kiến bằng phương pháp quy nạp toán học.
Lời giải bỏ ra tiết:
Với n = 0 ta có: S = 1
Với n = 1 ta bao gồm S = 1 – 2 + 3 = 2
Với n = 2 ta gồm S = 1 – 2 + 3 – 4 + 5 = 3
Dự đoán S = n + 1 (*), ta sẽ minh chứng (*) đúng bởi quy nạp.
Với n = 0 tất nhiên (*) đúng.
Giả sử (*) đúng cùng với n = k, tức là (S_k = 1 - 2 + 3 - 4 + ... - 2k + left( 2k + 1 ight) = k + 1), ta chứng tỏ (*) đúng với n = k + 1.
Ta có:
(eqalign và S_k + 1 = 1 - 2 + 3 - 4 + ... - 2left( k + 1 ight) + left( 2left( k + 1 ight) + 1 ight) cr & = left( 1 - 2 + 3 - 4 + ... - 2k + 2k + 1 ight) - left( 2k + 2 ight) + left( 2k + 3 ight) = S_k - left( 2k + 2 ight) + left( 2k + 3 ight) = k + 1 + 1. cr ).
Vậy (*) đúng với tất cả số thoải mái và tự nhiên n. Có nghĩa là S = n + 1.
Chọn D.
Đáp án - giải thuật
Câu hỏi 3 : với mọi số nguyên dương n, tổng (S_n = 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + nleft( n + 1 ight)) là:
A (nleft( n + 1 ight)left( n + 2 ight)left( n + 3 ight) over 6)B (nleft( n + 1 ight)left( n + 2 ight) over 3) C (nleft( n + 1 ight)left( n + 2 ight) over 2)D đáp số khácĐáp án: B
Phương pháp giải:
Thử một giá chỉ trị bất kì của n thỏa mãn nhu cầu n là số nguyên dương và dự đoán kết quả.
Chứng minh công dụng vừa dự kiến là đúng bằng phương pháp quy nạp toán học.
Lời giải chi tiết:
Với n = 1 ta có: (S_1 = 1.2 = 2), cho nên đáp án A, C sai.
Ta chứng tỏ (S_n = nleft( n + 1 ight)left( n + 2 ight) over 3,,left( * ight)) đúng với mọi số nguyên dương n.
Giả sử (*) đúng mang đến n = k, tức là (S_k = 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + kleft( k + 1 ight) = kleft( k + 1 ight)left( k + 2 ight) over 3,) ta chứng tỏ (*) đúng cho n = k + 1, tức là cần chứng minh (S_k + 1 = 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + left( k + 1 ight)left( k + 2 ight) = left( k + 1 ight)left( k + 2 ight)left( k + 3 ight) over 3,)
Ta có:
(eqalign & S_k + 1 = 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + kleft( k + 1 ight) + left( k + 1 ight)left( k + 2 ight) = kleft( k + 1 ight)left( k + 2 ight) over 3 + left( k + 1 ight)left( k + 2 ight) cr và = left( k + 1 ight)left( k^2 + 2k + 3k + 6 ight) over 3 = left( k + 1 ight)left( k^2 + 5k + 6 ight) over 3 = left( k + 1 ight)left( k + 2 ight)left( k + 3 ight) over 3. cr )
Vậy (*) đúng với tất cả số nguyên dương n.
Chọn B.
Đáp án - giải mã
Câu hỏi 4 : với tất cả số tự nhiên n, tổng (S_n = n^3 + 3n^2 + 5n + 3) phân chia hết cho:
A 3B 4C 5D 7Đáp án: A
Phương pháp giải:
Thử một giá bán trị bất kỳ của n thỏa mãn n là số nguyên dương và dự đoán kết quả.
Chứng minh tác dụng vừa dự đoán là đúng bằng phương thức quy nạp toán học.
Lời giải bỏ ra tiết:
Với n = 0 ta có: (S_0 = 3) phân chia hết mang đến 3, ta chứng minh (S_n = n^3 + 3n^2 + 5n + 3) phân chia hết mang lại 3 với đa số số thoải mái và tự nhiên n.
Giả sử mệnh đề trên đúng mang đến n = k, có nghĩa là (S_k = k^3 + 3k^2 + 5k + 3) chia hết cho 3, ta chứng tỏ mệnh đề bên trên đúng mang lại n = k + 1, tức là (S_k + 1 = left( k + 1 ight)^3 + 3left( k + 1 ight)^2 + 5left( k + 1 ight) + 3) cũng chia hết mang lại 3.
Ta có:
(eqalign và S_k + 1 = left( k + 1 ight)^3 + 3left( k + 1 ight)^2 + 5left( k + 1 ight) + 3 = k^3 + 6k^2 + 14k + 12 cr và = k^3 + 3k^2 + 5k + 3 + 3k^2 + 9k + 9 = left( k^3 + 3k^2 + 5k + 3 ight) + 3left( k^2 + 3k + 3 ight) cr )
Có: (S_k = k^3 + 3k^2 + 5k + 3) chia hết mang lại 3 theo trả thiết quy nạp, (3left( k^2 + 3k + 3 ight),, vdots ,,3), cho nên vì thế (S_k + 1,, vdots ,,3).
Vậy (S_n,, vdots ,,3) với tất cả số tự nhiên và thoải mái n.
Chọn A.
Đáp án - lời giải
Câu hỏi 5 : Bất đẳng thức nào tiếp sau đây đúng? với tất cả số tự nhiên n thỏa (n ge 3) thì:
A (2^n B (2^n C (2^n D (2^n > 2n + 1)Đáp án: D
Phương pháp giải:
Thử một giá chỉ trị bất kì của n vừa lòng (n ge 3) và dự kiến kết quả.
Chứng minh hiệu quả vừa dự kiến là đúng bằng cách thức quy nạp toán học.
Lời giải đưa ra tiết:
Với n = 3 ta loại được đáp án A, B cùng C.
Ta chứng tỏ đáp án D đúng bằng phương pháp quy hấp thụ toán học.
Bất đẳng thức (2^n > 2n + 1) đúng với n = 3 bởi 8 > 7.
Giả sử bất đẳng thức đúng đến (n = k ge 4), tức là (2^k > 2k + 1), ta chứng tỏ bất đẳng thức đúng mang đến n = k + 1, tức là cần chứng minh (2^k + 1 > 2left( k + 1 ight) + 1 = 2k + 3.)
Ta có: (2^k + 1 = 2.2^k > 2left( 2k + 1 ight) = 4k + 2 = 2k + 3 + 2k - 1.) vị (k ge 4 Rightarrow 2k - 1 ge 7 > 0 Rightarrow 2^k + 1 > 2k + 3)
Do đó bất đẳng thức đúng đến n = k + 1. Vậy BĐT đúng với tất cả số tự nhiên và thoải mái (n ge 3.)
Chọn D.
Đáp án - giải thuật
Câu hỏi 6 : với mọi số nguyên dương n thì (S_n = n^3 + 2n) chia hết cho
A 3B 2C 4 chiều 7Đáp án: A
Phương pháp giải:
Thử một giá trị bất kỳ của n thỏa mãn n là số nguyên dương và dự đoán kết quả.
Chứng minh kết quả vừa dự đoán là đúng bằng cách thức quy nạp toán học.
Lời giải chi tiết:
Với n = 1 ta có:(S_1 = 1^3 + 2.1 = 3) chia hết cho 3, ta sẽ minh chứng Sn phân chia hết đến 3 với tất cả n.
Giả sử xác minh trên đúng cho n = k, tức là (S_k = k^3 + 2k) phân tách hết mang lại 3, ta chứng minh (S_k + 1 = left( k + 1 ight)^3 + 2left( k + 1 ight)) cũng phân chia hết cho 3.
Ta có: (S_k + 1 = left( k + 1 ight)^3 + 2left( k + 1 ight) = k^3 + 3k^2 + 3k + 1 + 2k + 2 = left( k^3 + 2k ight) + 3left( k^2 + k + 1 ight))
Có: (left( k^3 + 2k ight),, vdots ,,3) (theo mang thiết quy nạp), (3,, vdots ,,3 Rightarrow 3left( k^2 + k + 1 ight),, vdots ,,3 Rightarrow S_k + 1,, vdots ,,3.)
Vậy Sn chia hết cho 3 với mọi số nguyên dương n.
Chọn A.
Đáp án - lời giải
Câu hỏi 7 : Sử dụng cách thức quy nạp Toán học tập để minh chứng mệnh đề chứa biến chuyển (Pleft( n ight)) đúng với tất cả số tự nhiên (n in N^*). Ở bước 1, chứng tỏ quy nạp ta khám nghiệm mệnh đề đã mang đến đã đúng với:
A (n = 0). B (n ge 1). C (n > 1). D (n = 1).Đáp án: D
Lời giải chi tiết:
Ở cách 1, minh chứng quy hấp thụ ta kiểm tra mệnh đề đã mang lại đã đúng với (n = 1).
Chọn: D
Đáp án - lời giải
Câu hỏi 8 : dùng quy nạp minh chứng mệnh đề chứa trở nên (Aleft( n ight)) đúng với mọi số thoải mái và tự nhiên (n ge p) ( p là một vài tự nhiên). Ở cách 1 (bước cơ sở) của chứng minh quy nạp, bắt đầu với n bằng:
A (n = p)B (n = 1)C (n = k,,(k ge p))D (n = k + 1,(k ge p))Đáp án: A
Phương pháp giải:
Áp dụng công việc chứng minh quy nạp.
Lời giải bỏ ra tiết:
Dùng quy nạp chứng tỏ mệnh đề chứa biến (Aleft( n ight)) đúng với đa số số tự nhiên (n ge p) ( p là một số trong những tự nhiên). Ở cách 1 (bước cơ sở) của chứng minh quy nạp, ban đầu với (n = p)
Chọn A.
Đáp án - giải thuật
Câu hỏi 9 : cần sử dụng quy nạp minh chứng mệnh đề chứa đổi thay (Aleft( n ight)) đúng với đa số số tự nhiên (n ge p) ( p là một vài tự nhiên). Ở cách 2 ta mang thiết mệnh đề (Aleft( n ight)) đúng cùng với (n = k). Xác định nào sau đó là đúng?
A (k > p)B (k ge p)C (k = p)D (kĐáp án: B
Phương pháp giải:
Áp dụng công việc chứng minh quy nạp.
Lời giải chi tiết:
Dùng quy nạp minh chứng mệnh đề chứa biến hóa (Aleft( n ight)) đúng với đa số số tự nhiên (n ge p) ( p là một trong những tự nhiên). Ở cách 2 ta đưa thiết mệnh đề (Aleft( n ight)) đúng cùng với (n = k). Lúc ấy (k ge p)
Chọn B
Đáp án - giải thuật
Câu hỏi 10 : dùng quy nạp chứng tỏ mệnh đề chứa biến đổi (Aleft( n ight)) đúng với mọi số tự nhiên và thoải mái (n ge p) ( p là một vài tự nhiên). Ở cách 3 ta chứng minh mệnh đề (Aleft( n ight)) đúng cùng với n bằng:
A (n = p) B (n = 1)C (n = k,,(k ge p)) D (n = k + 1,(k ge p))Đáp án: D
Phương pháp giải:
Áp dụng quá trình chứng minh quy nạp.
Lời giải đưa ra tiết:
Dùng quy nạp minh chứng mệnh đề chứa phát triển thành (Aleft( n ight)) đúng với đa số số tự nhiên và thoải mái (n ge p) ( p là một trong những tự nhiên). Ở cách 3 ta chứng tỏ mệnh đề (Aleft( n ight)) đúng với (n = k + 1;;,(k ge p).)
Chọn D
Đáp án - giải mã
Câu hỏi 11 : khi sử dụng phương pháp quy hấp thụ để chứng minh mệnh đề chứa phát triển thành (Aleft( n ight)) đúng với tất cả số thoải mái và tự nhiên (n in N^*), ta tiến hành hai bước:
Bước 1: chất vấn mệnh đề (Aleft( n ight)) đúng với (n = 1) .
Bước 2: đưa thiết mệnh đề (Aleft( n ight)) đúng cùng với số từ nhiên ngẫu nhiên (n = k ge 1) cùng phải chứng minh rằng nó cũng giống với (n = k + 1).
Trong hai bước trên:
A Chỉ gồm bước 1 đúng B Chỉ tất cả bước 2 đúng C Cả hai cách đều đúngD Cả hai bước đều saiĐáp án: C
Phương pháp giải:
Áp dụng các bước chứng minh quy nạp.
Lời giải chi tiết:
Cả hai bước đều đúng
Chọn C.
Đáp án - lời giải
Câu hỏi 12 : lúc sử dụng phương thức quy hấp thụ để minh chứng mệnh đề chứa trở nên (Aleft( n ight)) đúng với tất cả số tự nhiên (n ge p) ( p là một vài tự nhiên), ta tiến hành hai bước:
Bước 1: bình chọn mệnh đề (Aleft( n ight)) đúng với (n = 1) .
Bước 2: giả thiết mệnh đề (Aleft( n ight)) đúng với số từ nhiên bất kỳ (n = k ge p).
Bước 3: minh chứng mệnh đề (Aleft( n ight)) đúng cùng với (n = k + 1).
Trong ba bước trên:
A Chỉ có bước 1, 2 đúngB Chỉ có bước 2, 3 đúngC Chỉ có bước 1, 3 đúngD Cả hai bước đều đúngĐáp án: B
Phương pháp giải:
Áp dụng công việc chứng minh quy nạp.
Lời giải bỏ ra tiết:
Chỉ tất cả bước 2, 3 đúng bởi vì bước 1 buộc phải là chất vấn mệnh đề (Aleft( n ight)) đúng cùng với (n = p) .
Chọn B.
Đáp án - giải thuật
Câu hỏi 13 : chứng tỏ mệnh đề “(forall n in N,n ge 3) ta luôn có (3^n > n^2 + 4n + 5)” bằng cách thức quy nạp toán học, bước 1, ta kiểm tra với mức giá trị như thế nào của (n?)
A (n = 0) B (n = 1) C (n = 2)D (n = 3)Đáp án: D
Phương pháp giải:
Dùng quy nạp chứng minh mệnh đề chứa biến chuyển (Aleft( n ight)) đúng với mọi số tự nhiên (n ge p) ((p) là một trong những tự nhiên). Ở cách 1 (bước cơ sở) của minh chứng quy nạp, bước đầu với (n = p)
Lời giải chi tiết:
Chứng minh mệnh đề “(forall n in N,n ge 3) ta luôn luôn có (3^n > n^2 + 4n + 5)” bằng cách thức quy nạp toán học, bước 1, ta kiểm tra với giá trị (n = 3) do (n ge 3.)
Chọn D.
Đáp án - giải thuật
Câu hỏi 14 : Tính tổng (S=1.2+2.3+. ext . ext .+(n-2)(n-1)+(n-1)n) với tất cả (nge 2)
A (fracnleft( n^2-1 ight)6) B (fracnleft( n^2+1 ight)3)C (frac2nleft( n^2-1 ight)3) D (fracnleft( n^2-1 ight)3)Đáp án: D
Phương pháp giải:
- dự kiến công thức.
- minh chứng công thức dự đoán đó bằng cách thức quy nạp.
Lời giải bỏ ra tiết:
Khi n = 2 thì S = 1.2 = 2 (=frac2left( 2^2-1 ight)3)
Khi n = 3 thì S = 1.2 + 2.3 = 8 (=frac3left( 3^2-1 ight)3)
Khi n = 4 thì S = 1.2 +2.3 + 3.4 = 20(=frac4left( 4^2-1 ight)3)
Dự đoán công thức: (S=fracnleft( n^2-1 ight)3)
Ta chứng tỏ công thức trên đúng bằng phương pháp quy nạp.
Khi n = 2 thì phương pháp trên đúng.
Giả sử công thức trên đúng đến n = k, tứ là (1.2+2.3+...+left( k-1 ight)k=frackleft( k^2-1 ight)3)
Ta chứng tỏ công thức trên đúng cho n = k + 1, tức là cần bệnh minh
(1.2+2.3+...+left( k-1 ight)k+kleft( k+1 ight)=fracleft( k+1 ight)left< left( k+1 ight)^2-1 ight>3)
Từ giả thiết quy hấp thụ ta có :
(eginarrayl1.2 + 2.3 + ... + left( k - 1 ight)k + kleft( k + 1 ight) = frackleft( k^2 - 1 ight)3 + kleft( k + 1 ight) = frackleft( k^2 - 1 ight) + 3kleft( k + 1 ight)3\ = frackleft( k + 1 ight)left( k - 1 ight) + 3kleft( k + 1 ight)3 = frackleft( k + 1 ight)left( k - 1 + 3 ight)3 = frackleft( k + 1 ight)left( k + 2 ight)3\ = fracleft( k + 1 ight)left( k^2 + 2k ight)3 = fracleft( k + 2 ight)left< left( k + 1 ight)^2 - 1 ight>3endarray)
Vậy công thức trên đúng với n = k + 1 hay dự đoán ban đầu là đúng.
Vậy (S = fracnleft( n^2 - 1 ight)3)
Chọn D.
Đáp án - lời giải
Câu hỏi 15 : cực hiếm của tổng (S_n = 1^2 + 2^2 + ... + n^2) là:
A (nleft( n + 1 ight)left( n + 2 ight) over 6)B (nleft( n + 2 ight)left( 2n + 1 ight) over 6)C (nleft( n + 1 ight)left( 2n + 1 ight) over 6)D Đáp án khác.Đáp án: C
Phương pháp giải:
Thử một giá trị bất kể của n vừa lòng n là số nguyên dương và dự kiến kết quả.
Chứng minh công dụng vừa dự kiến là đúng bằng phương thức quy nạp toán học.
Lời giải đưa ra tiết:
Với n = 1 ta bao gồm (S_1 = 1^2 = 1 = 1left( 1 + 1 ight)left( 2.1 + 1 ight) over 6)
Với n = 2 ta gồm (S_2 = 1^2 + 2^2 = 5 = 2left( 2 + 1 ight)left( 2.2 + 1 ight) over 6)
Với n = 3 ta bao gồm (S_3 = 1^2 + 2^2 + 3^2 = 14 = 3left( 3 + 1 ight)left( 2.3 + 1 ight) over 6)
Dự đoán (S_n = nleft( n + 1 ight)left( 2n + 1 ight) over 6,,left( * ight)), ta sẽ chứng minh đẳng thức (*) đúng bằng phương thức quy nạp.
Với n = 1 thì (*) đúng.
Giả sử (*) đúng mang đến n = k, tức là (S_k = 1^2 + 2^2 + ... + k^2 = kleft( k + 1 ight)left( 2k + 1 ight) over 6), ta chứng minh (*) đúng đến n = k + 1, tức là cần minh chứng (S_k + 1 = 1^2 + 2^2 + ... + left( k + 1 ight)^2 = left( k + 1 ight)left( left( k + 1 ight) + 1 ight)left( 2left( k + 1 ight) + 1 ight) over 6).
Ta có:
(eqalign & S_k + 1 = 1^2 + 2^2 + ... + k^2 + left( k + 1 ight)^2 = kleft( k + 1 ight)left( 2k + 1 ight) over 6 + left( k + 1 ight)^2 cr và = left( k + 1 ight)left( 2k^2 + k + 6k + 6 ight) over 6 = left( k + 1 ight)left( 2k^2 + 7k + 6 ight) over 6 = left( k + 1 ight)left( k + 2 ight)left( 2k + 3 ight) over 6 = left( k + 1 ight)left( left( k + 1 ight) + 1 ight)left( 2left( k + 1 ight) + 1 ight) over 6 cr ).
Vậy (*) đúng với mọi n.
Chọn C.
Đáp án - giải mã
Câu hỏi 16 : Biểu thức nào sau đây cho ta quý giá của tổng (S = 1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3)
A (nleft( n + 1 ight) over 2)B (nleft( n + 1 ight)left( 2n + 1 ight) over 6)C (nleft( n + 1 ight)left( 2n + 1 ight)left( 3n + 1 ight) over 24) D (left< nleft( n + 1 ight) over 2 ight>^2)Đáp án: D
Phương pháp giải:
Thử một giá chỉ trị bất kể của n thỏa mãn nhu cầu n là số nguyên dương và dự đoán kết quả.
Chứng minh tác dụng vừa dự kiến là đúng bằng phương thức quy hấp thụ toán học.
Lời giải bỏ ra tiết:
Với n = 1 ta có: S = 1.
Với n = 2 ta có (S = 1^3 + 2^3 = 9), các loại đáp án A, B với C.
Ta minh chứng đẳng thức ở lời giải D đúng bằng phương thức quy hấp thụ toán học.
Giả sử đẳng thức đúng mang lại n = k, tức là (S_k = 1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + k^3 = left< kleft( k + 1 ight) over 2 ight>^2), ta chứng tỏ đẳng thức đúng mang lại n = k + 1, có nghĩa là cần chứng minh (S_k + 1 = 1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + left( k + 1 ight)^3 = left< left( k + 1 ight)left( left( k + 1 ight) + 1 ight) over 2 ight>^2 = left< left( k + 1 ight)left( k + 2 ight) over 2 ight>^2)
Ta có: (S_k + 1 = 1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + k^3 + left( k + 1 ight)^3 = left< kleft( k + 1 ight) over 2 ight>^2 + left( k + 1 ight)^3 = left( k + 1 ight)^2left( k^2 + 4k + 4 ight) over 4 = left( k + 1 ight)^2left( k + 2 ight)^2 over 4 = left< left( k + 1 ight)left( k + 2 ight) over 2 ight>^2.) Vậy đẳng thức đúng với mọi số nguyên dương n.
Chọn D.
Đáp án - giải mã
Câu hỏi 17 : mang sử Q là tập nhỏ của tập hợp những số nguyên dương sao cho
a) (k in Q)
b) (n in Q Rightarrow n + 1 in Q,,forall n ge k.)
A phần đông số nguyên dương phần đa thuộc Q.B các số nguyên dương lớn hơn hoặc bởi k hồ hết thuộc Q.C các số nguyên bé thêm hơn k rất nhiều thuộc Q.D số đông số nguyên những thuộc Q.Đáp án: B
Phương pháp giải:
Dựa vào lý thuyết của cách thức quy nạp toán học.
Lời giải đưa ra tiết:
Chọn B.
Đáp án - giải mã
Lời giải đưa ra tiết:
Với n = 1 ta có: (S_1 = 1), một số loại đáp án A và B.
Ta minh chứng đáp án C đúng với đa số (n in N*) bằng phương thức quy nạp toán học.
Giả sử (S_n = 1^2 + 3^2 + ... + left( 2n - 1 ight)^2 = nleft( 4n^2 - 1 ight) over 3,,left( * ight)) đúng mang lại n = k, tức là (S_k = 1^2 + 3^2 + ... + left( 2k - 1 ight)^2 = kleft( 4k^2 - 1 ight) over 3), ta chứng tỏ (*) đúng đến n = k + 1, có nghĩa là cần bệnh minh:
(S_k + 1 = 1^2 + 3^2 + ... + left( 2left( k + 1 ight) - 1 ight)^2 = left( k + 1 ight)left< 4left( k + 1 ight)^2 - 1 ight> over 3)
Ta có:
(eqalign & S_k + 1 = 1^2 + 3^2 + ... + left( 2left( k + 1 ight) - 1 ight)^2 = 1^2 + 3^2 + ... + left( 2k + 1 ight)^2 = 1^2 + 3^2 + ... + left( 2k - 1 ight)^2 + left( 2k + 1 ight)^2 cr & = kleft( 4k^2 - 1 ight) over 3 + left( 2k + 1 ight)^2 = kleft( 2k + 1 ight)left( 2k - 1 ight) + 3left( 2k + 1 ight)^2 over 3 = left( 2k + 1 ight)left( 2k^2 - k + 6k + 3 ight) over 3 cr và = left( 2k + 1 ight)left( k + 1 ight)left( 2k + 3 ight) over 3 = left( k + 1 ight)left( 4k^2 + 8k + 3 ight) over 3 = left( k + 1 ight)left< 4left( k + 1 ight)^2 - 1 ight> over 3. cr )
Vậy đẳng thức (*) đúng với mọi (n in N*).
Chọn C.
Đáp án - giải thuật
Lời giải bỏ ra tiết:
Cách 1:
Bằng cách thức quy nạp toán học, ta sẽ chứng minh được (S_n = 1 over 1.2 + 1 over 2.3 + 1 over 3.4 + ... + 1 over nleft( n + 1 ight) = n over n + 1,,left( * ight))
Thật vậy, với n = 1 ta tất cả (S_1 = 1 over 1.2 = 1 over 2 = 1 over 1 + 1)
Giả sử (*) đúng mang đến n = k, khi ấy ta có: (S_k = 1 over 1.2 + 1 over 2.3 + ... + 1 over kleft( k + 1 ight) = k over k + 1), ta chứng minh (*) đúng cho n = k + 1, tức là cần chứng tỏ (S_k + 1 = 1 over 1.2 + 1 over 2.3 + ... + 1 over left( k + 1 ight)left( k + 2 ight) = k + 1 over k + 2)
Ta có:
(eqalign và S_k + 1 = 1 over 1.2 + 1 over 2.3 + ... + 1 over kleft( k + 1 ight) + 1 over left( k + 1 ight)left( k + 2 ight) cr và = k over k + 1 + 1 over left( k + 1 ight)left( k + 2 ight) = kleft( k + 2 ight) + 1 over left( k + 1 ight)left( k + 2 ight) = k^2 + 2k + 1 over left( k + 1 ight)left( k + 2 ight) = left( k + 1 ight)^2 over left( k + 1 ight)left( k + 2 ight) = left( k + 1 ight) over left( k + 2 ight). cr )
Vậy (*) đúng với đa số số nguyên dương n.
Cách 2:
Ta gồm nhận xét sau: (1 over kleft( k + 1 ight) = 1 over k - 1 over k + 1,,forall k in N*), vì chưng đó:
(S_n = 1 over 1.2 + 1 over 2.3 + 1 over 3.4 + ... + 1 over nleft( n + 1 ight) = 1 over 1 - 1 over 2 + 1 over 2 - 1 over 3 + ... + 1 over n - 1 over n + 1 = 1 - 1 over n + 1 = n over n + 1).
Chọn B.
Đáp án - lời giải
Lời giải chi tiết:
Với n = 1 ta bao gồm (13^1 - 1 = 12,, vdots ,,6), ta sử dụng cách thức quy nạp toán học tập để chứng tỏ (S_n = 13^n - 1) phân tách hết mang lại 6 với đa số (n in N*).
Giả sử khẳng đinh trên đúng mang lại n = k, có nghĩa là (S_k = 13^k - 1,, vdots ,,6,) ta chứng minh đúng mang lại n = k + 1, có nghĩa là (S_k + 1 = 13^k + 1 - 1) cũng chia hết đến 6.
Ta có: (S_k + 1 = 13^k + 1 - 1 = 13.13^k - 1 = 13.13^k - 13 + 12 = 13left( 13^k - 1 ight) + 12).
Theo trả thiết quy hấp thụ ta có: (S_k = 13^k - 1,, vdots ,,6,) nhưng mà (12,, vdots ,,6 Rightarrow S_k + 1,, vdots ,,6.)
Vậy (S_n = 13^n - 1,, vdots ,,6,,forall n in N*).
Chọn B.
Đáp án - giải thuật
Câu hỏi 23 : Phép chứng tỏ sau đây nhận giá trị chân lí là gì?
Bài toán: chứng minh quy nạp: (1^3 + 2^3 + ... + n^3 = fracn^2left( n + 1 ight)^24)
Chứng minh: đưa sử đẳng thức đúng cùng với (n = k,,,(k e 1))
Ta có: (1^3 + 2^3 + ... + k^3 = frack^2left( k + 1 ight)^24)
Ta chứng minh đẳng thức đúng cùng với (n = k + 1). Thật vậy:
(1^3 + 2^3 + ... + k^3 + left( k + 1 ight)^3 = frack^2left( k + 1 ight)^24 + left( k + 1 ight)^3 = fracleft( k + 1 ight)^2left( k + 2 ight)^24)
Vậy đẳng thức đúng cùng với (n = k + 1)
Áp dụng nguyên lí quy nạp toán học ta suy ra đẳng thức đúng với mọi số thoải mái và tự nhiên n.
A Đúng B không nên C không đúng, không không nên D Vừa đúng vừa saiĐáp án: B
Phương pháp giải:
Áp dụng các bước chứng minh quy nạp.
Lời giải đưa ra tiết:
Phép minh chứng thiếu mất cách cơ sở chất vấn mệnh đề đúng cùng với (n = 1)
Chọn B.
Câu hỏi 24 : Một học sinh chứng minh mệnh đề ""(8^n + 1) phân tách hết mang lại 7, (forall n in N^*)"" (*) như sau:
+) đưa sử (*) đúng cùng với (n = k), có nghĩa là (8^k + 1) phân tách hết đến 7.
+) Ta có:(8^k + 1 + 1 = 8left( 8^k + 1 ight) - 7), kết phù hợp với giả thiết (8^k + 1) chia hết cho 7 buộc phải suy ra được (8^k + 1 + 1) phân chia hết mang lại 7. Vậy đẳng thức (*) đúng với đa số (n in N^*).
Khẳng định làm sao sau đấy là đúng?
A học viên trên chứng minh đúngB học tập sinh minh chứng sai vì không tồn tại giả thiết qui nạp C học sinh minh chứng sai do không sử dụng giả thiết qui hấp thụ D học viên không soát sổ bước 1 (bước cơ sở) của phương pháp qui nạpĐáp án: D
Phương pháp giải:
Áp dụng công việc chứng minh quy nạp.
Lời giải bỏ ra tiết:
Thiếu bước một là kiểm tra cùng với (n = 1), khi đó ta tất cả (8^1 + 1 = 9) không phân chia hết mang đến 7.
Chọn D.
Đáp án - lời giải
Câu hỏi 25 : Hãy xem trong giải mã của bài bác toán sau đây có cách nào bị sai?
Bài toán: chứng tỏ rằng với đa số số nguyên dương n, mệnh đề sau đây đúng:
A(n) : “Nếu a với b là phần đa số nguyên dương cơ mà (max left a;b ight = n) thì (a = b)”
Chứng minh :
Bước 1: A(1):”Nếu a, b là rất nhiều số nguyên dương nhưng mà (max left a;b ight = 1) thì (a = b)”
Mệnh đề A(1) đúng vì chưng (max left a;b ight = 1) với a, b là hầu như số nguyên dương thì (a = b = 1).
Bước 2: mang sử A(k) là mệnh đề đúng vơi (k ge 1).
Bước 3: (max left a;b ight = k + 1 Rightarrow max left a - 1;b - 1 ight = k + 1 - 1 = k)
Do A(k) là mệnh đề đúng cần (a - 1 = b - 1 Rightarrow a = b Rightarrow ) A(k+1) đúng.
Vậy A(n) đúng với đa số (n in N^*)
A bước 1 B cách 2C cách 3D không có bước như thế nào saiĐáp án: C
Phương pháp giải:
Sử dụng lý thuyết phương thức quy hấp thụ toán học.
Lời giải đưa ra tiết:
Ta có (a,,,b in N^*) ko suy ra (a - 1,,,b - 1 in N^*) .
Do vậy không áp dụng được mang thiết quy nạp đến cặp (left a - 1;;;b - 1 ight.)
Vậy không nên ở bước 3.
Chọn C.
Đáp án - lời giải
Câu hỏi 26 : Chị X gửi ngân hàng 20 000 000 đồng với lãi suất vay 0,5%/ mon (sau mỗi tháng tiền lãi được nhập vào tiền cội để tính lãi mon sau). Hỏi sau một năm chị X nhấn được từng nào tiền, biết trong một năm đó chị X không rút tiền lần nào vào lãi vay không chuyển đổi (số tiền được thiết kế tròn cho hàng nghìn)?
A 21 233 000 đồngB 21 235 000 đồngC 21 234 000 đồngD 21 200 000 đồngĐáp án: C
Phương pháp giải:
Áp dụng cách làm tính số chi phí sau n tháng gửi: (T = Aleft( 1 + r\% ight)^n) cùng với r% là lãi vay hàng tháng; A là số tiền nhờ cất hộ ban đầu.
Lời giải chi tiết:
Ta tất cả sau một năm tức 12 tháng thì chị X nhận ra số chi phí là:(T = Aleft( 1 + r\% ight)^12)
Chị X gửi bank 20 triệu vnd với lãi vay (0,5\% ) thì (left{ eginarraylA = 20.10^6\r = 0,5\% endarray ight.)
Khi kia (T = 20.10^6left( 1 + 0,5\% ight)^12 = 21234000).
Chọn C.
Đáp án - giải mã
Câu hỏi 27 : với đa số số nguyên dương n, tổng (S_n = 4^n + 15n - 1) chia hết cho
A 6B 4C 9D 12Đáp án: C
Phương pháp giải:
Thử cùng với n = 2, ta thấy (S_2 = 4^2 + 15.2 - 1 = 45), vậy ta sẽ sử dụng quy hấp thụ để chứng tỏ (S_n,, vdots ,,9.)
Lời giải đưa ra tiết:
Với n = 2 ta bao gồm (S_2 = 4^2 + 15.2 - 1 = 45), ta sử dụng phương thức quy nạp toán học tập để chứng tỏ (S_n = 4^n + 15n - 1) chia hết mang lại 9 với tất cả số nguyên dương n.
Với n = 1 ta tất cả (S_1 = 4 + 15 - 1 = 18) chia hết mang đến 9 ( Rightarrow ) xác định trên đúng với n = 1.
Giả sử khẳng đinh trên đúng cho n = k, có nghĩa là (S_k = 4^k + 15k - 1,,, vdots ,,,9), ta chứng minh đúng mang lại n = k + 1, tức là (S_k = 4^k + 1 + 15left( k + 1 ight) - 1) cũng chia hết cho 9.
Ta có: (S_k = 4^k + 1 + 15left( k + 1 ight) - 1 = 4.4^k + 15k + 14 = 4left( 4^k + 15k - 1 ight) - 45k + 18).
Theo mang thiết quy nạp ta có: (S_k = 4^k + 15k - 1,,, vdots ,,,9) cơ mà (left( - 45k + 18 ight),, vdots ,,9 Rightarrow S_k + 1,, vdots ,,9.)
Vậy (S_n = 4^n + 15n - 1) phân tách hết cho 9 với mọi số nguyên dương n.
Chọn C.
Đáp án - giải thuật
Câu hỏi 28 : với tất cả số tự nhiên (n ge 2), bất đẳng thức nào dưới đây đúng?
A (3^n > 4n + 1)B (3^n > 4n + 2)C (3^n > 3n + 2)D Đáp án khácĐáp án: C
Phương pháp giải:
Thử một giá trị bất cứ của n vừa lòng n là số nguyên dương và dự kiến kết quả.
Chứng minh kết quả vừa dự đoán là đúng bằng phương thức quy nạp toán học.
Lời giải bỏ ra tiết:
Với n = 2 ta có: (3^2 = 9 > 3.2 + 2)
Ta minh chứng đáp án C đúng bằng phương thức quy hấp thụ toán học.
Bất đẳng thức đúng cùng với n = 2, mang sử bất đẳng thức đúng cho n = k, có nghĩa là (3^k > 3k + 2), ta minh chứng bất đẳng thức đúng mang đến n = k + 1, có nghĩa là cần phải minh chứng (3^k + 1 > 3left( k + 1 ight) + 2 = 3k + 5)
Ta có: (3^k + 1 = 3.3^k > 3left( 3k + 2 ight) = 9k + 6 > 3k + 5). Vậy bất đằng thức đúng với mọi số tự nhiên và thoải mái (n ge 2)
Chọn C.
Đáp án - giải thuật
Câu hỏi 29 : với mọi số nguyên dương n, tổng 2 + 5 + 8 + … + (3n – 1) là:
A (nleft( 3n + 1 ight) over 2)B (nleft( 3n - 1 ight) over 2)C (nleft( 3n + 2 ight) over 2)D (3n^2 over 2)Đáp án: A
Phương pháp giải:
Thử một giá bán trị bất kì của n thỏa mãn n là số nguyên dương và dự kiến kết quả.
Chứng minh hiệu quả vừa dự kiến là đúng bằng phương pháp quy nạp toán học.
Lời giải chi tiết:
Với n = 1 ta có: (S_1 = 2) , ta nhiều loại được các đáp án B, C cùng D.
Ta minh chứng (S_n=2+5+8+ldots +left( 3n-1 ight)~=dfracnleft( 3n+1 ight)2,,,left( * ight)) đúng với mọi số nguyên dương n bằng phương pháp quy nạp toán học.
Giả sử (*) đúng cho n = k, có nghĩa là (S_k=2+5+8+ldots +left( 3k-1 ight)=dfrackleft( 3k+1 ight)2). Ta cần chứng tỏ (*) đúng đến n = k+1, tức là cần chứng tỏ (S_k+1=2+5+8+ldots +left( 3left( k+1 ight)-1 ight)=dfracleft( k+1 ight)left( 3left( k+1 ight)+1 ight)2=dfracleft( k+1 ight)left( 3k+4 ight)2)
Ta có:
(eginalign S_k+1=2+5+8+ldots +left( 3left( k+1 ight)-1 ight)\=2+5+8+ldots +left( 3k-1 ight)+left( 3k+2 ight) \ =dfrackleft( 3k+1 ight)2+3k+2\=dfrac3k^2+k+6k+42=dfracleft( k+1 ight)left( 3k+4 ight)2endalign)
Do đó (*) đúng mang đến n = k + 1.
Vậy (S_n=2+5+8+ldots +left( 3n-1 ight)=dfracnleft( 3n+1 ight)2) đúng với tất cả số nguyên dương n.
Chọn A.
Đáp án - lời giải
Câu hỏi 30 : với đa số số nguyên dương n thì (S_n = 5.2^3n - 2 + 3^3n - 1) phân chia hết cho:
A 5B 7C 4d 19Đáp án: D
Phương pháp giải:
Thử một giá trị bất kì của n vừa lòng n là số nguyên dương và dự đoán kết quả.
Chứng minh tác dụng vừa dự kiến là đúng bằng phương thức quy nạp toán học.
Lời giải bỏ ra tiết:
Với n = 1 ta có: (S_1 = 5.2 + 3^2 = 19,, vdots ,,19)
Ta sẽ chứng minh Sn chia hết cho 19 với mọi số nguyên dương n.
Giả sử xác minh trên đúng mang lại n = k, tức là (S_k = 5.2^3k - 2 + 3^3k - 1) phân chia hết cho 19, ta chứng minh (S_k + 1 = 5.2^3left( k + 1 ight) - 2 + 3^3left( k + 1 ight) - 1) cũng phân chia hết mang lại 19.
Ta có:
(eqalign & S_k + 1 = 5.2^3left( k + 1 ight) - 2 + 3^3left( k + 1 ight) - 1 = 5.2^3k - 2 + 3 + 3^3k - 1 + 3 = 5.2^3k - 2.2^3 + 3^3k - 1.3^3 = 8.5.2^3k - 2 + 27.3^3k - 1 cr và = 8.5.2^3k - 2 + 8.3^3k - 1 + 19.2^3k - 1 = 8left( 5.2^3k - 2 + 3^3k - 1 ight) + 19.2^3k - 1 cr )
Có (left( 5.2^3k - 2 + 3^3k - 1 ight),, vdots ,,19) (giả thiết quy nạp), (19,, vdots ,,19 Rightarrow 19.2^3k - 1,, vdots ,,19 Rightarrow S_k + 1,, vdots ,,19.)
Vậy Sn phân tách hết cho19 với mọi số nguyên dương n.
Chọn D.
Đáp án - giải mã
Câu hỏi 31 : với đa số số nguyên dương n, tổng (S_n = n^3 + 11n) phân tách hết cho
A 6B 4C 9D 12Đáp án: A
Phương pháp giải:
Thử một giá bán trị bất kể của n thỏa mãn n là số nguyên dương và dự đoán kết quả.
Chứng minh hiệu quả vừa dự kiến là đúng bằng phương thức quy hấp thụ toán học.
Lời giải chi tiết:
Với n = 1 ta có: (S_1 = 1 + 11 = 12), không phân tách hết mang đến 9 đề nghị loại giải đáp C.
Với n = 2 ta tất cả (S_2 = 2^3 + 11.2 = 30) không phân chia hết mang lại 4 với 12 buộc phải loại câu trả lời B và D.
Ta sẽ minh chứng (S_n = n^3 + 11n) chia hết mang đến 6 với đa số số nguyên dương n.
Giả sử khẳng định trên đúng đến n = k, tức là (S_k = k^3 + 11k) phân tách hết mang đến 6, ta chứng minh khẳng định bên trên đúng mang lại n = k + 1, có nghĩa là cần chứng minh (S_k + 1 = left( k + 1 ight)^3 + 11left( k + 1 ight)) cũng phân tách hết mang lại 6.
Ta có: (S_k + 1 = left( k + 1 ight)^3 + 11left( k + 1 ight) = k^3 + 3k^2 + 3k + 1 + 11k + 11 = k^3 + 11k + 3k^2 + 3k + 12 = left( k^3 + 11k ight) + 12 + 3left( k^2 + k ight))
Có: (k^3 + 11k) chia hết mang lại 6 (giả thiết quy nạp), 12 phân chia hết cho 6, ta cần chứng tỏ (3left( k^2 + k ight) = 3kleft( k + 1 ight)) phân tách hết mang lại 6.
k cùng k + một là 2 số nguyên dương liên tiếp nên (kleft( k + 1 ight),, vdots ,,2 Rightarrow 3kleft( k + 1 ight),, vdots ,,2,) kết phù hợp với (3kleft( k + 1 ight),, vdots ,,3) với 2; 3 là 2 số nguyên tố thuộc nhau đề xuất (3left( k^2 + k ight) = 3kleft( k + 1 ight)) phân tách hết mang lại 3.2 = 6.
Vậy (S_k + 1 = left( k + 1 ight)^3 + 11left( k + 1 ight)) cũng chia hết cho 6 giỏi (S_n = n^3 + 11n) chia hết đến 6 với tất cả số nguyên dương n.
Chọn A.
Đáp án - giải mã
Câu hỏi 32 : với đa số số nguyên dương n > 1. Bất đẳng thức nào sau đây đúng?
A (1 over n + 1 + 1 over n + 2 + ... + 1 over 2n > 13 over 20)B (1 over n + 1 + 1 over n + 2 + ... + 1 over 2n > 13 over 21)C (1 over n + 1 + 1 over n + 2 + ... + 1 over 2n > 13 over 17)D (1 over n + 1 + 1 over n + 2 + ... + 1 over 2n > 13 over 24)Đáp án: D
Phương pháp giải:
Thử một giá bán trị bất kì của n thỏa mãn nhu cầu n là số nguyên dương và dự kiến kết quả.
Chứng minh hiệu quả vừa dự kiến là đúng bằng phương thức quy hấp thụ toán học.
Lời giải chi tiết:
Với n = 2 ta có: (1 over 2 + 1 + 1 over 2 + 2 = 7 over 12 Rightarrow ) các loại được các đáp án A, B, C. Ta chứng minh (1 over n + 1 + 1 over n + 2 + ... + 1 over 2n > 13 over 24) đúng với tất cả số nguyên dương n > 1.
Bất đẳng thức đúng với n = 2. Giả sử bất đẳng thức đúng đến n = k, tức là (1 over k + 1 + 1 over k + 2 + ... + 1 over 2k > 13 over 24), ta chứng tỏ bất đẳng thức đúng cùng với n = k + 1, tức là cần phải minh chứng (1 over k + 2 + 1 over k + 3 + ... + 1 over 2left( k + 1 ight) > 13 over 24)
Ta có:
(eqalign & 1 over k + 2 + 1 over k + 3 + ... + 1 over 2left( k + 1 ight) = 1 over k + 2 + 1 over k + 3 + ... + 1 over k + 1 + k - 1 + 1 over k + 1 + k + 1 over k + 1 + k + 1 cr & > 13 over 24 - 1 over k + 1 + 1 over 2k + 1 + 1 over 2k + 2. cr )
Cần chứng tỏ ( - 1 over k + 1 + 1 over 2k + 1 + 1 over 2k + 2 > 0)
Ta có:
(eqalign và - 1 over k + 1 + 1 over 2k + 1 + 1 over 2k + 2 = - 4k^2 - 6k - 2 + 2k^2 + 4k + 2 + 2k^2 + 3k + 1 over left( k + 1 ight)left( 2k + 1 ight)left( 2k + 2 ight) cr và = k + 1 over left( k + 1 ight)left( 2k + 1 ight)left( 2k + 2 ight) = 1 over left( 2k + 1 ight)left( 2k + 2 ight) > 0 cr và Rightarrow - 1 over k + 1 + 1 over 2k + 1 + 1 over 2k + 2 > 0 cr và Rightarrow 13 over 24 - 1 over k + 1 + 1 over 2k + 1 + 1 over 2k + 2 > 13 over 24 cr )
Bất đẳng thức đúng với n = k + 1.
Chọn D.
Đáp án - lời giải
Câu hỏi 33 : gọi (S_n = frac11.2 + frac12.3 + ... + frac1nleft( n + 1 ight),,forall n = 1;;2;;3.....) thì tác dụng nào sau đây là đúng
A (S_n = fracn - 1n)B (S_n = fracnn + 1) C (S_n = fracn + 1n + 2)D (S_n = fracn + 2n + 3)Đáp án: B
Phương pháp giải:
Dự đoán công thức bao quát và chứng minh bằng cách thức quy nạp.
Lời giải đưa ra tiết:
Ta thấy: (S_1 = frac12 = frac11 + 1,,;,,,,S_2 = frac23 = frac22 + 1;;S_3 = frac34 = frac33 + 1,,;,,,,S_4 = frac45 = frac44 + 1.)
( Rightarrow ) Dự đoán: (S_n = fracnn + 1,,,left( 1 ight))
*) minh chứng (1) bởi quy nạp:
+ bước 1: cùng với (n = 1 Rightarrow S_1 = frac11.2 = frac12) (luôn đúng)
+ cách 2: giả sử (1) đúng với cùng 1 số từ nhiên ngẫu nhiên (n = k,,left( k ge 1 ight)) ta có:
(S_k = frac11.2 + frac12.3 + ... + frac1kleft( k + 1 ight) = frackk + 1) (giả thiết quy nạp)
+ bước 3: Ta phải chứng tỏ công thức đúng cùng với (n = k + 1) có nghĩa là chứng minh:
(S_k + 1 = frack + 1k + 1 + 1 = frack + 1k + 2,,,,left( 2 ight))
Ta có: (S_k + 1 = S_k + frac1left( k + 1 ight).left( k + 2 ight) = frackk + 1 + frac1left( k + 1 ight)left( k + 2 ight))
( = frackleft( k + 2 ight) + 1left( k + 1 ight)left( k + 2 ight) = frack^2 + 2k + 1left( k + 1 ight)left( k + 2 ight) = fracleft( k + 1 ight)^2left( k + 1 ight)left( k + 2 ight) = frack + 1k + 2 = VP)
( Rightarrow left( 2 ight)) luôn luôn đúng ( Rightarrow left( 1 ight)) được hội chứng minh.
Chọn B.
Đáp án - giải mã
Câu hỏi 34 : Kí hiệu (n! = n.left( n - 1 ight).left( n - 2 ight)...3.2.1,,forall 1,2,3...)
Với (S = 1.1! + 2.2! + 3.3!... + 2007.2007!) thì cực hiếm của (S) là bao nhiêu
A (S = 2.2007!)B (S = 2008! - 1)C (S = 2008!.)D (S = 2008! + 1.)Đáp án: B
Phương pháp giải:
Dự đoán công thức tổng quát và minh chứng bằng cách thức quy nạp.
Lời giải bỏ ra tiết:
Đặt (S_n = 1.1! + 2.2! + 3.3!... + n.n!)
Ta thấy: (S_1 = 1 = 2! - 1,,;,,,,S_2 = 5 = 3! - 1) ; (S_3 = 23 = 4! - 1,,;,,,,S_4 = 119 = 5! - 1)
( Rightarrow ) Dự đoán: (S_n = left( n + 1 ight)! - 1,,,left( 1 ight))
*) chứng minh (1) bằng quy nạp:
+ bước 1: cùng với (n = 1 Rightarrow S_1 = 1.1! = 1) (luôn đúng)
+ bước 2: mang sử (1) đúng với cùng 1 số tự nhiên ngẫu nhiên (n = k,,left( k ge 1 ight)) ta có:
(S_k = 1.1! + 2.2! + 3.3!... + k.k! = left( k + 1 ight)! - 1) (giả thiết quy nạp)
+ cách 3: Ta phải minh chứng công thức đúng cùng với (n = k + 1) có nghĩa là chứng minh:
(S_k + 1 = left( k + 1 + 1 ight)! - 1 = left( k + 2 ight)! - 1,,,left( 2 ight))
Ta có: (S_k + 1 = S_k + left( k + 1 ight)left( k + 1 ight)! = left( k + 1 ight)! - 1 + left( k + 1 ight)left( k + 1 ight)!)
( = left( k + 1 ight)!left( 1 + k + 1 ight) - 1 = left( k + 1 ight)!left( k + 2 ight) - 1 = left( k + 2 ight)! - 1 = VP)
( Rightarrow left( 2 ight)) luôn luôn đúng ( Rightarrow left( 1 ight)) được chứng minh.
( Rightarrow S = S_2017 = 2008! - 1)
Chọn B.
Đáp án - giải mã
Câu hỏi 35 : với mọi số tự nhiên (n ge 1), tổng (S_n = 1^2 + 2^2 + ... + (n - 1)^2 + n^2) là:
A (S_n = fracn(n + 1)(2n + 1)6)B (S_n = frac(n + 1)(2n + 1)6)C (S_n = fracn(n + 1)6)D (S_n = fracn(2n + 1)6)Đáp án: A
Phương pháp giải:
Dự đoán công thức tổng thể và chứng minh bằng cách thức quy nạp.
Lời giải chi tiết:
Ta thấy: (S_1 = 1 = frac1.2.36,,;,,,,S_2 = 5 = frac2.3.56;;;S_3 = 14 = frac3.4.76,;,,,,S_4 = 30 = frac4.5.96)
( Rightarrow ) Dự đoán: (S_n = fracn(n + 1)(2n + 1)6,,,left( 1 ight))
*) chứng tỏ (1) bởi quy nạp:
+ bước 1: cùng với (n = 1 Rightarrow S_1 = 1^2 = 1 = frac1.2.36) (luôn đúng)
+ cách 2: trả sử (1) đúng với 1 số trường đoản cú nhiên bất kỳ (n = k,,left( k ge 1 ight)) ta có:
(S_k = 1^2 + 2^2 + ... + (k - 1)^2 + k^2 = frack(k + 1)(2k + 1)6) (giả thiết quy nạp)
+ bước 3: Ta phải chứng tỏ công thức đúng cùng với (n = k + 1) tức là chứng minh:
(S_k + 1 = fracleft( k + 1 ight)left( k + 1 + 1 ight)left< 2left( k + 1 ight) + 1 ight>6 = fracleft( k + 1 ight)left( k + 2 ight)left( 2k + 3 ight)6,,,,left( 2 ight))
Ta có: (S_k + 1 = S_k + left( k + 1 ight)^2 = frackleft( k + 1 ight)left( 2k + 1 ight)6 + left( k + 1 ight)^2)
( = frackleft( k + 1 ight)left( 2k + 1 ight) + 6left( k + 1 ight)^26 = frac(k + 1)(2k^2 + 7k + 6)6 = frac(k + 1)(k + 2)(2k + 3)6 = VP)
( Rightarrow left( 2 ight)) luôn luôn đúng ( Rightarrow left( 1 ight)) được chứng minh.
Chọn A.
Đáp án - lời giải
Câu hỏi 36 : với đa số số tự nhiên và thoải mái (n ge 1), tổng (S_n = frac13 + frac23^2 + ... + fracn3^n) là:
A (S_n = frac2n + 34.3^n)B (S_n = frac34 + frac2n + 34.3^n)C (S_n = frac2n + 34.3^n - frac34)D (S_n = frac34 - frac2n + 34.3^n)Đáp án: D
Phương pháp giải:
Dự đoán công thức bao quát và chứng tỏ bằng phương thức quy nạp.
Lời giải chi tiết:
Ta thấy: (S_1 = frac13 = frac34 - frac512,,;,,,,S_2 = frac59 = frac34 - frac736;;;S_3 = frac23 = frac34 - frac9108,)
( Rightarrow ) Dự đoán: (S_n = frac34 - frac2n + 34.3^n,,,left( 1 ight))
*) minh chứng (1) bởi quy nạp:
+ bước 1: cùng với (n = 1 Rightarrow S_1 = frac13 = frac34 - frac512,) (luôn đúng)
+ cách 2: đưa sử (1) đúng với cùng 1 số từ nhiên bất kỳ (n = k,,left( k ge 1 ight)) ta có:
(S_k = frac13 + frac23^2 + ... + frack3^k = frac34 - frac2k + 34.3^k) (giả thiết quy nạp)
+ bước 3: Ta phải minh chứng công thức đúng với (n = k + 1) có nghĩa là chứng minh:
(S_k + 1 = frac34 - frac2left( k + 1 ight) + 34.3^k + 1 = frac34 - frac2k + 54.3^k + 1,,,,left( 2 ight))
Ta có: (S_k + 1 = S_k + frack + 13^k + 1 = frac34 - frac2k + 34.3^k + frack + 13^k + 1)
( = frac34 - frac3left( 2k + 3 ight) - 4left( k + 1 ight)4.3^k + 1 = frac34 - frac6k + 9 - 4k - 44.3^k + 1 = frac34 - frac2k + 54.3^k = VP)
( Rightarrow left( 2 ight)) luôn đúng ( Rightarrow left( 1 ight)) được hội chứng minh.
Chọn D.
Đáp án - lời giải
Câu hỏi 37 : bạo phổi cầm một tờ giấy với lấy kéo cắt thành 7 mảnh sau đó nhặt một trong các bảy mảnh giấy đã cắt và lại cắt thành 7 mảnh. Bạo phổi cứ liên tiếp cắt như vậy. Sau đó 1 hồi, mạnh thu lại cùng đếm tất cả các miếng giấy đang cắt. Hỏi kết quả nào sau đây có thể xảy ra?
A dũng mạnh thu được 122 mảnh B bạo gan thu được 123 mảnhC táo bạo thu được 120 mảnhD to gan lớn mật thu được 121 mảnhĐáp án: D
Phương pháp giải:
Dự đoán công thức tổng thể và chứng tỏ bằng phương pháp quy nạp.
Lời giải đưa ra tiết:
Mỗi lần giảm một miếng giấy thành 7 mảnh, tức là Mạnh chế tạo thêm 6 miếng giấy. Cho nên vì vậy công thức tính số miếng giấy theo n cách được triển khai là Sn = 6n + 1. Ta minh chứng tính chính xác của phương pháp trên bằng phương pháp quy hấp thụ theo n.
Bước 1: mạnh mẽ cắt mảnh giấy thành 7 mảnh, n =1, S(1) = 6.1 + 1 = 7
Công thức đúng với (n = 1)
Bước 2: giả sử sau k bước, dũng mạnh nhận được số miếng giấy là (Sleft( k ight) = 6k + 1)
Sang bước thứ (k + 1,) bạo gan lấy một trong các những miếng giấy nhận ra trong k cách trước và thái thành 7 mảnh. Tức là Mạnh đã lấy đi 1 trong những (Sleft( k ight)) mảnh và cố vào đó 7 miếng được giảm ra.
Vậy tổng số mảnh giấy ở cách (k + 1) là: (Sleft( k + 1 ight) = Sleft( k ight) - m 1 + 7 = Sleft( k ight) + 6 = 6k + 1 + 6 = 6left( k + 1 ight) + 1)
Vậy công thức Sn đúng với mọi (n in N*.) Theo công thức trên chỉ gồm phương án D thoả mãn vì (121 = 6.20 + 1.)
Chọn D.
Đáp án - giải thuật
Câu hỏi 38 : Xét hai mệnh đề sau:
I) với mọi (n in N^*), số (n^3 + 3n^2 + 5n) phân tách hết đến 3.
II) với mọi (n in N^*), ta gồm (frac1n + 1 + frac1n + 2 + ... + frac12n > frac1324)
Mệnh đề làm sao đúng?
A Chỉ IB Chỉ II C không có D Cả I với IIĐáp án: A
Phương pháp giải:
Chứng minh bằng quy nạp.
Lời giải bỏ ra tiết:
+) Ta chứng tỏ I) đúng.
Với (n = 1), ta bao gồm (u_1 = 1^3 + 3.1^2 + 5.1 = 9 vdots 3) đúng.
Giả sử mệnh đề đúng lúc (n = k,,left( k ge 1 ight)), có nghĩa là (u_k = k^3 + 3k^2 + 5k vdots 3) .
Ta gồm (u_k + 1 = left( k^3 + 3k^2 + 5k ight) + 3k^2 + 9k + 9 = u_k + 3left( k^2 + 3k + 3 ight) vdots 3)
Kết thúc triệu chứng minh.
+) Mệnh đề II) sai do với (n = 1), ta gồm (VT = frac12 = frac1224 > frac1324) Vô lý.
Chọn A
Đáp án - giải thuật
Câu hỏi 39 : điện thoại tư vấn (x_1,x_2) là nhị nghiệm của phương trình : (x^2 - 6x + 1 = 0). Đặt (a_n = x_1^n + x_2^n). Lựa chọn mệnh đề đúng:
A (a_n) không phân chia hết đến 2B (a_n) không chia hết mang lại 3 C (a_n) không phân tách hết mang lại 5D (a_n) không phân tách hết đến 6Đáp án: C
Phương pháp giải:
Sử dụng Vi-ét đổi khác (a_n), dự đoán kết quả và minh chứng bằng phương pháp quy nạp.
Lời giải bỏ ra tiết:
Ta có: (a_n = (x_1 + x_2)(x_1^n - 1 + x_2^n - 1) - x_1x_2(x_1^n - 2 + x_1^n - 2))
Theo định lí Viét: (left{ eginarraylx_1 + x_2 = 6\x_1x_2 = 1endarray ight.) yêu cầu ta có:
(a_n = 6(x_1^n - 1 + x_2^n - 1) - (x_1^n - 2 + x_1^n - 2) = 6a_n - 1 - a_n - 2).
Với (n = 1 Rightarrow a_1 = x_1 + x_2 = 6)
( Rightarrow ) Dự đoán: (a_n) không phân chia hết mang đến 5
* với (n = 1 Rightarrow a_1 = x_1 + x_2 = 6)
( Rightarrow a_1) không phân chia hết mang lại 5
* mang sử (a_k) không phân chia hết cho 5 với mọi (k ge 1).
Ta chứng tỏ (a_k + 1) không chia hết đến 5.
Do (a_k + 1 = 6a_k - a_k - 1)
Mặt khác: (a_k + 1 = 5a_k + (a_k - a_k - 1) = 5a_k + 5a_k - 1 - a_k - 2)
Vì (a_k - 2) không chia hết đến 5 và (left{ eginarrayl5a_k vdots 5\5a_k - 1 vdots 5endarray
ight.) bắt buộc suy ra (a_k + 1) không chia hết đến 5.
Xem thêm: Bao Cao Su In English - Bao Cao Su Tiếng Anh Là Gì
Chọn C
Đáp án - giải thuật
Câu hỏi 40 : Tổng các góc trong của một n – giác lồi ((n ge 3)) bằng:
A (left( n - 1 ight).180^0) B (left( n - 2 ight).90^0)C (left( n - 2 ight).180^0) D (left( n - 1 ight).90^0)Đáp án: C
Phương pháp giải:
Dự đoán công thức tổng thể và chứng minh bằng cách thức quy nạp.
Lời giải chi tiết:
Với (n = 3) ta gồm tổng ba góc vào tam giác bởi (180^0.)
Với (n = 4) ta gồm tổng tư góc vào tứ giác bởi (360^0.)
( Rightarrow ) Dự đoán: đáp án C
Chứng minh:
( ullet ) với (n = 3) ta gồm tổng bố góc trong tam giác bởi (180^0.)
( ullet ) mang sử cách làm đúng cho tất cả k-giác, cùng với (3 le k
Đáp án - lời giải